訊號與系統/傅立葉轉換的範例

Audio：大陆：音频；臺灣：音訊； 當前語言下顯示→音訊
Channel：大陆：信道；臺灣：通道； 當前語言下顯示→通道
Communication：大陆：通信；臺灣：通訊； 當前語言下顯示→通訊
Convolution：大陆：卷积；臺灣：摺積； 當前語言下顯示→摺積
Digital：臺灣：數位；大陆：数字；香港：數碼； 當前語言下顯示→數碼
Fourier：大陆：傅里叶；臺灣：傅立葉； 當前語言下顯示→傅立葉
information：大陆：信息；臺灣：資訊； 當前語言下顯示→資訊
integrated circuit：大陆：集成电路；臺灣：積體電路；香港：集成電路； 當前語言下顯示→集成電路
logic gate：大陆：逻辑门；香港：邏輯門；臺灣：邏輯閘； 當前語言下顯示→邏輯門
Noise：臺灣：雜訊；大陆：噪声； 當前語言下顯示→雜訊
P-N junction：大陆：P-N结；香港：P-N結；臺灣：P-N接面； 當前語言下顯示→P-N結
P-n junction：大陆：P-n结；香港：P-n結；臺灣：P-n接面； 當前語言下顯示→P-n結
p-n junction：大陆：p-n结；香港：p-n結；臺灣：p-n接面； 當前語言下顯示→p-n結
PN junction：大陆：PN结；香港：PN結；臺灣：PN接面； 當前語言下顯示→PN結
Pn junction：大陆：Pn结；香港：Pn結；臺灣：Pn接面； 當前語言下顯示→Pn結
pn junction：大陆：pn结；香港：pn結；臺灣：pn接面； 當前語言下顯示→pn結
Signal：臺灣：訊號；大陆：信号； 當前語言下顯示→訊號
Signal-to-noise ratio, SNR：臺灣：訊雜比；大陆：信噪比；香港：訊噪比； 當前語言下顯示→訊噪比
Signaling System Number 7：大陆：七号信令系统；臺灣：第七號發信系統；香港：七號信令系統； 當前語言下顯示→七號信令系統
Time-invariant system：大陆：时不变系统；臺灣：非時變系統； 當前語言下顯示→非時變系統
Video：大陆：视频；臺灣：視訊；香港：影片； 當前語言下顯示→影片
modulation：大陆：调制；香港：調制；臺灣：調變； 當前語言下顯示→調制
vestigial sideband：大陆：残余边带；臺灣：殘邊帶； 當前語言下顯示→殘邊帶
amplitude：大陆：幅度；臺灣：振幅； 當前語言下顯示→振幅
PSK：臺灣：相位移鍵；大陆：移相键控； 當前語言下顯示→相位移鍵
Mobile communication：臺灣：行動通訊；大陆：移动通信；香港：流動通訊； 當前語言下顯示→流動通訊
Time division：香港：時分；大陆：时分；臺灣：分時； 當前語言下顯示→時分
Frequency division：香港：頻分；大陆：频分；臺灣：分頻； 當前語言下顯示→頻分
Code division：香港：碼分；大陆：码分；臺灣：分碼； 當前語言下顯示→碼分
TDMA：香港：時分多址；大陆：时分多址；臺灣：分時多重進接； 當前語言下顯示→時分多址
FDMA：香港：頻分多址；大陆：频分多址；臺灣：分頻多重進接； 當前語言下顯示→頻分多址
CDMA：香港：碼分多址；大陆：码分多址；臺灣：分碼多重進接； 當前語言下顯示→碼分多址
SDMA：香港：空分多址；大陆：空分多址；臺灣：分空間多重進接； 當前語言下顯示→空分多址
TDM：香港：時分複用；大陆：时分复用；臺灣：分時多工； 當前語言下顯示→時分複用
FDM：香港：頻分複用；大陆：频分复用；臺灣：分頻多工； 當前語言下顯示→頻分複用
