訊號與系統/傅立葉轉換的範例

1. 臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 当前用字模式下显示为→方向导数
2. 臺灣：積分形式；大陆：积分形式； 当前用字模式下显示为→积分形式
3. 臺灣：微分形式；大陆：微分形式； 当前用字模式下显示为→微分形式
4. 臺灣：約束；大陆：约束； 当前用字模式下显示为→约束
5. 原始语言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 当前用字模式下显示为→博雷尔
6. 原始语言：Christoffel；臺灣：克里斯多福；大陆：克里斯托费尔； 当前用字模式下显示为→克里斯托费尔
7. 原始语言：Clifford；臺灣：克里福；大陆：克利福德； 当前用字模式下显示为→克利福德
8. 原始语言：Eratosthenes；大陆：埃拉托斯特尼；臺灣：埃拉托斯特尼；香港：愛拉托散尼； 当前用字模式下显示为→埃拉托斯特尼
9. 原始语言：Fourier；臺灣：傅立葉；大陆：傅里叶； 当前用字模式下显示为→傅里叶
10. 原始语言：Frobenius；臺灣：弗比尼斯；大陆：弗罗贝尼乌斯； 当前用字模式下显示为→弗罗贝尼乌斯
11. 原始语言：Hausdorff；臺灣：郝斯多夫；大陆：豪斯多夫； 当前用字模式下显示为→豪斯多夫
12. 原始语言：Levi-Civita；臺灣：勒維奇維塔；大陆：列维-奇维塔； 当前用字模式下显示为→列维-奇维塔
13. 原始语言：L'Hôpital；臺灣：羅必達；香港：洛必達；大陆：洛必达； 当前用字模式下显示为→洛必达
14. 原始语言：Markov；臺灣：馬可夫；大陆：马尔可夫； 当前用字模式下显示为→马尔可夫
15. 原始语言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 当前用字模式下显示为→泊松
16. 原始语言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 当前用字模式下显示为→勒让德
17. 原始语言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 当前用字模式下显示为→施瓦兹
18. 原始语言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 当前用字模式下显示为→阿列夫
19. 原始语言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 当前用字模式下显示为→阿列夫数
20. 原始语言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 当前用字模式下显示为→代数相关
21. 原始语言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 当前用字模式下显示为→代数无关
22. 原始语言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 当前用字模式下显示为→代数闭域
23. 原始语言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 当前用字模式下显示为→自守形式
24. 原始语言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 当前用字模式下显示为→双射
25. 原始语言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 当前用字模式下显示为→丛
26. 原始语言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 当前用字模式下显示为→中心极限定理
27. 原始语言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 当前用字模式下显示为→典型群
28. 原始语言：Closed graph theorem；臺灣：閉圖定理；大陆：闭图像定理； 当前用字模式下显示为→闭图像定理
29. 原始语言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 当前用字模式下显示为→上同调
30. 原始语言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 当前用字模式下显示为→复平面
31. 原始语言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 当前用字模式下显示为→复指数
32. 原始语言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 当前用字模式下显示为→复结构
33. 原始语言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 当前用字模式下显示为→互素
34. 原始语言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 当前用字模式下显示为→协方差
35. 原始语言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 当前用字模式下显示为→分圆域
36. 原始语言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 当前用字模式下显示为→导出代数
37. 原始语言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 当前用字模式下显示为→导出函子
38. 原始语言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 当前用字模式下显示为→导集
39. 原始语言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 当前用字模式下显示为→控制收敛定理
40. 原始语言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 当前用字模式下显示为→本征函数
41. 原始语言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 当前用字模式下显示为→扩张域
42. 原始语言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 当前用字模式下显示为→斐波那契数列
43. 原始语言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 当前用字模式下显示为→域扩张
44. 原始语言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 当前用字模式下显示为→域论
45. 原始语言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 当前用字模式下显示为→有限域
46. 原始语言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 当前用字模式下显示为→分形
47. 原始语言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 当前用字模式下显示为→整体域
48. 原始语言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 当前用字模式下显示为→线性相关
49. 原始语言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 当前用字模式下显示为→线性无关
50. 原始语言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 当前用字模式下显示为→局部域
51. 原始语言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 当前用字模式下显示为→单位元
52. 原始语言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 当前用字模式下显示为→逆元素
53. 原始语言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 当前用字模式下显示为→最小二乘
54. 原始语言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 当前用字模式下显示为→马尔可夫链
55. 原始语言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 当前用字模式下显示为→中值定理
56. 原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
57. 原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
58. 原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
59. 原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
60. 原始语言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 当前用字模式下显示为→正交补
61. 原始语言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 当前用字模式下显示为→最优化
62. 原始语言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 当前用字模式下显示为→道路连通
63. 原始语言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 当前用字模式下显示为→素理想
64. 原始语言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 当前用字模式下显示为→素数
65. 原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
66. 原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
67. 原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
68. 原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
69. 原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
70. 原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
71. 原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
72. 原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
73. 原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
74. 原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
75. 原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
76. 原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
77. 原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
78. 原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
79. 原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
80. 原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
81. 原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
82. 原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
83. 原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
84. 原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
85. 原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
86. 原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
87. 原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
88. 原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
89. 原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
90. 原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
91. 原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
92. 原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
93. 原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

