高中数学（版聊式）/第一单元：集合与函数/1.集合/第1节集合的基本概念

集合的概念[编辑]

　　在小学和初中的学习中，我们已经接触过一些集合，比如，自然数的集合、有理数的集合、实数的集合、不等式 $x-1<0$ 的解集，等等。　　

一般地，我们把研究对象统称为元素（element）。

定义1　一些确定并且各不相同的元素的整体就是集合（set）。

例如，以所有的自然数 $0,1,2,...$ 作为元素，它们构成的整体就是自然数的集合（简称自然数集）；以所有实数作为元素，它们构成的整体就是实数的集合（简称实数集）。

从定义还可以看出，能构成集合的元素必须同时满足以下两个条件：

（1）所有元素必须都是确定的。如以很大的自然数为元素，则不能构成集合，因为这些元素不是确定的；如以大于10的自然数为元素，则可以构成集合。

（2）所有元素各不相同。

集合与元素的表示方法：数学中通常用大写字母 $A,B,C,...$ 表示集合，小写字母 $a,b,c,...$ 表示元素。　　

定义2： 如果a是集合A中的元素，则a属于A，记作a∈A；如果b不是集合A中的元素，则b不属于A，记作b∉A。

　　例如，用 $N$ 表示自然数集，则有 $0\in N,1\in N,...$ 总之，对于一切整数 $n\geqslant 0$ ，都有 $n\in N$ 。另一方面，对于整数 $m<0$ ，都有 $m\notin N$ 。

定义3 如果集合A和集合B中所有的元素都相同，则集合A与集合B相等，记作 $A=B$ 。

对于集合的表示方法，除了像“所有自然数构成自然数集”这样的自然语言以外，数学上常用以下两种方法表示集合：　　

（1）列举法。

将集合中的所有元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法。当元素数量可数并较少时可以采用这个方法。用列举法表示集合，先将元素一一列出，以逗号“，”分隔开，再用花括号“{}”括起来。

例如方程 $\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0$ 的实数根组成的集合可以表示为 $\left\{1,2\right\}$ 。用大写字母 $A$ 表示这个集合，则有 $A=\left\{1,2\right\}$ 。　　

（2）描述法。

用集合中的所有元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法。当元素数量不可数或较大时采用。用描述法表示集合时，在花括号内先写出表示这个集合的元素的符号以及一般取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这些元素的共同特征。

例如不等式 $X-1<0$ 的在实数范围内的解集为 $\{x$ 为实数 $|x<1\}$ ，所有奇数组成的集合为 $\{n$ 为整数 $|n=2k+1,k$ 为整数 $\}$ 。　　

以下列举一些数学中常用的集合及其符号：

$N$ 为所有自然数组成的集合， $N=\{n$ 为整数 $|n\geq 0\}$ ；

$N+$ 为所有正整数组成的集合， $N+=\{n$ 为整数 $|n\geq 1\}$ ；
$Z$ 为所有整数组成的集合；
$Q$ 为所有有理数组成的集合， $Q=\{p/q|p,q$ 都为整数，且 $p,q$ 互质 $\}$ ；
$R$ 为所有实数组成的集合。

有了这些符号，诸如 $n$ 为整数”、“ $x$ 为实数”都可以记作“ $n\in N$ ”，“ $x\in R$ ”了，例如 $\{x$ 为实数 $|x<1=\left\{x\in R|x<1\right\}$ ， $\{n$ 为整数 $|n=2k+1,k$ 为整数 $\}=\left\{n\in Z|n=2k+1,k\in Z\right\}$ 。

还需要指出，如果从上下文的关系看， $x\in R$ 、 $n\in Z$ 是明确的，那么 $x\in R$ 、 $n\in Z$ 可以省略写为 $x$ 、 $n$ ，例如 $\left\{x\in R|x<1\right\}=\left\{x|x<1\right\}$ ， $\left\{n\in Z|n=2k+1,k\in Z\right\}=\left\{n|n=2k+1,k\in Z\right\}$ 。