自然科學/勻速圓周運動

勻速

勻速圓周運動，顧名思義，物體以「勻速」做圓周運動。如果你已經將向量的概念理解透徹，那麼你一定應該知道，這裏的「勻速」絕不是指速度，因為物體做曲線運動，速度無時無刻沒有變化。我們之後會提到，這裏的速度實際上是指線速度，也就是物體運動的速率。為了方便表述，在本章中，我們直接用圓心來稱呼物體做圓周運動的軌跡圓的圓心。 勻速圓周運動是一類重要的運動，廣泛存在於自然界中。很多的運動，都可以被視作勻速圓周運動，如行星上某一天隨着行星自傳繞自轉中心的運動，就可以被視作勻速圓周運動。

加速度和向心力

示例圖1 勻速圓周運動的向心力公式推導

做勻速圓周運動的物體，速度無時無刻沒有變化，因此肯定有一個加速度來改變速度，我們現在來探究這個加速度究竟是怎樣的一個加速度。

如示例圖1所示的勻速圓周運動，在$t_{0}$時刻，物體運動的速度為${\boldsymbol {v_{0}}}$,並且在經過$\Delta t$後的$t_{1}$時刻，速度為${\boldsymbol {v_{1}}}$，這段時間物體運動的軌跡圓弧所對的圓心角為$\theta$，且無論在任何時刻，物體運動的速率都為$v$。如果我們以A為原點，AG為$y$軸負方向，${\boldsymbol {v_{0}}}$方向為$x$軸正方向建立平面直角坐標系，則有${\boldsymbol {v_{0}}}=(v,0)$，${\boldsymbol {v1}}=(v\cos \theta ,v\sin \theta )$。

$${\begin{aligned}\Delta {\boldsymbol {v}}&={\boldsymbol {v_{1}}}-{\boldsymbol {v0}}\\&=(v\cos \theta -v,v\sin \theta )\\\end{aligned}}$$

現在我們假設我們考慮的$\Delta t$值很小，那麼此時$\theta$也非常小，此時有

$$\cos \theta \approx 1$$

而

$$\sin \theta \approx \theta$$

請注意，上述公式來自於微分，如果你對微分的內容並不熟悉，請你比較線段GD以及$\theta$所對的弧來感受，你也可以用類似於GeoGebra的開源數學圖形計算軟件作圖直觀感受一下。當$\Delta t$趨近於0時，我們認為上述「≈」是可以被視作「=」的。因此有，

$$\Delta {\boldsymbol {v}}=(0,v\sin \theta )$$

我們將上式以及$\theta ={\frac {v\Delta t}{r}}$帶入計算加速度的公式

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&={\frac {\Delta {\boldsymbol {v}}}{\Delta t}}\\&=(0,{\frac {v^{2}}{r}})\\\end{aligned}}$$

我們從上述結論中看到，物體加速度${\boldsymbol {a}}$是一個垂直於物體運動速度且方向指向圓心的向量，大小關係已由上式給出。由於這個$t_{0}$時刻是任意取的，因此我們可以得出，任何時刻做勻速圓周運動的物體，加速度始終垂直於速度且指向圓心，我們將這個加速度叫做向心加速度。根據牛頓第二定律，物體在任何時刻都受到的合外力為

$${\boldsymbol {F}}=m{\frac {{\boldsymbol {v}}|{\boldsymbol {v}}|}{r}}$$

如果我們只考慮大小純量，則

$$F=m{\frac {v^{2}}{r}}$$

我們將這個合外力稱作向心力。

到這裏，你應該能夠感受向心力究竟來自於哪裏，例如，繞地球做圓周運動（如果近似地認為是圓周運動的話）的月球，向心力來自於地球對它的引力。和引力有關的內容，我們將在下個章節介紹。

線速度和角速度

在勻速圓周運動中，我們給予速率一個特殊的名稱，稱為線速度，表示物體沿弧線運動的速度大小。

我們定義新的向量角速度

$${\boldsymbol {\omega }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}{{\boldsymbol {r}}^{2}}}$$

這個向量和物體做圓周運動的平面是垂直，但是其定義的方式似乎十分晦澀。如果我們只考慮純量，也就是其大小，那麼就是

$$\omega ={\frac {v}{r}}$$

這個向量就意義就一目了然了。首先，它的大小是物體運動的速度除以做圓周運動的軌跡圓的半徑，如果我們在公式兩邊同時乘以時間，那麼左右兩邊都可以代表這段時間內物體經過的弧所對的圓心角大小。簡言之——這個向量通過描述物體單位時間內所掃過的角度來描述了物體做圓周運動的快慢。角速度的單位有很多種，只要合適的單位都可以被使用，經常使用的單位有弧度每秒（rad/s），對於那些角速度非常大的勻速圓周運動，我們習慣上使用轉每分（rpm）、轉每秒（rps）等單位，它們代表物體每分（或每秒）做勻速圓周運動的周數。如果你對數字設備硬件有一定的了解，你可能已經注意到，機械硬盤的性能指標之一的轉速單位就是轉每分。

偽向量

線速度作為向量，在勻速圓周運動中，它的大小不變，方向切於圓弧。我們可完善一系列相關的計算。例如，計算向心力的公式，可以重新寫為

$${\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {v}}$$

如果將上述公式中的角速度用純量代替，計算出的向心力方向即是錯誤的。實際上，定義這樣的向量，是為了完善我們的向量的計算系統。

我們將物理量中，以向量叉積（×）定義的向量，稱之為偽向量。（偽向量與向量的差別在鏡像反射變換下會顯露出來。）