訊號與系統/指數傅立葉級數

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TDMA：香港：時分多址；大陆：时分多址；臺灣：分時多重進接； 当前語言下顯示→时分多址
FDMA：香港：頻分多址；大陆：频分多址；臺灣：分頻多重進接； 当前語言下顯示→频分多址
CDMA：香港：碼分多址；大陆：码分多址；臺灣：分碼多重進接； 当前語言下顯示→码分多址
SDMA：香港：空分多址；大陆：空分多址；臺灣：分空間多重進接； 当前語言下顯示→空分多址
TDM：香港：時分複用；大陆：时分复用；臺灣：分時多工； 当前語言下顯示→时分复用
FDM：香港：頻分複用；大陆：频分复用；臺灣：分頻多工； 当前語言下顯示→频分复用
SDM：香港：空分複用；大陆：空分复用；臺灣：空間多工； 当前語言下顯示→空分复用
WDM：香港：波分複用；大陆：波分复用；臺灣：波長分波多工； 当前語言下顯示→波分复用
iDEN：臺灣：整合數位強化網路；大陆：集成数字增强网络； 当前語言下顯示→集成数字增强网络
GPRS：臺灣：通用封包無線服務；大陆：通用分组无线服务； 当前語言下顯示→通用分组无线服务
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Slot：臺灣：時槽；大陆：时隙； 当前語言下顯示→时隙
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Information theory：繁體：消息理論；简体：信息论； 当前語言下顯示→信息论
Information theory：臺灣：資訊理論；大陆：信息论； 当前語言下顯示→信息论
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Analog Broadcasting：大陆：模拟广播；臺灣：類比廣播；香港：模擬廣播； 当前語言下顯示→模拟广播
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原始语言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 当前用字模式下显示为→上同调
原始语言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 当前用字模式下显示为→复平面
原始语言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 当前用字模式下显示为→复指数
原始语言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 当前用字模式下显示为→复结构
原始语言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 当前用字模式下显示为→互素
原始语言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 当前用字模式下显示为→协方差
原始语言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 当前用字模式下显示为→分圆域
原始语言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 当前用字模式下显示为→导出代数
原始语言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 当前用字模式下显示为→导出函子
原始语言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 当前用字模式下显示为→导集
原始语言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 当前用字模式下显示为→控制收敛定理
原始语言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 当前用字模式下显示为→本征函数
原始语言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 当前用字模式下显示为→扩张域
原始语言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 当前用字模式下显示为→斐波那契数列
原始语言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 当前用字模式下显示为→域扩张
原始语言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 当前用字模式下显示为→域论
原始语言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 当前用字模式下显示为→有限域
原始语言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 当前用字模式下显示为→分形
原始语言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 当前用字模式下显示为→整体域
原始语言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 当前用字模式下显示为→线性相关
原始语言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 当前用字模式下显示为→线性无关
原始语言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 当前用字模式下显示为→局部域
原始语言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 当前用字模式下显示为→单位元
原始语言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 当前用字模式下显示为→逆元素
原始语言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 当前用字模式下显示为→最小二乘
原始语言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 当前用字模式下显示为→马尔可夫链
原始语言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 当前用字模式下显示为→中值定理
原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
原始语言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 当前用字模式下显示为→正交补
原始语言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 当前用字模式下显示为→最优化
原始语言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 当前用字模式下显示为→道路连通
原始语言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 当前用字模式下显示为→素理想
原始语言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 当前用字模式下显示为→素数
原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

指數傅立葉級數

假設X(t)為一週期訊號，基本週期為0，則X(t)可表示成複指數訊號的和： $\mathbf {\chi (t)}$ =...+ $X_{-2}e^{-j2\omega _{0}t}$ + $X_{1}e^{-j\omega _{0}t}$ + $\mathbf {X_{0}}$ + $X_{1}e^{j\omega _{0}t}$ + $X_{2}e^{j2\omega _{0}t}$ +...