範例5.1

試求y(t)=$e^{-\alpha t}u(t)$ ，$\alpha >0$之傅立葉轉換，並繪出y(t)的頻譜。

                                         © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

【解】 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t)e^{-j2\pi ft}dt$
       =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t)e^{-\alpha t}u(t)e^{-j2\pi ft}dt$
      =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t)e^{-(\alpha +j2\pi f)t}dt$
      =$\frac{-1}{\alpha +j2\pi f}{e}^{-(\alpha +j2\pi f)t}dt{\mid }_0^{\mathrm{\infty }}$

      =$\frac{1}{\alpha +j2\pi f}$

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範例5.1(續)

$\mid Y(f)\mid =\mid \frac{1}{\alpha +j2\pi f}\mid =\frac{1}{\sqrt{{\alpha }^2+4{\pi }^2{f}^2}}$

$\mathrm{\angle }Y(f)=\mathrm{\angle }(\frac{1}{\alpha +j2\pi f})=\mathrm{\angle }1-\mathrm{\angle }(\alpha +j2\pi f)$

$=0-{\tan }^{-1}(\frac{2\pi f}{\alpha })$

$=-{\tan }^{-}1(\frac{2\pi f}{\alpha })$

                                 © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

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範例5.2

試求${\chi }_2(t)=e^{-a\mid t\mid }$，a>0之傅立葉轉換

【解】 ${\chi }_2(f)$=$\mathrm{\Im }${${\chi }_2(t)$} =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t){\chi }_2(t)e^{-j2\pi ft}dt$

 = ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{at}{e}^{-j2\pi ft}dt$+${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-at}{e}^{-j2\pi ft}dt$
 = $\frac{1}{a-j2\pi f}$ +$\frac{1}{a+j2\pi f}$
 =$\frac{2a}{a^2+(2\pi f{)}^2}$

 假設a=2 

                                         ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。
    

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範例5.3

試求$\chi (t)=rect\frac{t}{\tau }$的傅立葉轉換。

【解】

                                © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

           (1)用頻率f：$\mathrm{X}(f)$=$\mathrm{\Im }${${\chi }_2(t)$} =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (t)e^{-j2\pi ft}dt$

=${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}rect\frac{t}{\tau }{e}^{-j2\pi ft}dt$ =${\int }_{\frac{-\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}1e^{-j2\pi ft}dt$ =$\frac{1}{-j2\pi f}{e}^{-j2\pi ft}{\mid }_{\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}$

=$\frac{1}{-j2\pi f}{e}^{-j2\pi ft}$($e^{j\pi f\tau }-e^{j\pi f\tau }$)

=$\tau \frac{\sin (\pi f\tau )}{\pi f\tau }$=$\tau sinc(\tau f)$

            sinc(x)=$\frac{\sin (\pi \chi )}{\pi \chi }$

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範例5.3(續)

(2)用角頻率$\omega$： ${\mathrm{X}}_{\omega }(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{infty}{e}^{-j\omega t}dt$

$={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{infty}rect(\frac{t}{\tau })e^{-j\omega t}dt$

=${\int }_{-\frac{t}{\tau }}^{\frac{t}{\tau }}1e^{-j\omega t}dt$

=$\frac{1}{-j\omega }$($e^{-j\omega \frac{t}{\tau }}-e^{-j\omega \frac{t}{\tau }}$)

=$\tau \frac{\sin \frac{\omega \tau }{2}}{\frac{\omega \tau }{2}}$

=$\tau sa(\frac{\omega \tau }{2})$

           $sa(y)=\frac{\sin (y)}{y}$

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範例5.3(續)

定義：$sinc(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$

    $Sa(y)=\frac{\sin (y)}{y}$

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範例5.3(續)

                            © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

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範例5.4

試求$x_b(t)=rect(t+\frac{1}{2})-rect(t-\frac{1}{2})$的傅立葉轉換

【解】$x_b(f)={\int }_{-1}^0{e}^{-j2\pi ft}dt-{\int }_0^1{e}^{-j2\pi ft}dt$

=$-\frac{1}{j2\pi f}$[$e^{-j2\pi ft}{\mid }_{-}{1}^0-e^{-j2\pi ft}{\mid }_0^1$]

