高中数学/不等式与数列/数列与通项公式的概念

基础知识

数列的定义与基本概念

按照一定的顺序排列的一列数叫做数列（Sequence of number），数列中的每个数叫做这个数列的一个项（term），数列中的每一个数都和它的序号有关，排在第1位的数称为这个数列的第1项（也叫做首项），排在第2位的数叫做数列的第2项……以此类推，排在第n位的数叫做这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成：
$a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},\cdots$
简记为$\left\{a_{n}\right\}$。

项目有限的数列叫做有穷数列，而项目无穷的数列则称之为无穷数列。项目全部为正数的数列叫做正项数列。

如果数列$\left\{a_{n}\right\}$的第n项与序号n之间的关系可以通过一个简明的算式来表示，那么这个公式叫做这个数列的一般项公式（general term）或通项公式。我们可以通过这个公式计算出数列的各个项。

我们将$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}$叫做数列$\{a_{n}\}$的前n项和，有时记作$S_{n}$（“S”为“求和”（summation）之意），即$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$。

相关例题1： 下列哪个数是数列$\{{\frac {n(n+1)}{10}}\}$中的一项？(    )
A.23；B.29；C.32；D.38

相关例题2： 设下列三角形数1, 3, 6, 10, ...所构成的数列为$\{a_{n}\}$，则它的一个通项公式可能为(    )。
A.$a_{n}=n^{2}-n+1$； B.$a_{n}={\frac {n(n-1)}{2}}$； C.$a_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}$； D.$a_{n}={\frac {n(n+2)}{2}}$

相关例题3： 设$a_{n}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+{\frac {1}{n+3}}+...+{\frac {1}{n^{2}}}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$，则$a_{2}=$(    )。
A.${\frac {1}{2}}$； B.${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}$； C.${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}$； D.${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}$

相关例题4： 设$a_{n}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+{\frac {1}{n+3}}+{\frac {1}{n+4}}+...+{\frac {1}{2n}}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$，那么$a_{n+1}-a_{n}=$(    )。
A.${\frac {1}{2n+1}}$； B.${\frac {1}{2n+2}}$； C.${\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{2n+2}}$； D.${\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{2n+2}}$

常见性质与分类

• 常数列
• 单调数列
• 摆动数列
• 周期数列

相关例题1： 已知某数列的各项依次为1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, ...，如此不断重复下去。求这个数列的第2009项的值。

相关例题2： 已知数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}={\frac {n}{3n+1}}$，那么这个数列的类型为(    )。
A.递增数列；B.递减数列；C.摆动数列；D.周期数列

递推关系式及其简单使用

如果已知一个数列$\{a_{n}\}$的第1项（或前几项），并且从第2项（或其它某一项）开始的任意一项都可以用描述相邻项数量关系的等式唯一地计算出来，那么这样的等式就叫做该数列的递推关系式（recurrence relation），简称递推式。以递推式描述的数列也叫做递推数列，它的每一项需要由给定的前几项以及递推关系式共同确定。

相关例题1： 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1,a_{n+1}={\frac {1}{2}}a_{n}+{\frac {1}{2n}}$，求此数列的第3项的值。

相关例题2： 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=2,a_{2}=5,a_{n+1}=a_{n+2}+a_{n}\quad (n\geq 3,n\in \mathbb {N} )$，求此数列的第6项的值。

相关例题3： 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1,a_{n}+a_{n+1}=2\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$，求此数列的第10项的值。

相关例题4： 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1,a_{n}=n(a_{n+1}-a_{n})\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$，通过摸索规律，并猜想此数列的通项公式。

相关例题5： 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=2,a_{n+1}-a_{n}={\frac {a_{n}-a_{n+1}}{a_{n}^{2}a_{n+1}^{2}}}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$，求此数列的第10项的值。

具有分式形式的递推式有比较复杂的求解方法。但是有一类分式形式的递推式实际上等价于很容易求解的周期数列，因此经常会出现在不需要给出详细过程的选择题或填空题中。

相关例题6： 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{8}=2,a_{n+1}={\frac {1}{1-a_{n}}}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$，求其首项的值。