SDM：香港：空分複用；大陆：空分复用；臺灣：空間多工； 當前語言下顯示→空分複用
WDM：香港：波分複用；大陆：波分复用；臺灣：波長分波多工； 當前語言下顯示→波分複用
iDEN：臺灣：整合數位強化網路；大陆：集成数字增强网络； 當前語言下顯示→整合數位強化網路
GPRS：臺灣：通用封包無線服務；大陆：通用分组无线服务； 當前語言下顯示→通用封包無線服務
spread-spectrum：大陆：扩频；臺灣：展頻； 當前語言下顯示→展頻
spread-spectrum：大陆：扩谱；臺灣：展譜； 當前語言下顯示→展譜
Packet：臺灣：封包；大陆：分组； 當前語言下顯示→封包
Cellular data：臺灣：蜂巢式資料；大陆：蜂窝数据；香港：蜂巢式數據； 當前語言下顯示→蜂巢式數據
Cellular network：臺灣：蜂巢式網路；大陆：蜂窝网络；香港：蜂巢式網絡； 當前語言下顯示→蜂巢式網絡
Bit：臺灣：位元；大陆：比特； 當前語言下顯示→位元
Slot：臺灣：時槽；大陆：时隙； 當前語言下顯示→時槽
error correcting code：大陆：纠错码；臺灣：錯誤更正碼；香港：除錯碼； 當前語言下顯示→除錯碼
Information theory：繁體：消息理論；简体：信息论； 當前語言下顯示→消息理論
Information theory：臺灣：資訊理論；大陆：信息论； 當前語言下顯示→資訊理論
Sampling Theorem：臺灣：取樣定理；大陆：采样定理； 當前語言下顯示→取樣定理
Shannon：大陆：香农；臺灣：夏農；香港：山農； 當前語言下顯示→山農
Analog Broadcasting：大陆：模拟广播；臺灣：類比廣播；香港：模擬廣播； 當前語言下顯示→模擬廣播
Analog Television：大陆：模拟电视；臺灣：類比電視；香港：模擬電視； 當前語言下顯示→模擬電視
Definition：大陆：清晰度；臺灣：解析度；香港：清晰度； 當前語言下顯示→清晰度
Digital Broadcasting：大陆：数字广播；香港：數碼廣播；臺灣：數位廣播;zh-mo:數字廣播； 當前語言下顯示→數碼廣播
Digital Television：大陆：数字电视；臺灣：數位電視；香港：數碼電視;zh-mo:數字電視； 當前語言下顯示→數碼電視;zh-mo:數字電視
DVB-H：大陆：手持地面无线；臺灣：手持式數位視訊廣播；香港：手持式數碼視訊廣播； 當前語言下顯示→手持式數碼視訊廣播
External：大陆：外置；香港：外置；臺灣：外接； 當前語言下顯示→外置
Set-top box：简体：机顶盒；繁體：數碼電視解碼器；香港：機頂盒；臺灣：數位電視機上盒；大陆：机顶盒;zh-mo:機頂盒； 當前語言下顯示→機頂盒
USB Digital TV tuner：大陆：USB数字电视棒；香港：高清USB手指；臺灣：USB數位電視棒； 當前語言下顯示→高清USB手指
USB TV Tuner：大陆：USB电视棒；香港：USB電視手指；臺灣：USB電視棒； 當前語言下顯示→USB電視手指
diversity：大陆：分集；臺灣：多樣； 當前語言下顯示→多樣
Call forwarding：大陆：呼叫转移；臺灣：來電轉駁； 當前語言下顯示→來電轉駁
Information Technology：大陆：信息技术；臺灣：資訊科技； 當前語言下顯示→資訊科技
Landline：大陆：固定电话；臺灣：固網電信；香港：固網電訊； 當前語言下顯示→固網電訊
China Telecom：简体：中国电信；繁體：中國電信； 當前語言下顯示→中國電信
Frame：大陆：帧；臺灣：訊框； 當前語言下顯示→訊框

臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 當前用字模式下顯示為→方向導數
臺灣：積分形式；大陆：积分形式； 當前用字模式下顯示為→積分形式
臺灣：微分形式；大陆：微分形式； 當前用字模式下顯示為→微分形式
臺灣：約束；大陆：约束； 當前用字模式下顯示為→約束
原始語言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 當前用字模式下顯示為→鮑萊耳
原始語言：Christoffel；臺灣：克里斯多福；大陆：克里斯托费尔； 當前用字模式下顯示為→克里斯多福
原始語言：Clifford；臺灣：克里福；大陆：克利福德； 當前用字模式下顯示為→克里福
原始語言：Eratosthenes；大陆：埃拉托斯特尼；臺灣：埃拉托斯特尼；香港：愛拉托散尼； 當前用字模式下顯示為→愛拉托散尼
原始語言：Fourier；臺灣：傅立葉；大陆：傅里叶； 當前用字模式下顯示為→傅立葉
原始語言：Frobenius；臺灣：弗比尼斯；大陆：弗罗贝尼乌斯； 當前用字模式下顯示為→弗比尼斯
原始語言：Hausdorff；臺灣：郝斯多夫；大陆：豪斯多夫； 當前用字模式下顯示為→郝斯多夫
原始語言：Levi-Civita；臺灣：勒維奇維塔；大陆：列维-奇维塔； 當前用字模式下顯示為→勒維奇維塔
原始語言：L'Hôpital；臺灣：羅必達；香港：洛必達；大陆：洛必达； 當前用字模式下顯示為→洛必達
原始語言：Markov；臺灣：馬可夫；大陆：马尔可夫； 當前用字模式下顯示為→馬可夫
原始語言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 當前用字模式下顯示為→卜瓦松
原始語言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 當前用字模式下顯示為→勒壤得
原始語言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 當前用字模式下顯示為→施瓦次
原始語言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 當前用字模式下顯示為→艾禮富
原始語言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 當前用字模式下顯示為→艾禮富數
原始語言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 當前用字模式下顯示為→代數相依
原始語言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 當前用字模式下顯示為→代數獨立
原始語言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 當前用字模式下顯示為→代數閉體
原始語言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 當前用字模式下顯示為→自守式
原始語言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 當前用字模式下顯示為→對射
原始語言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 當前用字模式下顯示為→束
原始語言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 當前用字模式下顯示為→中央極限定理
原始語言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 當前用字模式下顯示為→古典群
原始語言：Closed graph theorem；臺灣：閉圖定理；大陆：闭图像定理； 當前用字模式下顯示為→閉圖定理
原始語言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 當前用字模式下顯示為→餘調
原始語言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 當前用字模式下顯示為→複數平面
原始語言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 當前用字模式下顯示為→複指數
原始語言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 當前用字模式下顯示為→複結構
原始語言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 當前用字模式下顯示為→互質
原始語言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 當前用字模式下顯示為→共變異數
原始語言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 當前用字模式下顯示為→分圓體
原始語言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 當前用字模式下顯示為→導來代數
原始語言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 當前用字模式下顯示為→導來函子
原始語言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 當前用字模式下顯示為→導來集
原始語言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 當前用字模式下顯示為→受制收斂定理
原始語言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 當前用字模式下顯示為→固有函數
原始語言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 當前用字模式下顯示為→擴張體
原始語言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 當前用字模式下顯示為→費氏數列
原始語言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 當前用字模式下顯示為→體擴張
原始語言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 當前用字模式下顯示為→體論
原始語言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 當前用字模式下顯示為→有限體
原始語言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 當前用字模式下顯示為→碎形
原始語言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 當前用字模式下顯示為→大域體
原始語言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 當前用字模式下顯示為→線性相依
原始語言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 當前用字模式下顯示為→線性獨立
原始語言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 當前用字模式下顯示為→局部體
原始語言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 當前用字模式下顯示為→單位元
原始語言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 當前用字模式下顯示為→反元素
原始語言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 當前用字模式下顯示為→最小平方
原始語言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 當前用字模式下顯示為→馬可夫鏈
原始語言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 當前用字模式下顯示為→中值定理
原始語言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 當前用字模式下顯示為→數體
原始語言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 當前用字模式下顯示為→範數
原始語言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 當前用字模式下顯示為→賦範
原始語言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 當前用字模式下顯示為→有序體
原始語言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 當前用字模式下顯示為→正交補餘
原始語言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 當前用字模式下顯示為→最佳化
原始語言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 當前用字模式下顯示為→路徑連通
原始語言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 當前用字模式下顯示為→質理想
原始語言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 當前用字模式下顯示為→質數
原始語言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 當前用字模式下顯示為→質環
原始語言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 當前用字模式下顯示為→機率
原始語言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 當前用字模式下顯示為→二次體
原始語言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 當前用字模式下顯示為→實數軸
原始語言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 當前用字模式下顯示為→實閉體
原始語言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 當前用字模式下顯示為→遞迴
原始語言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 當前用字模式下顯示為→遞迴關係
原始語言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 當前用字模式下顯示為→純量
原始語言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 當前用字模式下顯示為→純量曲率
原始語言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 當前用字模式下顯示為→和式號
原始語言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 當前用字模式下顯示為→單純群
原始語言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 當前用字模式下顯示為→單純李氏群
原始語言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 當前用字模式下顯示為→單體
原始語言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 當前用字模式下顯示為→單體複形
原始語言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 當前用字模式下顯示為→奇異點
原始語言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 當前用字模式下顯示為→分裂體
原始語言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 當前用字模式下顯示為→子體
原始語言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 當前用字模式下顯示為→切線束
原始語言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 當前用字模式下顯示為→均勻有界原理
原始語言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 當前用字模式下顯示為→均勻連續
原始語言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 當前用字模式下顯示為→均勻收斂
原始語言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 當前用字模式下顯示為→均勻範數
原始語言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 當前用字模式下顯示為→均勻空間
原始語言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 當前用字模式下顯示為→聯集
原始語言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 當前用字模式下顯示為→么正空間
原始語言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 當前用字模式下顯示為→么正群
原始語言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 當前用字模式下顯示為→么正矩陣
原始語言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 當前用字模式下顯示為→變異數
原始語言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 當前用字模式下顯示為→貝氏定理

