高中數學(版聊式)/第一單元:集合與函數/1.集合/第1節 集合的基本概念

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集合的概念[編輯]

  在小學和初中的學習中,我們已經接觸過一些集合,比如,自然數的集合、有理數的集合、實數的集合、不等式的解集,等等。   

一般地,我们把研究对象统称为元素(element)。   
定义1 一些确定并且各不相同的元素的整体就是集合(set)

例如,以所有的自然數作為元素,它們構成的整體就是自然數的集合(簡稱自然數集);以所有實數作為元素,它們構成的整體就是實數的集合(簡稱實數集)。

從定義還可以看出,能構成集合的元素必須同時滿足以下兩個條件:

(1)所有元素必須都是確定的。如以很大的自然數為元素,則不能構成集合,因為這些元素不是確定的;如以大於10的自然數為元素,則可以構成集合。

(2)所有元素各不相同。

集合與元素的表示方法:數學中通常用大寫字母表示集合,小寫字母表示元素。   

定义2: 如果a是集合A中的元素,则a属于A,记作a∈A;如果b不是集合A中的元素,则b不属于A,记作b∉A。

  例如,用表示自然數集,則有總之,對於一切整數,都有。另一方面,對於整數,都有

定义3 如果集合A和集合B中所有的元素都相同,则集合A与集合B相等,记作

對於集合的表示方法,除了像「所有自然數構成自然數集」這樣的自然語言以外,數學上常用以下兩種方法表示集合:   

(1)列舉法。

將集合中的所有元素一一列舉出來表示集合的方法叫做列舉法。當元素數量可數並較少時可以採用這個方法。用列舉法表示集合,先將元素一一列出,以逗號「,」分隔開,再用花括號「{}」括起來。

例如方程的實數根組成的集合可以表示為。用大寫字母表示這個集合,則有。   

(2)描述法。

用集合中的所有元素的共同特徵表示集合的方法叫做描述法。當元素數量不可數或較大時採用。用描述法表示集合時,在花括號內先寫出表示這個集合的元素的符號以及一般取值(或變化)範圍,再畫一條豎線,在豎線後寫出這些元素的共同特徵。

例如不等式的在實數範圍內的解集為為實數,所有奇數組成的集合為為整數為整數。   

以下列舉一些數學中常用的集合及其符號:

  • 為所有自然數組成的集合,為整數
  • 為所有正整數組成的集合,為整數
  • 為所有整數組成的集合;
  • 為所有有理數組成的集合,都為整數,且互質
  • 為所有實數組成的集合。

有了這些符號,諸如為整數」、「為實數」都可以記作「」,「」了,例如為實數為整數為整數

還需要指出,如果從上下文的關係看,是明確的,那麼可以省略寫為,例如

習題3-1-1[編輯]

1、以下哪些語句描述的是正確的集合?

(1)接近0的數組成的集合;

(2)大於的實數組成的集合;  

(3)

2、以下哪組集合是相等的?

(1);  

(2)與六月份所有日期對應的號碼組成的集合;  

(3)

3、設集合表示不等式在整數範圍內的解集

(1)求集合並說明集合能否分別用列舉法和描述法表示;  

(2)寫出兩個屬於集合的數,再寫出兩個不屬於集合的數。