高中數學（版聊式）/第1節：為什麼會有導數和積分？

問什麼要有導數和積分？

數學已經很完備了，可是為什麼還要有導數和積分呢？大家可以來看下面的內容。

速度、切線

速度

在物理中，我們知道：當一個物體做直線運動時，物體在直線上的位置完全由某個函數 $s = f (t)$ 確定。

先考慮最簡單的情況，物體做勻速直線運動。此時， $s = v t$ ，即 $v = \frac{s}{t}$ 。並且對於不同的 $t$ ， $v$ 的值都是一樣的。 $v$ 可以表示任意時刻的瞬時速度。

那麼對於非勻速運動的物體呢？怎麼理解在 $s = f (t)$ 情況下 $t_{0}$ 時刻的瞬時速度呢？

首先我們取時間從 $t_{0}$ 到 $t_{1}$ 這樣一個時間段。那麼物體在這一時間段內，有平均速度

v = \frac{s (t_{1}) - s (t_{0})}{t_{1} - t_{0}}

如果我們將 $t_{1}$ 取得非常靠近 $t_{0}$ （比如 $t_{1} - t_{0} = 1 0^{- 100} s$ ）,那麼我們可以認為物體在如此短的一個時間內做勻速運動。更為精確的說，令 $t_{1} \to t_{0}$ （「→」是趨向的意思。表示左邊的量非常非常接近右邊的量，幾乎等於）,那麼 $t_{0}$ 時刻的瞬時速度就是

v = lim_{t_{1} \to t_{0}} \frac{s (t_{1}) - s (t_{0})}{t_{1} - t_{0}}

其中， $lim_{t_{1} \to t_{0}}$ 叫做極限符號，表示的是當 $t_{1} \to t_{0}$ 的時候。

切線

圓（橢圓亦可）的切線可以定義為「與曲線只有一個交點的直線」。但對於其他函數，如 $y = \cos x$ ，顯然在 $x = 0$ 時的切線為直線 $y = 1$ ，而它與函數有無數個交點。

通過 $y = \cos x$ 和上文速度的例子，我們或許可以吸收一些經驗。是不是在一個比較小的範圍（一個區間包含切點）內使得這條直線與曲線只有一個交點才是切線呢？（此處存在錯誤。例如函數 $f (x) = x^{2} (\sin (\frac{1}{x^{2}}) + 1)$ 在 $x = 0$ 處的切線為 $y = 0$ ，而顯然在任意包含 $x = 0$ 的開區間上， $y = f (x)$ 與 $y = 0$ 均有無窮多個交點。望編寫者修正。）

我們仍舊通過簡單的例子來驗證。首先圓和橢圓都是滿足的。圖1也是符合這個定義的。圖2也是滿足的（注意這一點的切線是存在的）。

File:屏幕快照 2013-06-10 下午5.52.07.png

圖1

因此，我們給出如下定義：設有曲線 $C$ 和 $C$ 上兩點 $M, N$ 。做割線 $M N$ 。當點 $N$ 隨著曲線 $C$ 趨向於點 $M$ 時，若割線 $M N$ 趨向一個位置 $M T$ ，則 $M T$ 為曲線 $C$ 在 $T$ 處的切線。

那麼切線的傾斜角的正切，即斜率

k = t a n α = lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}