= $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{jn\omega _{0}t}$

其中 $\omega _{0}={\frac {\boldsymbol {2\pi }}{{\boldsymbol {T}}_{0}}}$

指數傅立葉級數的係數

三角傅立葉級數

      $\mathbf {\chi (t)}$ = $a_{0}$ + $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos n\omega _{0}t+b_{n}\sin n\omega _{0}t$ )

尤拉公式 :

     $\sin n\omega _{0}t$ = ${\frac {e^{jn\omega _{0}t}-e^{-jn\omega _{0}t}}{2j}}$

     $\cos n\omega _{0}t$ = ${\frac {e^{jn\omega _{0}t}+e^{-jn\omega _{0}t}}{2}}$

x(t)= $a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}{\frac {e^{jn\omega _{0}t}+e^{-jn\omega _{0}t}}{2}}+b_{n}{\frac {e^{jn\omega _{0}t}-e^{-jn\omega _{0}t}}{2j}})$

  = $a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }$  ${\frac {1}{2}}(a_{n}-jb_{n})e^{jn\omega _{0}t}$ + $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}(a_{n}+jb_{n})e^{-jn\omega _{0}t}$

  = $\sum _{n=1}^{\infty }$  ${\frac {1}{2}}(a_{n}+jb_{n})e^{-jn\omega _{0}t}$ + $a_{0}+$  $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}(a_{n}-jb_{n})e^{jn\omega _{0}t}$

$\Rightarrow X(t)$ =...+ $X_{-2}e^{-j2\omega _{0}t}+X_{-1}e^{-j\omega _{0}t}+X_{0}+X_{1}e^{j\omega _{0}t}+X_{2}e^{j2\omega _{0}t}+...$

  = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$  $X_{n}e^{jn\omega _{0}t}$

其中 $X_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(a_{-n}+jb_{-n})\qquad n<0\\a_{0}\qquad n=0\\{\frac {1}{2}}(a_{n}-jb_{n})\qquad n>0\end{cases}}$

以上為指數傅立葉級數的係數 $X_{n}$ 與三角傅立葉級數的係數 $a_{n}$ 及 $b_{n}$ 之關係式

三角傅立葉級數第二式

    X(t)= $C_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }$  $C_{n}\cos(n\omega _{0}t+\theta _{n})$

尤拉公式

     $C_{n}\cos(n\omega _{0}t+\theta _{n})$ = ${\frac {C_{n}}{2}}[e^{j(n\omega _{0}t+\theta _{n})}+e^{-j(n\omega _{0}t+\theta _{n})}]$ 
               = $({\frac {C_{n}}{2}}e^{j\theta _{n}})e^{jn\omega _{0}t}$ + $({\frac {C_{n}}{2}}e^{-j\theta _{n}})e^{-jn\omega _{0}t}$ 
                              
   X(t)= $C_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }$  $({\frac {C_{n}}{2}}e^{j\theta _{n}})e^{jn\omega _{0}t}$ + $\sum _{n=1}^{\infty }$  $({\frac {C_{n}}{2}}e^{-j\theta _{n}})e^{-jn\omega _{0}t}$    
   = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$  $X_{n}e^{jn\omega _{0}t}$

        其中      $X_{n}={\begin{cases}{\frac {C_{-n}}{2}}e^{-j\theta _{-n}}\qquad n<0\\C_{0}\qquad n=0\\{\frac {C_{n}}{2}}e^{j\theta _{n}}\qquad n>0\end{cases}}$

以上為指數傅立葉級數的係數 $X_{n}$ 與三角傅立葉級數第二式的係數 $C_{n}$ 及 $\theta _{n}$ 之關係式

由上說明可知，三角傅立葉級數與指數傅立葉級數是完全等效的。

指數傅立葉級數係數的直接算法

假設一週期訊號 $X(t)$ 的基本週期 $T_{0}$ ，此一訊號可表示成指數傅立葉級數 :

                X(t)= $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$  $X_{n}e^{jn\omega _{0}t}$

其中 $\omega _{0}={\frac {\boldsymbol {2\pi }}{{\boldsymbol {T}}_{0}}}$

直接求係數 $X_{k}$ :

   等號兩邊同乘上 $e^{-jk\omega _{0}t}$ 再對時間 t 積分，積一個基本週期 $T_{0}$ 的時間範圍 :

    $\int _{T_{0}}^{}X(t)e^{-jk\omega _{0}t}dt$ = $\int _{T_{0}}^{}(\sum _{n=-\infty }^{\infty }$  $X_{n}$  $e^{jn\omega _{0}t})e^{-jk\omega _{0}t}dt$

   = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }$  $X_{n}$  ${\begin{matrix}\underbrace {\int _{T_{0}}^{}e^{j(n-k)\omega _{0}t}dt} \\={\begin{cases}0\qquad n\neq k\\T_{0}\qquad n=k\end{cases}}\end{matrix}}$ 
  = $X_{k}T_{0}$

故 $X_{k}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}X(t)e^{-jk\omega _{0}t}dt$

範例4.12

下圖為一方波週期訊號 $X(t)$ 之時域波形，其週期為 $T_{0}(\omega _{0}={\frac {2\Pi }{T_{0}}})$ ，求此訊號之指數傅立葉級數。

...............圖

一方波週期訊號之時域波形 ©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

【解】

       $X_{0}={\frac {1}{T_{0}}}{\begin{matrix}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}X(t)dt\end{matrix}}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{4}}^{\frac {T_{0}}{4}}1dt={\frac {1}{2}}$

      $X_{n}={\frac {1}{T_{0}}}{\begin{matrix}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}X(t)e^{-jn\omega _{0}t}dt\end{matrix}}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{4}}^{\frac {T_{0}}{4}}e^{-jn\omega _{0}t}dt$

    = ${\frac {1}{-j2\pi n}}[e^{\frac {-jn\pi }{2}}-e^{\frac {jn\pi }{2}}]$ = ${\frac {1}{n\pi }}$ [ ${\frac {e^{\frac {jn\pi }{2}}-e^{\frac {-jn\pi }{2}}}{j2}}$ ]

    = ${\frac {sin({\frac {n\pi }{2}})}{n\pi }}$  $={\begin{cases}0,\qquad n=2K\neq 0\\(-1)^{k}{\frac {1}{(2k+1)\pi }},\qquad n=2K+1\end{cases}}$

整理並改寫上述係數為:

$X_{0}={\frac {1}{2}};\qquad$ $X_{2k}=0,k\neq 0;\qquad$ $X_{2k+1}=(-1)^{k}{\frac {1}{(2K+1)\pi }}$

最後將此方波週期訊號表示成以下之指數傅立葉級數式展開式。

$X(t)=$ $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{jn\omega _{0}t}$ = ${\frac {1}{2}}+\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2K+1)\pi }}e^{j(2k+1)\omega _{0}t}$

訊號X(t)的雙邊振幅頻譜和相位頻譜

............圖

                          ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

範例4.13

請將訊號表示成指數傅立葉級數展開式

$X_{c}(t)$ = $3e^{j(2000\pi t+{\frac {\pi }{6}})}$ + $4e^{j(4000\pi t+{\frac {\pi }{3}})}$ + $e^{-j(6000\pi t+{\frac {\pi }{6}})}$

【解】

$X_{c}(t)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{jn\omega _{0}}$

          = $3e^{j(2000\pi t+{\frac {\pi }{6}})}$ + $4e^{j(4000\pi t+{\frac {\pi }{3}})}$ + $e^{-j(6000\pi t+{\frac {\pi }{6}})}$

訊號由3項複指數函數組合而成，其頻率分別為1000、2000與3000Hz，先找出3項頻率的最大公因數為1000，因此訊號是一週期訊號且其基本頻率為1000 Hz( $\omega _{0}=2000\pi rad/s$ )，仔細觀察可發現其表示式已是指數傅立葉級數之型式，因此只要改寫成為

$X_{c}(t)$ = $3e^{j(2000\pi t+{\frac {\pi }{6}})}$ + $4e^{j(4000\pi t+{\frac {\pi }{3}})}$ + $e^{-j(6000\pi t+{\frac {\pi }{6}})}$

= $3e^{j\pi /6}e^{j2000\pi t}+4e^{j\pi /3}e^{j4000\pi t}+e^{-j\pi /6}e^{-j6000\pi t}$

= $3e^{j\pi /6}e^{j2\pi f_{0}t}+4e^{j\pi /3}e^{j2\pi 2f_{0}t}+e^{-j\pi /6}e^{-j2\pi 3f_{0}t}\qquad ,(f_{0}=1000)$

= $3e^{j\pi /6}e^{j\omega _{0}t}+4e^{j\pi /3}e^{j2\omega _{0}t}+e^{-j\pi /6}e^{-j3\omega _{0}t}\qquad (\omega _{0}=2000\pi )$

