高中數學（版聊式）/第一單元：集合與函數/1.集合/第1節集合的基本概念

集合的概念

　　在小學和初中的學習中，我們已經接觸過一些集合，比如，自然數的集合、有理數的集合、實數的集合、不等式 $x-1<0$ 的解集，等等。　　

一般地，我们把研究对象统称为元素（element）。

定义1　一些确定并且各不相同的元素的整体就是集合（set）。

例如，以所有的自然數 $0,1,2,...$ 作為元素，它們構成的整體就是自然數的集合（簡稱自然數集）；以所有實數作為元素，它們構成的整體就是實數的集合（簡稱實數集）。

從定義還可以看出，能構成集合的元素必須同時滿足以下兩個條件：

（1）所有元素必須都是確定的。如以很大的自然數為元素，則不能構成集合，因為這些元素不是確定的；如以大於10的自然數為元素，則可以構成集合。

（2）所有元素各不相同。

集合與元素的表示方法：數學中通常用大寫字母 $A,B,C,...$ 表示集合，小寫字母 $a,b,c,...$ 表示元素。　　

定义2： 如果a是集合A中的元素，则a属于A，记作a∈A；如果b不是集合A中的元素，则b不属于A，记作b∉A。

　　例如，用 $N$ 表示自然數集，則有 $0\in N,1\in N,...$ 總之，對於一切整數 $n\geqslant 0$ ，都有 $n\in N$ 。另一方面，對於整數 $m<0$ ，都有 $m\notin N$ 。

定义3 如果集合A和集合B中所有的元素都相同，则集合A与集合B相等，记作 $A=B$ 。

對於集合的表示方法，除了像「所有自然數構成自然數集」這樣的自然語言以外，數學上常用以下兩種方法表示集合：　　

（1）列舉法。

將集合中的所有元素一一列舉出來表示集合的方法叫做列舉法。當元素數量可數並較少時可以採用這個方法。用列舉法表示集合，先將元素一一列出，以逗號「，」分隔開，再用花括號「{}」括起來。

例如方程 $\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0$ 的實數根組成的集合可以表示為 $\left\{1,2\right\}$ 。用大寫字母 $A$ 表示這個集合，則有 $A=\left\{1,2\right\}$ 。　　

（2）描述法。

用集合中的所有元素的共同特徵表示集合的方法叫做描述法。當元素數量不可數或較大時採用。用描述法表示集合時，在花括號內先寫出表示這個集合的元素的符號以及一般取值（或變化）範圍，再畫一條豎線，在豎線後寫出這些元素的共同特徵。

例如不等式 $X-1<0$ 的在實數範圍內的解集為 $\{x$ 為實數 $|x<1\}$ ，所有奇數組成的集合為 $\{n$ 為整數 $|n=2k+1,k$ 為整數 $\}$ 。　　

以下列舉一些數學中常用的集合及其符號：

$N$ 為所有自然數組成的集合， $N=\{n$ 為整數 $|n\geq 0\}$ ；

$N+$ 為所有正整數組成的集合， $N+=\{n$ 為整數 $|n\geq 1\}$ ；
$Z$ 為所有整數組成的集合；
$Q$ 為所有有理數組成的集合， $Q=\{p/q|p,q$ 都為整數，且 $p,q$ 互質 $\}$ ；
$R$ 為所有實數組成的集合。

有了這些符號，諸如 $n$ 為整數」、「 $x$ 為實數」都可以記作「 $n\in N$ 」，「 $x\in R$ 」了，例如 $\{x$ 為實數 $|x<1=\left\{x\in R|x<1\right\}$ ， $\{n$ 為整數 $|n=2k+1,k$ 為整數 $\}=\left\{n\in Z|n=2k+1,k\in Z\right\}$ 。

還需要指出，如果從上下文的關係看， $x\in R$ 、 $n\in Z$ 是明確的，那麼 $x\in R$ 、 $n\in Z$ 可以省略寫為 $x$ 、 $n$ ，例如 $\left\{x\in R|x<1\right\}=\left\{x|x<1\right\}$ ， $\left\{n\in Z|n=2k+1,k\in Z\right\}=\left\{n|n=2k+1,k\in Z\right\}$ 。