=$-\frac{1}{j2\pi f}$($1-e^{j2\pi ft}-e^{-j2\pi ft}+1$)

                                          $e^{j2\pi ft}+e^{-j2\pi ft}$

                                                =$2\cos 2\pi f$

=$-\frac{1}{j2\pi f}$[$2-2\cos (2\pi f)$]

=$\frac{j}{\pi f}(1-\cos 2\pi f)$

                                        $1-\cos 2\pi f$

                                         =$2{\sin }^2(\pi f)$

=$j2\frac{{\sin }^2\pi f}{\pi f}$

=$j2\pi fsin{c}^2(f)$

                               © Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

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範例5.4(續)

                                     © Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

說明：${\mathrm{X}}_b(f)=j2\pi fsin{c}^2(f)$

    $\Rightarrow {\mathrm{X}}_b\omega (\omega )=j\omega (\frac{\sin \pi f}{\pi f}{)}^2$
                                =$j\omega$[$\frac{\sin (\frac{\omega }{2})}{\frac{\omega }{2}}$]${}^2$                                 
                                =$j\omega s{a}^2\frac{\omega }{2}$

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範例5.5

試求直流訊號$\chi (t)=1$,$-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }$的傅立葉轉換

【解】$\mathrm{X}(f)$=${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}1e^{-j2\pi ft}dt$

    =$\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-\frac{t}{2}}^{\frac{t}{2}}1e^{-j2\pi ft}dt$

    =$\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{-j2\pi f}{e}^{-j2\pi ft}dt{\mid }_{-}{\frac{t}{2}}^{\frac{t}{2}}$

   =$\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{-j2\pi f}$[$e^{-j2\pi ft}-e^{j2\pi ft}$]

=$\frac{1}{\pi f}\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin (\pi fT)$

因為$\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin (\pi fT)$不存在，故$\chi (t)=1$ 的傅立葉轉換不收斂。 由此範例可知，直流訊號$\chi (t)=1$的傅立葉轉換不存在。很多常用的訊號 模型 如$\cos ,\sin ,\delta (t),u(t)$等其傅立葉轉換均不存在! 下節將介紹廣義的傅立葉轉換(generalized Fourier transform)來解決此一問題

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廣義的傅立葉轉換

為了讓一些常用的訊號模型如$\sin ,\cos$複指數訊號$(e^{-j2\pi ft}),\delta (t),u(t)$可作傅立葉轉換，將其擴展為包含極限的定義，也就是廣義的傅立葉轉換。

例如：

     (1)$\mathrm{\Im }$ {$\cos 2\pi f_{0}t$} =$\underset{\alpha \to 0}{lim}\mathrm{\Im }$  {$exp(-\alpha \mid t\mid )\cos 2\pi f_{0}t$} ,$\alpha >0$

     =$\frac{1}{2}$ {$\delta (f-f_0)+\delta (f+f_0)$}

    (2)$\mathrm{\Im }$ {$\delta (t)$}= $\underset{ϵ\to 0}{lim}$$\mathrm{\Im }$ {${\delta }_{ϵ}(t)=rect(t/2ϵ)/(2ϵ)$} =1
 
    (3)$\mathrm{\Im }$ {A} =$\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathrm{\Im }$ {$Arect(t/T)$}=A$\delta (f)$

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範例5.6

試求函數$\delta (t)$的傅立葉轉換。

【解】$\mathrm{\Im }$ {$\delta (t)$ }= ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t)e^{-j2\pi ft}dt$

                                 $\chi (t)\delta (t)=\chi (0)\delta (t)$

   = ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t)e^{-j2\pi f0}dt$
   =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t),dt$=1

所以：$\delta (t)\leftrightarrow 1$

                                        ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

由上圖知，單位脈衝訊號$\delta (t)$包含所有頻率且不同頻率之振幅均相等。

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範例5.7

試求$\delta (f)$的傅立葉逆轉換

【解】${\mathrm{\Im }}^{-1}$ {$\delta (f)$ }= ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f)e^{j2\pi ft}df$=${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f)e^{j2\pi 0t}df$=${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f)df=1$

所以：$1\leftrightarrow \delta (f)$ 物理意義：大小為1的常數訊號為一直流訊號，故其頻譜只在f=0處存在

                    一單位脈衝函數
                           
                                            ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

注意：根據上述關係可知。$Im$ {$1$}=${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-j\pi ft}dt=\delta (f)$ 積分公式：${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-j\pi ft}dt=\delta (f)$

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範例5.8

試求$2\pi \delta (\omega )$的傅立葉逆轉換。

【解】${\mathrm{\Im }}^{-1}$ {$2\pi \delta (\omega )$}=$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}2\pi \delta (\omega )e^{j\omega t}d\omega ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\omega )e^{j0t}d\omega ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\omega )d\omega =1$ 所以：$1\leftrightarrow 2\pi \delta (\omega )$