即 $X_{1}=3e^{j\pi /6}$ ; $X_{2}=4e^{j\pi /3}$ ; $X_{-3}=e^{-j\pi /6}$ ; $X_{n}=0,n\neq 1,2,3$

注意: $X_{c}(t)$ 為一複數週期訊號，故不滿足於後面將討論的指數傅立葉級數的對稱性(即 $X_{-n}=X_{n}^{*}$ ) 。

範例4.14

經過半波整流後的週期弦波訊號可表示如下 : $X(t)={\begin{cases}A\sin \omega _{0}t\qquad 0\leq t\leq T_{0}/2\\0\qquad T_{0}/2\leq t\leq T_{0}\end{cases}}$

...........................圖

此訊號仍為週期訊號 $(X(t)=X(t+T_{0}))$ ，試求其指數傅立葉級數

【解】週期 $T_{0}\Rightarrow \omega _{0}={\frac {2\pi }{T_{0}}}$

           指數傅立葉級數 :

               $X(t)=\sum _{-\infty }^{\infty }X_{n}e^{jn\omega _{0}t}$

$X_{n}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{0}^{T_{0}/2}A\sin \omega _{0}te^{-jn\omega _{0}t}\,dt$

= ${\frac {A}{2jT_{0}}}$ $\int _{0}^{T_{0}/2}(e^{j\omega _{0}t}-e^{-j\omega _{0}t})e^{-jn\omega _{0}t}\,dt$

= ${\frac {A}{2jT_{0}}}$ [ $\int _{0}^{T_{0}/2}e^{j\omega _{0}(1-n)t}\,dt$ - $\int _{0}^{T_{0}/2}e^{-j\omega _{0}(1+n)t}\,dt]$

= $-{\frac {A}{4\pi }}$ [ ${\frac {e^{j(1-n)\pi }-1}{1-n}}$ + ${\frac {e^{-j(1+n)\pi }-1}{1+n}}$ ] , $n\neq \pm 1$

說明:

    $e^{j(1\pm n)\pi }$ = $\cos(1\pm n)\pi$ + $j\sin(1\pm n)\pi$

    $=-(-1)^{n}$

$\Rightarrow X_{n}$ = ${\begin{cases}0\qquad n\qquad odd,n\neq \pm 1\\{\frac {A}{\pi }}{\frac {1}{1-n^{2}}}\qquad n\qquad even\\?\qquad n=\pm 1\end{cases}}$

$X_{1}={\frac {A}{2jT_{0}}}$ $\int _{0}^{T_{0}/2}(e^{j\omega _{0}t}-e^{-j\omega _{0}t})e^{-j\omega _{0}t}\,dt$

 = ${\frac {A}{2jT_{0}}}$  $\int _{0}^{T_{0}/2}(1-e^{-j2\omega _{0}t})\,dt$ 
 = ${\frac {A}{4j}}=-j{\frac {A}{4}}$

同法可得 :

 $X_{-1}=-{\frac {A}{4j}}=j{\frac {A}{4}}$

範例4.15

週期脈衝序列(periodic impulse train) $\delta _{T_{0}}(t)$ 的定義為

$\delta _{T_{0}}(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta (t-mT_{0})$ 試求其傅立葉級數

..............................圖

                                                 ©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998

【解】指數傅立葉級數

          $\delta _{T_{0}}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }D_{n}e^{jn\omega _{0}t}\qquad \omega _{0}={\frac {2\pi }{T_{0}}}$

其中

$D_{n}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}\delta _{T_{0}}(t)e^{-jn\omega _{0}t}\,dt$ $\qquad$ 取積分範圍由 $-{\frac {T_{0}}{2}}\sim {\frac {T_{0}}{2}}$

= ${\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}\delta (t)e^{-jn\omega _{0}t}\,dt$ $\qquad$ 由 $\delta _{T_{0}}(t)=\delta (t)$

= ${\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}\delta (t)\,dt$ 在此一範圍內

= ${\frac {1}{T_{0}}}$

          $\delta _{T_{0}}(t)={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{jn\omega _{0}t}$

        $\delta _{T_{0}}(t)$ 的雙邊振幅頻譜如下 :

.....................圖

                                     ©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

    利用尤拉公式 $e^{jn\omega _{0}t}+e^{-jn\omega _{0}t}=2\cos n\omega _{0}t$

$\delta _{T_{0}}(t)={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{jn\omega _{0}t}$ = ${\frac {1}{T_{0}}}[1+2(\cos \omega _{0}t+\cos 2\omega _{0}t+...)]$

$={\frac {1}{T_{0}}}[1+\sum _{n=1}^{\infty }2\cos(n\omega _{0}t)]$

$\delta _{T_{0}}(t)$ 的單邊頻譜如下 :

..................................圖

                                         ©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

常見訊號的傅立葉級數

................................................

