高中數學/不等式與數列/數列與通項公式的概念

閱讀指南

基礎知識

數列的定義與基本概念

按照一定的順序排列的一列數叫做數列（Sequence of number），數列中的每個數叫做這個數列的一個項（term），數列中的每一個數都和它的序號有關，排在第1位的數稱為這個數列的第1項（也叫做首項），排在第2位的數叫做數列的第2項……以此類推，排在第n位的數叫做這個數列的第n項。所以，數列的一般形式可以寫成：
$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots$
簡記為 ${a_{n}}$ 。

項目有限的數列叫做有窮數列，而項目無窮的數列則稱之為無窮數列。項目全部為正數的數列叫做正項數列。

如果數列 ${a_{n}}$ 的第n項與序號n之間的關係可以通過一個簡明的算式來表示，那麼這個公式叫做這個數列的一般項公式（general term）或通項公式。我們可以通過這個公式計算出數列的各個項。

我們將 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ 叫做數列 ${a_{n}}$ 的前n項和，有時記作 $S_{n}$ （「S」為「求和」（summation）之意），即 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 。

相關例題1：下列哪個數是數列 ${\frac{n (n + 1)}{10}}$ 中的一項？( )
A.23；B.29；C.32；D.38

相關例題2：設下列三角形數1, 3, 6, 10, ...所構成的數列為 ${a_{n}}$ ，則它的一個通項公式可能為( )。
A. $a_{n} = n^{2} - n + 1$ ； B. $a_{n} = \frac{n (n - 1)}{2}$ ； C. $a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ ； D. $a_{n} = \frac{n (n + 2)}{2}$

相關例題3：設 $a_{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + ... + \frac{1}{n^{2}} (n \in ℕ^{+})$ ，則 $a_{2} =$ ( )。
A. $\frac{1}{2}$ ； B. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ； C. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ ； D. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

相關例題4：設 $a_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + \frac{1}{n + 4} + ... + \frac{1}{2 n} (n \in ℕ^{+})$ ，那麼 $a_{n + 1} - a_{n} =$ ( )。
A. $\frac{1}{2 n + 1}$ ； B. $\frac{1}{2 n + 2}$ ； C. $\frac{1}{2 n + 1} + \frac{1}{2 n + 2}$ ； D. $\frac{1}{2 n + 1} + \frac{1}{2 n + 2}$

常見性質與分類

常數列
單調數列
擺動數列
周期數列

相關例題1：已知某數列的各項依次為1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, ...，如此不斷重複下去。求這個數列的第2009項的值。

相關例題2：已知數列 ${a_{n}}$ 的通項公式為 $a_{n} = \frac{n}{3 n + 1}$ ，那麼這個數列的類型為( )。
A.遞增數列；B.遞減數列；C.擺動數列；D.周期數列

遞推關係式及其簡單使用

如果已知一個數列 ${a_{n}}$ 的第1項（或前幾項），並且從第2項（或其它某一項）開始的任意一項都可以用描述相鄰項數量關係的等式唯一地計算出來，那麼這樣的等式就叫做該數列的遞推關係式（recurrence relation），簡稱遞推式。以遞推式描述的數列也叫做遞推數列，它的每一項需要由給定的前幾項以及遞推關係式共同確定。

相關例題1：已知數列 ${a_{n}}$ 滿足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2 n}$ ，求此數列的第3項的值。

相關例題2：已知數列 ${a_{n}}$ 滿足 $a_{1} = 2, a_{2} = 5, a_{n + 1} = a_{n + 2} + a_{n} (n \geq 3, n \in ℕ)$ ，求此數列的第6項的值。

相關例題3：已知數列 ${a_{n}}$ 滿足 $a_{1} = 1, a_{n} + a_{n + 1} = 2 (n \in ℕ^{+})$ ，求此數列的第10項的值。

相關例題4：已知數列 ${a_{n}}$ 滿足 $a_{1} = 1, a_{n} = n (a_{n + 1} - a_{n}) (n \in ℕ^{+})$ ，通過摸索規律，並猜想此數列的通項公式。

