高中數學（版聊式）/第1節 集合的基本概念

第1節　集合的基本概念

集合的概念

　　在小學和初中的學習中，其實我們已經接觸過了一些集合。正如「集合」一詞本身，就是許多元素集在了一起。比如，所有自然數的集合、有理數的集合、實數的集合、不等式x-1<0的解所構成的集合，等等。要注意的是雖然高中一般只研究數集，但是實際上集合卻是個很廣泛的概念，比如一個班的人也可以是一個集合。

　　一般地，我們把研究對象統稱為元素（element）。

　　定義1　一些確定並且各不相同的元素的整體就是集合（set）。

　　例如，以所有的自然數0、1、2、……作為元素，它們構成的整體就是自然數的集合（簡稱自然數集）；以所有實數作為元素，它們構成的整體就是實數的集合（簡稱實數集）。

　　從定義還可以看出，能構成集合的元素必須同時滿足以下兩個條件：

　　（1）確定性。所有元素必須都是確定的。如以很大的自然數為元素，則不能構成集合，因為這些元素不是確定的；如以大於10的自然數為元素，則可以構成集合。

　　（2）互異性。所有元素各不相同。

同時，集合還有另一個特性：

（3）無序性。集合中的元素排列順序的改變對集合沒有影響。

參考集合的另一個定義

集合：具有某種特定性質的總體稱為集合(簡稱集)，組成該集合的事物稱為集合的元素（簡稱元）.通常用A,B,C,……表示集合，用a,b,c，……表示集合中的元素. 如果元素a是集合A中的元素，就記做a∈A，讀作元素a屬於集合A，如果元素b不是集合B里的元素，就記做b∉B.讀作元素b不屬於集合B集合的表示方法:列舉法、描述法.由a₁,a₂,a₃,……,a_n組成的集合可表示為{a₁,a₂,a₃,……,a_n}由具有性質P的一些元素組成的集合可表示為{x|x具有性質P}

集合與元素的表示方法

　　數學中通常用大寫字母A、B、C、……表示集合，小寫字母a、b、c、……表示元素。

　　定義2 如果a是集合A中的元素，則a屬於A，記作a∈A；如果b不是集合A中的元素，則b不屬於A，記作b∉A。

　　例如，用N表示自然數集，則有0∈N，1∈N，……，總之，對於一切整數n≥0，都有n∈N。另一方面，對於整數m<0，都有m∉N。

　　定義3 如果集合A和集合B中所有的元素都相同，則集合A與集合B相等，記作A＝B。

　　對於集合的表示方法，除了像「所有自然數構成自然數集」這樣的自然語言以外，數學上常用以下兩種方法表示集合：

　　（1）列舉法。將集合中的所有元素一一列舉出來表示集合的方法叫做列舉法。當元素數量可數並較少時可以採用這個方法。用列舉法表示集合，先將元素一一列出，以逗號「，」分隔開，再用花括號「{}」括起來。

　　例如方程(x-1)(x-2)=0的實數根組成的集合可以表示為{1，2}。用大寫字母A表示這個集合，則有A＝{1，2}。

　　（2）描述法。用集合中的所有元素的共同特徵表示集合的方法叫做描述法。當元素數量不可數或較大時採用。用描述法表示集合時，在花括號內先寫出表示這個集合的元素的符號以及一般取值（或變化）範圍，再畫一條豎線，在豎線後寫出這些元素的共同特徵。

　　例如不等式x-1<0的在實數範圍內的解集為{x為實數|x<1}，所有奇數組成的集合為{n為整數|n＝2k+1，k為整數}。

以下列舉一些數學中常用的集合及其符號：

　　N為所有自然數組成的集合，N＝{n為整數|n≥1}；

   自然數，可以是指正整數 (1,2,3,4,...) 亦可以是非負整數 ( 0,1,2,3,4,...)。在數論中通常用前者，而集合論和計算機科學中多數使用後者。

　　Z為所有整數組成的集合；

　　Q為所有有理數組成的集合，Q＝{p/q|p是整數，q是非零整數}；

　　R為所有實數組成的集合。

　　有了這些符號，諸如「n為整數」、「x為實數」都可以記作「n∈N」，「x∈R」了，例如{x為實數|x<1}＝{x∈R|x<1}，{n為整數|n＝2k+1，k為整數}＝{n∈Z|n＝2k+1，k∈Z}。

　　還需要指出，如果從上下文的關係看，x∈R、n∈Z是明確（顯然）的，那麼x∈R、n∈Z可以省略寫為x、n，例如{x∈R|x<1}＝{x|x<1}，{n∈Z|n＝2k+1，k∈Z}＝{n|n＝2k+1，k∈Z}。

習題3－1－1

1、以下哪些語句描述的是正確的集合？

　（1）接近0的數組成的集合；

　（2）大於M的實數組成的集合；

　（3）{1，1，2，2，3，3}。

2、以下哪組集合是相等的？

　（1）{1，2，3，……，n}與N；

　（2）{x|x∈N+且x<31}與六月份所有日期對應的號碼組成的集合；

　（3）{y|y=2x+1}與{y|y=2x+1，x∈Z}

3、設集合A表示不等式x^2-1<0在正整數範圍內的解集

　（1）求集合A並說明集合A能否分別用列舉法和描述法表示；

　（2）寫出兩個屬於集合A的數，再寫出兩個不屬於集合A的數。

Issac_Albert的討論

眾所周知，集合論是現代數學當之無愧的基石。雖然現在集合論不是最熱門的數學方向，但歷史上對集合的討論非常多，集合的定義也一直有爭議。關於集合的定義，比較嚴格的話當然應該採用公理化的方法。但是要想找到一種完全沒有矛盾又能夠充分體現集合的性質的公理是很難的。一個很簡單的問題是：所有集合的全體是不是集合？如果你承認它，比如記之為X。那麼集合a∉a是不是一個集合？沒有任何理由否定它，記之為Y。但是問題來了，Y是不是在Y中？你會發現無論如何這都是一個矛盾。實際上你面對的正是引發第三次數學危機的一個問題，羅素曾經用著名的「理髮師問題」來形象地表現它。經過一些討論之後，大家發現問題的根源出在：承認所有集合全體是集合。為了規避這一悖論，現在通用的集合論公理通常否定這一說法，「所有集合全體」這種描述不被認為是一種合法的描述。一個理由是，它違反了正則公理（集合在包含關係下的鏈條只能是有限長的）。但是注意，這個理由不是很讓人放心：因為我們能判斷它違反了正則公理，是因為這句話十分明顯地違反了正則公理。如果它很晦澀地，不能被輕易察覺地和已知公理矛盾，我們怎麼判斷它是不是對集合的合法描述？我們應該從正面解釋如何合法地定義集合。以前我們使用概括公理（給定一個性質，滿足性質的所有元素構成一個集合），不過「所有集合的集合」顯然給我們提供了一個反例。現在我們使用弱一些的「替換公理」（一個集合中滿足一個性質的所有元素構成一個集合）。當然集合的構造不止依賴這一條公理。對於看到這裡的同學，我想說的是，對集合的探討常常出現一些出乎大家預料的問題，大家在學習集合論的時候一定要抱着辯證的態度，對高中數學以及對一切自然科學都應該如此。懷疑一切，除了邏輯本身。