相关例题7： 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1,a_{n+1}={\frac {a_{n}}{2a_{n}+1}}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$，请通过摸索规律，猜想此数列的通项公式。

相关例题8： 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=0,a_{n+1}={\frac {a_{n}-{\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}a_{n}+1}}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$，求$a_{2018}$的值。

与集合、函数的关系

图2-1-1 数列是一种自变量只取整数的离散化函数。

数列可以看成以正整数集$\mathbb {N} ^{+}$（或其有限子集）为定义域的函数$a_{n}=f(n)$，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对的一列函数值，如右侧图1所示。反过来，对于函数$y=f(x)$，如果各个$f(i)\quad (i=1,2,3,\cdots )$都有意义，那么我们可以得到一个数列： $f(1),f(2),f(3),\cdots ,f(n)\cdots$

常用结论与常见模型

根据规律猜想通项公式

相关例题1： 根据前几项的规律，数列${\frac {2}{3}},{\frac {4}{5}},{\frac {6}{7}},{\frac {8}{9}},...$的第10项可能为(    )。
A.${\frac {16}{17}}$； B.${\frac {18}{19}}$； C.${\frac {20}{21}}$； D.${\frac {22}{23}}$

相关例题2： 给定数列$0,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {3}{8}},...,{\frac {n-1}{2n}},...$，求${\frac {3}{7}}$是它的第几项？

相关例题3： 对于以下的各个数列，观察其数字变化规律，分别为它们给出一个可能的通项公式：
(1) 1, 4, 9, 16, 25, ...
(2) 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
(3) 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...
(4) 1, -2, 4, -6, 10, -12, ...
(5) 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...
(6) 1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ...
(7) ${\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{6}},{\frac {7}{8}},...$
(8) ${\sqrt {2}},{\sqrt {5}},2{\sqrt {2}},{\sqrt {11}},...$
(9) 1, 11, 111, 1111, 11111, ...
(10) 0.1, 0.11, 0.111, 0.1111, ...

递推式的简单寻找

相关例题1： 记三角形数1, 3, 6, 10, 15, ...构成的数列为$\{a_{n}\}$，则其递推公式可能是(    )。
A. $a_{n}=\left\{{\begin{array}{l}1\quad (n=1)\\a_{n+1}+n-1\quad (n\geq 2,n\in \mathbb {N} )\end{array}}\right.$
B. $a_{n}=\left\{{\begin{array}{l}1\quad (n=1)\\a_{n-1}+n\quad (n\geq 2,n\in \mathbb {N} )\end{array}}\right.$
C. $a_{n}=\left\{{\begin{array}{l}1\quad (n=1)\\a_{n-1}+n-1\quad (n\geq 2,n\in \mathbb {N} )\end{array}}\right.$
D. $a_{n}=\left\{{\begin{array}{l}1\quad (n=1)\\a_{n+1}+n+1\quad (n\geq 2,n\in \mathbb {N} )\end{array}}\right.$

相关例题2： 只观察相邻项的关系，分别为给出下列数列给出一个可能的包含$a_{n}$与$a_{n-1}\quad (n\geq 2)$的递推关系式：
(1) 1, 0.9, 0.81, 0.729, ...
(2) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
(3) $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},...$
(4) 1, 11, 111, 1111, 11111, ...
(5) 1, 12, 123, 1234, 12345, ...
(6) 1, 1.1, 1.11, 1.111, 1.1111, ...

相关例题3： 设数列$\{a_{n}\}$的第n项为平面直角坐标系中同时满足下列条件的点的个数：
①x坐标和y坐标都是不大于n的整数；②x坐标和y坐标至少有一个刚好等于n。
画图易知这是一列“正方形数”。求包含$a_{n}$与$a_{n+1}$的一个递推式。

补充习题

• 求下列各数列的一个通项公式：
  

(1)${\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {7}{8}},{\frac {15}{16}},{\frac {31}{32}},...$

(2)$-1,{\frac {8}{5}},-{\frac {15}{7}},{\frac {24}{9}},...$

外部链接

维基百科中的相关条目：

数列

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递推关系式