高中数学(版聊式)/第1节:为什么会有导数和积分?

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问什么要有导数和积分?[编辑]

数学已经很完备了,可是为什么还要有导数和积分呢?大家可以来看下面的内容。

速度、切线[编辑]

速度[编辑]

在物理中,我们知道:当一个物体做直线运动时,物体在直线上的位置完全由某个函数确定。

先考虑最简单的情况,物体做匀速直线运动。此时,,即。并且对于不同的的值都是一样的。可以表示任意时刻的瞬时速度

那么对于非匀速运动的物体呢?怎么理解在情况下时刻的瞬时速度呢?

首先我们取时间从这样一个时间段。那么物体在这一时间段内,有平均速度

如果我们将取得非常靠近(比如),那么我们可以认为物体在如此短的一个时间内做匀速运动。更为精确的说,令(“→”是趋向的意思。表示左边的量非常非常接近右边的量,几乎等于),那么时刻的瞬时速度就是

其中,叫做极限符号,表示的是当的时候。


切线[编辑]

圆(椭圆亦可)的切线可以定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但对于其他函数,如,显然在时的切线为直线,而它与函数有无数个交点。

通过和上文速度的例子,我们或许可以吸收一些经验。是不是在一个比较小的范围(一个区间包含切点)内使得这条直线与曲线只有一个交点才是切线呢?(此处存在错误。例如函数处的切线为,而显然在任意包含的开区间上,均有无穷多个交点。望编写者修正。)

我们仍旧通过简单的例子来验证。首先圆和椭圆都是满足的。图1也是符合这个定义的。图2也是满足的(注意这一点的切线是存在的)。

因此,我们给出如下定义:设有曲线上两点。做割线。当点随着曲线趋向于点时,若割线趋向一个位置,则为曲线处的切线。

那么切线的倾斜角的正切,即斜率