自然科学/匀速圆周运动

匀速

匀速圆周运动，顾名思义，物体以“匀速”做圆周运动。如果你已经将矢量的概念理解透彻，那么你一定应该知道，这里的“匀速”绝不是指速度，因为物体做曲线运动，速度无时无刻没有变化。我们之后会提到，这里的速度实际上是指线速度，也就是物体运动的速率。为了方便表述，在本章中，我们直接用圆心来称呼物体做圆周运动的轨迹圆的圆心。 匀速圆周运动是一类重要的运动，广泛存在于自然界中。很多的运动，都可以被视作匀速圆周运动，如行星上某一天随着行星自传绕自转中心的运动，就可以被视作匀速圆周运动。

加速度和向心力

示例图1 匀速圆周运动的向心力公式推导

做匀速圆周运动的物体，速度无时无刻没有变化，因此肯定有一个加速度来改变速度，我们现在来探究这个加速度究竟是怎样的一个加速度。

如示例图1所示的匀速圆周运动，在$t_{0}$时刻，物体运动的速度为${\boldsymbol {v_{0}}}$,并且在经过$\Delta t$后的$t_{1}$时刻，速度为${\boldsymbol {v_{1}}}$，这段时间物体运动的轨迹圆弧所对的圆心角为$\theta$，且无论在任何时刻，物体运动的速率都为$v$。如果我们以A为原点，AG为$y$轴负方向，${\boldsymbol {v_{0}}}$方向为$x$轴正方向建立平面直角坐标系，则有${\boldsymbol {v_{0}}}=(v,0)$，${\boldsymbol {v1}}=(v\cos \theta ,v\sin \theta )$。

$${\begin{aligned}\Delta {\boldsymbol {v}}&={\boldsymbol {v_{1}}}-{\boldsymbol {v0}}\\&=(v\cos \theta -v,v\sin \theta )\\\end{aligned}}$$

现在我们假设我们考虑的$\Delta t$值很小，那么此时$\theta$也非常小，此时有

$$\cos \theta \approx 1$$

而

$$\sin \theta \approx \theta$$

请注意，上述公式来自于微分，如果你对微分的内容并不熟悉，请你比较线段GD以及$\theta$所对的弧来感受，你也可以用类似于GeoGebra的开源数学图形计算软件作图直观感受一下。当$\Delta t$趋近于0时，我们认为上述“≈”是可以被视作“=”的。因此有，

$$\Delta {\boldsymbol {v}}=(0,v\sin \theta )$$

我们将上式以及$\theta ={\frac {v\Delta t}{r}}$带入计算加速度的公式

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&={\frac {\Delta {\boldsymbol {v}}}{\Delta t}}\\&=(0,{\frac {v^{2}}{r}})\\\end{aligned}}$$

我们从上述结论中看到，物体加速度${\boldsymbol {a}}$是一个垂直于物体运动速度且方向指向圆心的矢量，大小关系已由上式给出。由于这个$t_{0}$时刻是任意取的，因此我们可以得出，任何时刻做匀速圆周运动的物体，加速度始终垂直于速度且指向圆心，我们将这个加速度叫做向心加速度。根据牛顿第二定律，物体在任何时刻都受到的合外力为

$${\boldsymbol {F}}=m{\frac {{\boldsymbol {v}}|{\boldsymbol {v}}|}{r}}$$

如果我们只考虑大小标量，则

$$F=m{\frac {v^{2}}{r}}$$

我们将这个合外力称作向心力。

到这里，你应该能够感受向心力究竟来自于哪里，例如，绕地球做圆周运动（如果近似地认为是圆周运动的话）的月球，向心力来自于地球对它的引力。和引力有关的内容，我们将在下个章节介绍。

线速度和角速度

在匀速圆周运动中，我们给予速率一个特殊的名称，称为线速度，表示物体沿弧线运动的速度大小。

我们定义新的矢量角速度

$${\boldsymbol {\omega }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}{{\boldsymbol {r}}^{2}}}$$

这个矢量和物体做圆周运动的平面是垂直，但是其定义的方式似乎十分晦涩。如果我们只考虑标量，也就是其大小，那么就是

$$\omega ={\frac {v}{r}}$$

这个矢量就意义就一目了然了。首先，它的大小是物体运动的速度除以做圆周运动的轨迹圆的半径，如果我们在公式两边同时乘以时间，那么左右两边都可以代表这段时间内物体经过的弧所对的圆心角大小。简言之——这个矢量通过描述物体单位时间内所扫过的角度来描述了物体做圆周运动的快慢。角速度的单位有很多种，只要合适的单位都可以被使用，经常使用的单位有弧度每秒（rad/s），对于那些角速度非常大的匀速圆周运动，我们习惯上使用转每分（rpm）、转每秒（rps）等单位，它们代表物体每分（或每秒）做匀速圆周运动的周数。如果你对数字设备硬件有一定的了解，你可能已经注意到，机械硬盘的性能指标之一的转速单位就是转每分。

伪矢量

线速度作為矢量，在勻速圓周運動中，它的大小不變，方向切於圓弧。我们可完善一系列相关的计算。例如，计算向心力的公式，可以重新写为

$${\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {v}}$$

如果将上述公式中的角速度用标量代替，计算出的向心力方向即是错误的。实际上，定义这样的矢量，是为了完善我们的矢量的计算系统。

我们将物理量中，以矢量叉积（×）定义的矢量，称之为伪矢量。（偽矢量與矢量的差別在鏡像反射變換下會顯露出來。）