高中数学（版聊式）/第1节 集合的基本概念

第1节　集合的基本概念

集合的概念

　　在小学和初中的学习中，其实我们已经接触过了一些集合。正如“集合”一词本身，就是许多元素集在了一起。比如，所有自然数的集合、有理数的集合、实数的集合、不等式x-1<0的解所构成的集合，等等。要注意的是虽然高中一般只研究数集，但是实际上集合却是个很广泛的概念，比如一个班的人也可以是一个集合。

　　一般地，我们把研究对象统称为元素（element）。

　　定义1　一些确定并且各不相同的元素的整体就是集合（set）。

　　例如，以所有的自然数0、1、2、……作为元素，它们构成的整体就是自然数的集合（简称自然数集）；以所有实数作为元素，它们构成的整体就是实数的集合（简称实数集）。

　　从定义还可以看出，能构成集合的元素必须同时满足以下两个条件：

　　（1）确定性。所有元素必须都是确定的。如以很大的自然数为元素，则不能构成集合，因为这些元素不是确定的；如以大于10的自然数为元素，则可以构成集合。

　　（2）互异性。所有元素各不相同。

同时，集合还有另一个特性：

（3）无序性。集合中的元素排列顺序的改变对集合没有影响。

参考集合的另一个定义

集合：具有某种特定性质的总体称为集合(简称集)，组成该集合的事物称为集合的元素（简称元）.通常用A,B,C,……表示集合，用a,b,c，……表示集合中的元素. 如果元素a是集合A中的元素，就记做a∈A，读作元素a属于集合A，如果元素b不是集合B里的元素，就记做b∉B.读作元素b不属于集合B集合的表示方法:列举法、描述法.由a₁,a₂,a₃,……,a_n组成的集合可表示为{a₁,a₂,a₃,……,a_n}由具有性质P的一些元素组成的集合可表示为{x|x具有性质P}

集合与元素的表示方法

　　数学中通常用大写字母A、B、C、……表示集合，小写字母a、b、c、……表示元素。

　　定义2 如果a是集合A中的元素，则a属于A，记作a∈A；如果b不是集合A中的元素，则b不属于A，记作b∉A。

　　例如，用N表示自然数集，则有0∈N，1∈N，……，总之，对于一切整数n≥0，都有n∈N。另一方面，对于整数m<0，都有m∉N。

　　定义3 如果集合A和集合B中所有的元素都相同，则集合A与集合B相等，记作A＝B。

　　对于集合的表示方法，除了像“所有自然数构成自然数集”这样的自然语言以外，数学上常用以下两种方法表示集合：

　　（1）列举法。将集合中的所有元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法。当元素数量可数并较少时可以采用这个方法。用列举法表示集合，先将元素一一列出，以逗号“，”分隔开，再用花括号“{}”括起来。

　　例如方程(x-1)(x-2)=0的实数根组成的集合可以表示为{1，2}。用大写字母A表示这个集合，则有A＝{1，2}。

　　（2）描述法。用集合中的所有元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法。当元素数量不可数或较大时采用。用描述法表示集合时，在花括号内先写出表示这个集合的元素的符号以及一般取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这些元素的共同特征。

　　例如不等式x-1<0的在实数范围内的解集为{x为实数|x<1}，所有奇数组成的集合为{n为整数|n＝2k+1，k为整数}。

以下列举一些数学中常用的集合及其符号：

　　N为所有自然数组成的集合，N＝{n为整数|n≥1}；

   自然數，可以是指正整數 (1,2,3,4,...) 亦可以是非負整數 ( 0,1,2,3,4,...)。在數論中通常用前者，而集合論和計算機科學中多數使用後者。

　　Z为所有整数组成的集合；

　　Q为所有有理数组成的集合，Q＝{p/q|p是整数，q是非零整数}；

　　R为所有实数组成的集合。

　　有了这些符号，诸如“n为整数”、“x为实数”都可以记作“n∈N”，“x∈R”了，例如{x为实数|x<1}＝{x∈R|x<1}，{n为整数|n＝2k+1，k为整数}＝{n∈Z|n＝2k+1，k∈Z}。

　　还需要指出，如果从上下文的关系看，x∈R、n∈Z是明确（显然）的，那么x∈R、n∈Z可以省略写为x、n，例如{x∈R|x<1}＝{x|x<1}，{n∈Z|n＝2k+1，k∈Z}＝{n|n＝2k+1，k∈Z}。

习题3－1－1

1、以下哪些语句描述的是正确的集合？

　（1）接近0的数组成的集合；

　（2）大于M的实数组成的集合；

　（3）{1，1，2，2，3，3}。

2、以下哪组集合是相等的？

　（1）{1，2，3，……，n}与N；

　（2）{x|x∈N+且x<31}与六月份所有日期对应的号码组成的集合；

　（3）{y|y=2x+1}与{y|y=2x+1，x∈Z}

3、设集合A表示不等式x^2-1<0在正整数范围内的解集

　（1）求集合A并说明集合A能否分别用列举法和描述法表示；

　（2）写出两个属于集合A的数，再写出两个不属于集合A的数。

Issac_Albert的讨论

众所周知，集合论是现代数学当之无愧的基石。虽然现在集合论不是最热门的数学方向，但历史上对集合的讨论非常多，集合的定义也一直有争议。关于集合的定义，比较严格的话当然应该采用公理化的方法。但是要想找到一种完全没有矛盾又能够充分体现集合的性质的公理是很难的。一个很简单的问题是：所有集合的全体是不是集合？如果你承认它，比如记之为X。那么集合a∉a是不是一个集合？没有任何理由否定它，记之为Y。但是问题来了，Y是不是在Y中？你会发现无论如何这都是一个矛盾。实际上你面对的正是引发第三次数学危机的一个问题，罗素曾经用著名的“理发师问题”来形象地表现它。经过一些讨论之后，大家发现问题的根源出在：承认所有集合全体是集合。为了规避这一悖论，现在通用的集合论公理通常否定这一说法，“所有集合全体”这种描述不被认为是一种合法的描述。一个理由是，它违反了正则公理（集合在包含关系下的链条只能是有限长的）。但是注意，这个理由不是很让人放心：因为我们能判断它违反了正则公理，是因为这句话十分明显地违反了正则公理。如果它很晦涩地，不能被轻易察觉地和已知公理矛盾，我们怎么判断它是不是对集合的合法描述？我们应该从正面解释如何合法地定义集合。以前我们使用概括公理（给定一个性质，满足性质的所有元素构成一个集合），不过“所有集合的集合”显然给我们提供了一个反例。现在我们使用弱一些的“替换公理”（一个集合中满足一个性质的所有元素构成一个集合）。当然集合的构造不止依赖这一条公理。对于看到这里的同学，我想说的是，对集合的探讨常常出现一些出乎大家预料的问题，大家在学习集合论的时候一定要抱着辩证的态度，对高中数学以及对一切自然科学都应该如此。怀疑一切，除了逻辑本身。