跳至內容

高中數學(版聊式)/第1節:為什麼會有導數和積分?

維基教科書,自由的教學讀本

問什麼要有導數和積分?

[編輯]

數學已經很完備了,可是為什麼還要有導數和積分呢?大家可以來看下面的內容。

速度、切線

[編輯]
速度
[編輯]

在物理中,我們知道:當一個物體做直線運動時,物體在直線上的位置完全由某個函數確定。

先考慮最簡單的情況,物體做勻速直線運動。此時,,即。並且對於不同的的值都是一樣的。可以表示任意時刻的瞬時速度

那麼對於非勻速運動的物體呢?怎麼理解在情況下時刻的瞬時速度呢?

首先我們取時間從這樣一個時間段。那麼物體在這一時間段內,有平均速度

如果我們將取得非常靠近(比如),那麼我們可以認為物體在如此短的一個時間內做勻速運動。更為精確的說,令(「→」是趨向的意思。表示左邊的量非常非常接近右邊的量,幾乎等於),那麼時刻的瞬時速度就是

其中,叫做極限符號,表示的是當的時候。


切線
[編輯]

圓(橢圓亦可)的切線可以定義為「與曲線只有一個交點的直線」。但對於其他函數,如,顯然在時的切線為直線,而它與函數有無數個交點。

通過和上文速度的例子,我們或許可以吸收一些經驗。是不是在一個比較小的範圍(一個區間包含切點)內使得這條直線與曲線只有一個交點才是切線呢?(此處存在錯誤。例如函數處的切線為,而顯然在任意包含的開區間上,均有無窮多個交點。望編寫者修正。)

我們仍舊通過簡單的例子來驗證。首先圓和橢圓都是滿足的。圖1也是符合這個定義的。圖2也是滿足的(注意這一點的切線是存在的)。

File:屏幕快照 2013-06-10 下午5.52.07.png
圖1

因此,我們給出如下定義:設有曲線上兩點。做割線。當點隨著曲線趨向於點時,若割線趨向一個位置,則為曲線處的切線。

那麼切線的傾斜角的正切,即斜率