.....................圖.....................

................................................

指數傅立葉級數係數的對稱性

指數傅立葉級數

           $X(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{jn\omega _{0}t}$

     其係數 :

          $X_{n}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)e^{-jn\omega _{0}t}\,dt$

故 $X_{-n}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)e^{-j(-n)\omega _{0}t}\,dt$

   = $\left\{[{\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)e^{-j(-n)\omega _{0}t}\,dt]^{*}\right\}^{*}$       *表示共軛複數

   = $\left\{{\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x^{*}(t)e^{-j(+n)\omega _{0}t}\,dt\right\}^{*}$     當 $x(t)$  為實數函數

   = $\left\{{\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)e^{-jn\omega _{0}t}\,dt\right\}^{*}$

  = $X_{n}^{*}$

      $X_{n}$  一般而言是複數，用極座標表示 :
             $X_{n}=\left|X_{n}\right|$  $e^{j\angle X_{n}}$      $\angle X_{n}$ 表示 $X_{n}$ 的相角

根據上述條件 :

              $X_{-n}=X_{n}^{*}$

         $\Rightarrow \left|X_{-n}\right|=\left|X_{n}^{*}\right|=\left|X_{n}\right|$ 取共軛複數絕對值等

         $\angle X_{-n}=\angle X_{-n}^{*}=-\angle X_{n}$ 共軛複數的相角差一個負號

結論 :當 $x(t)$ 為實數週期訊號的條件下，其指數傅立葉級數的係數 $X_{n}$ 具

             有底下特性：  
           (1) $X_{n}$ 的絕對值對 n 而言為偶對稱。
           (2) $X_{n}$ 的相位角對 n 而言為奇對稱。

考慮 $X(t$ )為實數偶函數 :

           指數傅立葉級數的係數 $X_{n}$

     $X_{n}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)e^{-jn\omega _{0}t}\,dt$

    = ${\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}x(t)[\cos n\omega _{0}t-j\sin n\omega _{0}t]\,dt$

    = ${\begin{matrix}\underbrace {{\frac {1}{T_{0}}}[\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}x(t)\cos n\omega _{0}t\,dt} \\\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}\underbrace {j\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}x(t)\sin n\omega _{0}t\,dt} \\\end{matrix}}$

$X(t)$ 是偶函數, $\cos n\omega _{0}t$ 也是偶函數 $\qquad$ $X(t)$ 是偶函數, $\sin n\omega _{0}t$ 是奇函數

$X(t)\cos n\omega _{0}t$ 仍為偶函數 $\qquad$ $X(t)\sin n\omega _{0}t$ 為奇函數

          $\Rightarrow \int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}x(t)\sin n\omega _{0}t\,dt$ =0

= ${\frac {2}{T_{0}}}\int _{0}^{T_{0}/2}x(t)\cos n\omega _{0}t\,dt$

$\Rightarrow x(t)$ 與 $\cos n\omega _{0}t$ 均為實數，故積分結果仍為實數。

        結論 : 當 $x(t)$ 為實數偶函數時，其指數傅立葉級數的係數 $X_{n}$  為實數 。

同法可證明，當 $x(t)$ 為實數奇函數時， $x(t)$ 的指數傅立葉級數的係數 $X_{n}$ 為純虛數或 0。

若 $x(t)$ 為半波奇對稱(half-wave odd symmetrical ，即 :

          $x(t-{\frac {T_{0}}{2}})=-x(t)$ 
    
     則 $X_{n}=0\qquad$  $n=0,\pm 2,\pm 4,...$

證明請同學自行練習

級數係數對稱性

1.三角正弦-餘弦

..........................圖

2.複數指數

..........................圖

傅立葉級數的變換(1)