範例5.1

試求y(t)= $e^{-\alpha t}u(t)$ ， $\alpha >0$ 之傅立葉轉換，並繪出y(t)的頻譜。

                                         © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

【解】  $\int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$ 
       = $\int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-\alpha t}u(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$ 
      = $\int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-(\alpha +j2\pi f)t}\,dt$ 
      = ${\frac {-1}{\alpha +j2\pi f}}e^{-(\alpha +j2\pi f)t}\,dt\mid _{0}^{\infty }$

      = ${\frac {1}{\alpha +j2\pi f}}$

範例5.1(續)

$\mid Y(f)\mid =\mid {\frac {1}{\alpha +j2\pi f}}\mid ={\frac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}+4\pi ^{2}f^{2}}}}$

$\angle Y(f)=\angle ({\frac {1}{\alpha +j2\pi f}})=\angle 1-\angle (\alpha +j2\pi f)$

$=0-\tan ^{-1}({\frac {2\pi f}{\alpha }})$

$=-\tan ^{-}{1}({\frac {2\pi f}{\alpha }})$

                                 © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

範例5.2

試求 $\chi _{2}(t)=e^{-a\mid t\mid }$ ，a>0之傅立葉轉換

【解】 $\chi _{2}(f)$ = $\Im$ { $\chi _{2}(t)$ } = $\int _{-\infty }^{\infty }y(t)\chi _{2}(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

 =  $\int _{-\infty }^{0}e^{at}e^{-j2\pi ft}\,dt$ + $\int _{0}^{\infty }e^{-at}e^{-j2\pi ft}\,dt$ 
 =  ${\frac {1}{a-j2\pi f}}$  + ${\frac {1}{a+j2\pi f}}$ 
 = ${\frac {2a}{a^{2}+(2\pi f)^{2}}}$

 假設a=2

                                         ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

範例5.3

試求 $\chi (t)=rect{\frac {t}{\tau }}$ 的傅立葉轉換。

【解】

                                © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

           (1)用頻率f： $\mathrm {X} (f)$ = $\Im$ { $\chi _{2}(t)$ } = $\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

= $\int _{-\infty }^{\infty }rect{\frac {t}{\tau }}e^{-j2\pi ft}\,dt$ = $\int _{\frac {-\tau }{2}}^{\frac {\tau }{2}}1e^{-j2\pi ft}\,dt$ = ${\frac {1}{-j2\pi f}}e^{-j2\pi ft}\mid _{\frac {\tau }{2}}^{\frac {\tau }{2}}$