 注意 ：根據上述關係可知$Im$ {1} =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}1e^{-j\omega t}dt=2\pi \delta (\omega )$

積分公式：${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-j\omega t}dt=\delta (\omega )$

                                     © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

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$\delta (k\chi )v.s.\delta (\chi )$

       $\delta (k\chi )=\frac{1}{\left|k\right|}\delta (\chi )$    $k\ne 0$

【證明】 (1)假設k>0 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (k\chi )dx$

                                                 令y=$k\chi$
                                                  dy=$kd\chi$

                          =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (y)(\frac{y}{k})$  

                          =$\frac{1}{k}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (y)dy$

                          =$\frac{1}{k}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x)dx$

                          =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}\delta (x)dx$

                        故$\delta (k\chi )=\frac{1}{k}\delta (\chi )$   k>0

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$\delta (k\chi )v.s.\delta (\chi )$(續)

(2)假設k<0         ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (k\chi )dx$
                                           令y=$k\chi$
                                            dy=$kd\chi$
                   
                 因為k<0
                     
                          =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (y)\frac{dy}{k}$  

                          =-$\frac{1}{k}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (y)dy$

                          =-$\frac{1}{k}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x)dx$

                          =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}-\frac{1}{k}\delta (x)dx$

                        故$\delta (k\chi )=-\frac{1}{k}\delta (\chi )$   k<0

結論： (1)$\delta (k\chi )=\frac{1}{\left|k\right|}\delta (\chi )$ $k\ne 0$

       (2)k=-1

$\delta (-\chi )=\delta (\chi )$即$\delta (\chi )$為一偶函數。

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範例5.9

試求$\chi (t)=e^{j2\pi f_{0}t}$之傅立葉轉換，其中$f_0$為一固定頻率。

【解】$\mathrm{X}(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (t)e^{-j2\pi ft}dt$

                 =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (t)e^{j2\pi f_{0}t}{e}^{-j2\pi ft}dt$
   
                 =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (t)e^{-j2\pi (f-f_0)t}dt$
                                           根據積分公式${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (t)e^{-j2\pi ft}dt=\delta (f)$

                 =$\delta (f-f_0)$ 

${\mathrm{X}}_{\omega }(\omega )=\mathrm{X}(\frac{\omega }{2\pi })=\delta (\frac{\omega -{\omega }_0}{2\pi })$

     $\omega =2\pi f$
      ${\omega }_0=2\pi f_0$

                    =$2\pi \delta (\omega -{\omega }_0)$

由$\mathrm{X}(f)$(或${\mathrm{X}}_{\omega }(\omega )$ )可知，$\chi (t)=e^{j2\pi f_{0}t}$為僅具有單一頻率$f_0$的訊號

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範例5.10

試求符號函數(sign function)y(t)=$\mathrm{sgn}(t)$的傅立葉轉換。

【解】 符號函數

                   $sgn(t)=$1  t>0 ;  -1  t<0

$\Rightarrow \mathrm{sgn}(t)=$ [$\underset{a\to 0}{lim}{e}^{-at}u(t)-e^{-a(-t)}u(-t)$] a>0

Y(f)=$\mathrm{\Im }$ {$sgn(t)$}= [$\underset{a\to 0}{lim}{e}^{-at}u(t)-e^{-a(-t)}u(-t)$]

                                                 © Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.

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範例5.10(續)

$\mathrm{\Im }$ [e^{-at}u(t)-e^{-a(-t)}u(-t)]

=${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$ { $e^{-at}u(t)-e^{-a(-t)}u(t)$ } $e^{-j2\pi ft}dt$

=${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-at}u(t)e^{-j2\pi ft}dt$-${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-a(-t)}u(-t)e^{-j2\pi ft}dt$

=${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-at}{e}^{-j2\pi ft}dt$-${\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{-a(-t)}u(t)e^{-j2\pi ft}dt$

=${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(a+j2\pi f)t}dt$-${\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{-(-a+j2\pi f)t}dt$

=$\frac{1}{a+j2\pi f}+\frac{1}{-a+j2\pi f}=\frac{j4\pi f}{-[a^2+4{\pi }^2{f}^2]}$

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範例5.10(續)

Y(f)=$\mathrm{\Im }$ { sgn(t) }=$\underset{a\to 0}{lim}\frac{j4\pi f}{-(a^2+4{\pi }^2{f}^2)}$=$\frac{j4\pi f}{-4{\pi }^2{f}^2}$=$\frac{1}{j\pi f}$

所以sgn(t)$\leftrightarrow \frac{1}{j\pi f}(=\frac{2}{j\omega },\omega =2\pi f)$

                                            © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

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