振幅轉換 :

            已知  X(t)= $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{jn\omega _{0}t}$

                           另一訊號 y(t)= $\alpha x(t)+\beta$ 

                            則y(t)的傅立葉級數為

                                 y(t)= $\sum _{n=-\infty }^{\infty }Y_{0}e^{jn\omega _{0}t}$

                                  = $\alpha [\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{jn\omega _{0}t}]+\beta$

                                   = $(\alpha X_{0}+\beta )+\sum _{n=-\infty n\neq 0}^{\infty }\alpha X_{n}e^{jn\omega _{0}t}$

                故 ${\begin{cases}Y_{0}=\alpha X_{0}+\beta \\Y_{n}=\alpha X_{n}\qquad n\neq 0\end{cases}}$

範例4.16

試求週期訊號y(t)的傅立葉級數 :

.........................圖

         ©Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003

【解】仔細觀察上圖可以發現，此一圖形與標準的鋸齒波X(t)(如下圖)存

      在一關係 :
                $y(t)=-{\frac {4}{A}}x(t)+1=\alpha x(t)+\beta$

............................圖

©Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.

經查表可知，標準鋸齒波x(t)的傅立葉級數為 :

           $x(t)={\frac {A}{2}}+\sum _{n=-\infty n\neq 0}^{\infty }{\frac {A}{2\pi n}}e^{j{\frac {\pi }{2}}}e^{jn\omega _{0}t}$

     故 $y(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }Y_{n}e^{jn\omega _{0}t}$

     其中   $Y_{0}=\alpha X_{0}+\beta$ 
 
                 $(-{\frac {4}{A}}){\frac {A}{2}}+1=-1$

           $Y_{n}=\alpha X_{n}=(-{\frac {4}{A}}){\frac {A}{2\pi n}}e^{j\pi /2}$

           ${\frac {2}{\pi n}}e^{-j\pi /2}\qquad n\neq 0$

傅立葉級數的變換(2)

時間變換

   (a) y(t) 為 x(t) 延遲 $t_{0}$  時間，即y(t)= $x(t-t_{0})$

      y(t)= $x(t-t_{0})$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{jn\omega _{0}(t-t_{0})}$

                  = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }[X_{n}e^{-jn\omega _{0}t_{0}}]e^{jn\omega _{0}t}$

                  = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }Y_{n}e^{jn\omega _{0}t}$

    $\Rightarrow Y_{n}=X_{n}e^{-jn\omega _{0}t_{0}}$

傅立葉級數的變換

(b) y(t) 為 x(t) 左右翻轉，即y(t)=x(-t)

y(t)=x(-t)= $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{jn\omega _{0}(-t)}$

         = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{-n}e^{jn\omega _{0}t}$ 

         = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}^{*}e^{jn\omega _{0}t}$

          = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }Y_{n}e^{jn\omega _{0}t}$

故 $Y_{n}=X_{n}^{*}$

範例4.17

同範例4.16，改用時間變換搭配振幅變換求解。

【解】首先定義z(t)=x(-t)

z(t)=x(-t)= $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{jn\omega _{0}(-t)}$

         = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{-n}e^{jn\omega _{0}t}$ 

         = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}^{*}e^{jn\omega _{0}t}$

          = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }Z_{n}e^{jn\omega _{0}t}$

$Z_{n}=X_{n}^{*}={\begin{cases}{\frac {A}{2}}\qquad n=0\\{\frac {A}{2\pi n}}e^{-j\pi /2}\qquad n\neq 0\end{cases}}$

觀察 $y(t)$ 與 $z(t)$ 可得

     $y(t)={\frac {4}{A}}z(t)-3$

$\Rightarrow {\begin{cases}Y_{0}={\frac {4}{A}}Z_{0}-3={\frac {4}{A}}{\frac {A}{2}}-3=-1\\Y_{n}={\frac {4}{A}}Z_{n}={\frac {4}{A}}{\frac {A}{2\pi n}}e^{-j\pi /2}={\frac {2}{\pi n}}e^{-j\pi /2}\qquad n\neq 0\end{cases}}$

大師的風範

同學辛苦了，休息一下並瞻仰一下大師風範！

.........................圖

Jean Baptiste Joseph Fourier J. Willard Gibbs