高中數學（版聊式）/第1節：為什麼會有導數和積分？

問什麼要有導數和積分？

數學已經很完備了，可是為什麼還要有導數和積分呢？大家可以來看下面的內容。

速度、切線

速度

在物理中，我們知道：當一個物體做直線運動時，物體在直線上的位置完全由某個函數$s=f(t)$確定。

先考慮最簡單的情況，物體做勻速直線運動。此時，$s=vt$，即$v={\frac {s}{t}}$。並且對於不同的$t$，$v$的值都是一樣的。$v$可以表示任意時刻的瞬時速度。

那麼對於非勻速運動的物體呢？怎麼理解在$s=f(t)$情況下$t_{0}$時刻的瞬時速度呢？

首先我們取時間從$t_{0}$到$t_{1}$這樣一個時間段。那麼物體在這一時間段內，有平均速度

$v={\frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}$

如果我們將$t_{1}$取得非常靠近$t_{0}$（比如$t_{1}-t_{0}=10^{-100}s$）,那麼我們可以認為物體在如此短的一個時間內做勻速運動。更為精確的說，令$t_{1}\rightarrow t_{0}$（「→」是趨向的意思。表示左邊的量非常非常接近右邊的量，幾乎等於）,那麼$t_{0}$時刻的瞬時速度就是

$v=\lim _{t_{1}\to t_{0}}{\frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}$

其中，$\lim _{t_{1}\to t_{0}}$叫做極限符號，表示的是當$t_{1}\rightarrow t_{0}$的時候。

切線

圓（橢圓亦可）的切線可以定義為「與曲線只有一個交點的直線」。但對於其他函數，如$y=\cos x$，顯然在$x=0$時的切線為直線$y=1$，而它與函數有無數個交點。

通過$y=\cos x$和上文速度的例子，我們或許可以吸收一些經驗。是不是在一個比較小的範圍（一個區間包含切點）內使得這條直線與曲線只有一個交點才是切線呢？（此處存在錯誤。例如函數$f(x)=x^{2}\left(\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)+1\right)$在$x=0$處的切線為$y=0$，而顯然在任意包含$x=0$的開區間上，$y=f(x)$與$y=0$均有無窮多個交點。望編寫者修正。）

我們仍舊通過簡單的例子來驗證。首先圓和橢圓都是滿足的。圖1也是符合這個定義的。圖2也是滿足的（注意這一點的切線是存在的）。

File:屏幕快照 2013-06-10 下午5.52.07.png

圖1

因此，我們給出如下定義：設有曲線$C$和$C$上兩點$M,N$。做割線$MN$。當點$N$隨著曲線$C$趨向於點$M$時，若割線$MN$趨向一個位置$MT$，則$MT$為曲線$C$在$T$處的切線。

那麼切線的傾斜角的正切，即斜率

$k=tan\alpha =\lim _{x_{1}\to x_{0}}{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$