= ${\frac {1}{-j2\pi f}}e^{-j2\pi ft}$ ( $e^{j\pi f\tau }-e^{j\pi f\tau }$ )

= $\tau {\frac {\sin(\pi f\tau )}{\pi f\tau }}$ = $\tau sinc(\tau f)$

            sinc(x)= ${\frac {\sin(\pi \chi )}{\pi \chi }}$

範例5.3(續)

(2)用角頻率 $\omega$ ： $\mathrm {X} _{\omega }(\omega )=\int _{-\infty }^{infty}e^{-j\omega t}\,dt$

$=\int _{-\infty }^{infty}rect({\frac {t}{\tau }})e^{-j\omega t}\,dt$

= $\int _{-{\frac {t}{\tau }}}^{\frac {t}{\tau }}1e^{-j\omega t}\,dt$

= ${\frac {1}{-j\omega }}$ ( $e^{-j\omega {\frac {t}{\tau }}}-e^{-j\omega {\frac {t}{\tau }}}$ )

= $\tau {\frac {\sin {\frac {\omega \tau }{2}}}{\frac {\omega \tau }{2}}}$

= $\tau sa({\frac {\omega \tau }{2}})$

            $sa(y)={\frac {\sin(y)}{y}}$

範例5.3(續)

定義： $sinc(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$

     $Sa(y)={\frac {\sin(y)}{y}}$

範例5.3(續)

                            © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

範例5.4

試求 $x_{b}(t)=rect(t+{\frac {1}{2}})-rect(t-{\frac {1}{2}})$ 的傅立葉轉換

【解】 $x_{b}(f)=\int _{-1}^{0}e^{-j2\pi ft}\,dt-\int _{0}^{1}e^{-j2\pi ft}\,dt$

= $-{\frac {1}{j2\pi f}}$ [ $e^{-j2\pi ft}\mid _{-}1^{0}-e^{-j2\pi ft}\mid _{0}^{1}$ ]

= $-{\frac {1}{j2\pi f}}$ ( $1-e^{j2\pi ft}-e^{-j2\pi ft}+1$ )

                                           $e^{j2\pi ft}+e^{-j2\pi ft}$

                                                = $2\cos 2\pi f$

= $-{\frac {1}{j2\pi f}}$ [ $2-2\cos(2\pi f)$ ]

= ${\frac {j}{\pi f}}(1-\cos 2\pi f)$

                                         $1-\cos 2\pi f$

                                         = $2\sin ^{2}(\pi f)$

= $j2{\frac {\sin ^{2}\pi f}{\pi f}}$

= $j2\pi fsinc^{2}(f)$

                               © Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

範例5.4(續)

                                     © Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

說明： $\mathrm {X} _{b}(f)=j2\pi fsinc^{2}(f)$

     $\Rightarrow \mathrm {X} _{b}\omega (\omega )=j\omega ({\frac {\sin \pi f}{\pi f}})^{2}$ 
                                = $j\omega$ [ ${\frac {\sin({\frac {\omega }{2}})}{\frac {\omega }{2}}}$ ] $^{2}$                                  
                                = $j\omega sa^{2}{\frac {\omega }{2}}$

範例5.5

試求直流訊號 $\chi (t)=1$ , $-\infty <t<\infty$ 的傅立葉轉換

【解】 $\mathrm {X} (f)$ = $\int _{-\infty }^{\infty }1e^{-j2\pi ft}\,dt$

    = $\lim _{T\to \infty }\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}1e^{-j2\pi ft}\,dt$

    = $\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{-j2\pi f}}e^{-j2\pi ft}\,dt\mid _{-}{\frac {t}{2}}^{\frac {t}{2}}$

   = $\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{-j2\pi f}}$ [ $e^{-j2\pi ft}-e^{j2\pi ft}$ ]

= ${\frac {1}{\pi f}}\lim _{T\to \infty }\sin(\pi fT)$

因為 $\lim _{T\to \infty }\sin(\pi fT)$ 不存在，故 $\chi (t)=1$ 的傅立葉轉換不收斂。由此範例可知，直流訊號 $\chi (t)=1$ 的傅立葉轉換不存在。很多常用的訊號模型如 $\cos ,\sin ,\delta (t),u(t)$ 等其傅立葉轉換均不存在! 下節將介紹廣義的傅立葉轉換(generalized Fourier transform)來解決此一問題

廣義的傅立葉轉換

為了讓一些常用的訊號模型如 $\sin ,\cos$ 複指數訊號 $(e^{-j2\pi ft}),\delta (t),u(t)$ 可作傅立葉轉換，將其擴展為包含極限的定義，也就是廣義的傅立葉轉換。

例如：

     (1) $\Im$  { $\cos 2\pi f_{0}t$ } = $\lim _{\alpha \to 0}\Im$   { $exp(-\alpha \mid t\mid )\cos 2\pi f_{0}t$ } , $\alpha >0$

     = ${\frac {1}{2}}$  { $\delta (f-f_{0})+\delta (f+f_{0})$ }

    (2) $\Im$  { $\delta (t)$ }=  $\lim _{\epsilon \to 0}$  $\Im$  { $\delta _{\epsilon }(t)=rect(t/2\epsilon )/(2\epsilon )$ } =1
 
    (3) $\Im$  {A} = $\lim _{T\to \infty }\Im$  { $Arect(t/T)$ }=A $\delta (f)$

範例5.6

試求函數 $\delta (t)$ 的傅立葉轉換。

【解】 $\Im$ { $\delta (t)$ }= $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

                                  $\chi (t)\delta (t)=\chi (0)\delta (t)$

   =  $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)e^{-j2\pi f0}\,dt$ 
   = $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t),dt$ =1

所以： $\delta (t)\leftrightarrow 1$

                                        ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

由上圖知，單位脈衝訊號 $\delta (t)$ 包含所有頻率且不同頻率之振幅均相等。

範例5.7

試求 $\delta (f)$ 的傅立葉逆轉換

【解】 $\Im ^{-1}$  { $\delta (f)$  }=  $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (f)e^{j2\pi ft}\,df$ = $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (f)e^{j2\pi 0t}\,df$ = $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (f)\,df=1$

所以： $1\leftrightarrow \delta (f)$ 物理意義：大小為1的常數訊號為一直流訊號，故其頻譜只在f=0處存在

                    一單位脈衝函數
                           
                                            ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

注意：根據上述關係可知。 $Im$ { $1$ }= $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j\pi ft}\,dt=\delta (f)$ 積分公式： $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j\pi ft}\,dt=\delta (f)$

範例5.8

試求 $2\pi \delta (\omega )$ 的傅立葉逆轉換。

【解】 $\Im ^{-1}$ { $2\pi \delta (\omega )$ }= ${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }2\pi \delta (\omega )e^{j\omega t}\,d\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\omega )e^{j0t}\,d\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\omega )\,d\omega =1$ 所以： $1\leftrightarrow 2\pi \delta (\omega )$

 注意 ：根據上述關係可知 $Im$  {1} = $\int _{-\infty }^{\infty }1e^{-j\omega t}\,dt=2\pi \delta (\omega )$

積分公式： $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j\omega t}\,dt=\delta (\omega )$

                                     © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

$\delta (k\chi )v.s.\delta (\chi )$

        $\delta (k\chi )={\frac {1}{\left|k\right|}}\delta (\chi )$      $k\neq 0$

【證明】 (1)假設k>0 $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (k\chi )\,dx$

                                                 令y= $k\chi$ 
                                                  dy= $kd\chi$

                          = $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (y)\,({\frac {y}{k}})$

                          = ${\frac {1}{k}}\int _{-\infty }^{\infty }\delta (y)\,dy$

                          = ${\frac {1}{k}}\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx$

                          = $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{k}}\delta (x)\,dx$

                        故 $\delta (k\chi )={\frac {1}{k}}\delta (\chi )$    k>0

$\delta (k\chi )v.s.\delta (\chi )$ (續)

(2)假設k<0          $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (k\chi )\,dx$ 
                                           令y= $k\chi$ 
                                            dy= $kd\chi$ 
                   
                 因為k<0
                     
                          = $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (y)\,{\frac {dy}{k}}$

                          =- ${\frac {1}{k}}\int _{-\infty }^{\infty }\delta (y)\,dy$

                          =- ${\frac {1}{k}}\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx$

                          = $\int _{-\infty }^{\infty }-{\frac {1}{k}}\delta (x)\,dx$

                        故 $\delta (k\chi )=-{\frac {1}{k}}\delta (\chi )$    k<0

結論： (1) $\delta (k\chi )={\frac {1}{\left|k\right|}}\delta (\chi )$ $k\neq 0$

       (2)k=-1

$\delta (-\chi )=\delta (\chi )$ 即 $\delta (\chi )$ 為一偶函數。

範例5.9

試求 $\chi (t)=e^{j2\pi f_{0}t}$ 之傅立葉轉換，其中 $f_{0}$ 為一固定頻率。

【解】 $\mathrm {X} (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

                 = $\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{j2\pi f_{0}t}e^{-j2\pi ft}\,dt$ 
   
                 = $\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi (f-f_{0})t}\,dt$ 
                                           根據積分公式 $\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt=\delta (f)$

                 = $\delta (f-f_{0})$

$\mathrm {X} _{\omega }(\omega )=\mathrm {X} ({\frac {\omega }{2\pi }})=\delta ({\frac {\omega -\omega _{0}}{2\pi }})$

      $\omega =2\pi f$ 
       $\omega _{0}=2\pi f_{0}$

                    = $2\pi \delta (\omega -\omega _{0})$

由 $\mathrm {X} (f)$ (或 $\mathrm {X} _{\omega }(\omega )$ )可知， $\chi (t)=e^{j2\pi f_{0}t}$ 為僅具有單一頻率 $f_{0}$ 的訊號

範例5.10

試求符號函數(sign function)y(t)= $\operatorname {sgn}(t)$ 的傅立葉轉換。

【解】符號函數

                    $sgn(t)=$ 1  t>0 ;  -1  t<0

$\Rightarrow \operatorname {sgn}(t)=$ [ $\lim _{a\to 0}e^{-at}u(t)-e^{-a(-t)}u(-t)$ ] a>0

Y(f)= $\Im$ { $sgn(t)$ }= [ $\lim _{a\to 0}e^{-at}u(t)-e^{-a(-t)}u(-t)$ ]

                                                 © Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.

範例5.10(續)

$\Im$ [e^{-at}u(t)-e^{-a(-t)}u(-t)]

= $\int _{-\infty }^{\infty }$ { $e^{-at}u(t)-e^{-a(-t)}u(t)$ } $e^{-j2\pi ft}\,dt$

= $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-at}u(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$ - $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(-t)}u(-t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

= $\int _{0}^{\infty }e^{-at}e^{-j2\pi ft}\,dt$ - $\int _{-\infty }^{0}e^{-a(-t)}u(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

= $\int _{0}^{\infty }e^{-(a+j2\pi f)t}\,dt$ - $\int _{-\infty }^{0}e^{-(-a+j2\pi f)t}\,dt$

= ${\frac {1}{a+j2\pi f}}+{\frac {1}{-a+j2\pi f}}={\frac {j4\pi f}{-[a^{2}+4\pi ^{2}f^{2}]}}$

範例5.10(續)

Y(f)= $\Im$ { sgn(t) }= $\lim _{a\to 0}{\frac {j4\pi f}{-(a^{2}+4\pi ^{2}f^{2})}}$ = ${\frac {j4\pi f}{-4\pi ^{2}f^{2}}}$ = ${\frac {1}{j\pi f}}$

所以sgn(t) $\leftrightarrow {\frac {1}{j\pi f}}(={\frac {2}{j\omega }},\omega =2\pi f)$

                                            © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

範例5.1

範例5.1(續)

範例5.2

範例5.3

範例5.3(續)

範例5.3(續)

範例5.3(續)

範例5.4

範例5.4(續)

範例5.5

廣義的傅立葉轉換

範例5.6

範例5.7

範例5.8

δ ( k χ ) v . s . δ ( χ ) {\displaystyle \delta (k\chi )v.s.\delta (\chi )}

δ ( k χ ) v . s . δ ( χ ) {\displaystyle \delta (k\chi )v.s.\delta (\chi )} (續)

範例5.9

範例5.10

範例5.10(續)

範例5.10(續)

$\delta (k\chi )v.s.\delta (\chi )$

$\delta (k\chi )v.s.\delta (\chi )$ (續)