相關例題5：已知數列 ${a_{n}}$ 滿足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} - a_{n} = \frac{a_{n} - a_{n + 1}}{a_{n}^{2} a_{n + 1}^{2}} (n \in ℕ^{+})$ ，求此數列的第10項的值。

具有分式形式的遞推式有比較複雜的求解方法。但是有一類分式形式的遞推式實際上等價於很容易求解的周期數列，因此經常會出現在不需要給出詳細過程的選擇題或填空題中。

相關例題6：已知數列 ${a_{n}}$ 滿足 $a_{8} = 2, a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}} (n \in ℕ^{+})$ ，求其首項的值。

相關例題7：已知數列 ${a_{n}}$ 滿足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1} (n \in ℕ^{+})$ ，請通過摸索規律，猜想此數列的通項公式。

相關例題8：已知數列 ${a_{n}}$ 滿足 $a_{1} = 0, a_{n + 1} = \frac{a_{n} - \sqrt{3}}{\sqrt{3} a_{n} + 1} (n \in ℕ^{+})$ ，求 $a_{2018}$ 的值。

與集合、函數的關係

數列可以看成以正整數集 $ℕ^{+}$ （或其有限子集）為定義域的函數 $a_{n} = f (n)$ ，當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對的一列函數值，如右側圖1所示。反過來，對於函數 $y = f (x)$ ，如果各個 $f (i) (i = 1, 2, 3, \dots)$ 都有意義，那麼我們可以得到一個數列： $f (1), f (2), f (3), \dots, f (n) \dots$

常用結論與常見模型

根據規律猜想通項公式

相關例題1：根據前幾項的規律，數列 $\frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{6}{7}, \frac{8}{9}, ...$ 的第10項可能為( )。
A. $\frac{16}{17}$ ； B. $\frac{18}{19}$ ； C. $\frac{20}{21}$ ； D. $\frac{22}{23}$

相關例題2：給定數列 $0, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{3}{8}, ..., \frac{n - 1}{2 n}, ...$ ，求 $\frac{3}{7}$ 是它的第幾項？

相關例題3：對於以下的各個數列，觀察其數字變化規律，分別為它們給出一個可能的通項公式：
(1) 1, 4, 9, 16, 25, ...
(2) 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
(3) 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...
(4) 1, -2, 4, -6, 10, -12, ...
(5) 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...
(6) 1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ...
(7) $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{7}{8}, ...$
(8) $\sqrt{2}, \sqrt{5}, 2 \sqrt{2}, \sqrt{11}, ...$
(9) 1, 11, 111, 1111, 11111, ...
(10) 0.1, 0.11, 0.111, 0.1111, ...

遞推式的簡單尋找

相關例題1：記三角形數1, 3, 6, 10, 15, ...構成的數列為 ${a_{n}}$ ，則其遞推公式可能是( )。
A. $a_{n} = {\begin{matrix} 1 (n = 1) \\ a_{n + 1} + n - 1 (n \geq 2, n \in ℕ) \end{matrix}$
B. $a_{n} = {\begin{matrix} 1 (n = 1) \\ a_{n - 1} + n (n \geq 2, n \in ℕ) \end{matrix}$
C. $a_{n} = {\begin{matrix} 1 (n = 1) \\ a_{n - 1} + n - 1 (n \geq 2, n \in ℕ) \end{matrix}$
D. $a_{n} = {\begin{matrix} 1 (n = 1) \\ a_{n + 1} + n + 1 (n \geq 2, n \in ℕ) \end{matrix}$

相關例題2：只觀察相鄰項的關係，分別為給出下列數列給出一個可能的包含 $a_{n}$ 與 $a_{n - 1} (n \geq 2)$ 的遞推關係式：
(1) 1, 0.9, 0.81, 0.729, ...
(2) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
(3) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, ...$
(4) 1, 11, 111, 1111, 11111, ...
(5) 1, 12, 123, 1234, 12345, ...
(6) 1, 1.1, 1.11, 1.111, 1.1111, ...

相關例題3：設數列 ${a_{n}}$ 的第n項為平面直角坐標系中同時滿足下列條件的點的個數：
①x坐標和y坐標都是不大於n的整數；②x坐標和y坐標至少有一個剛好等於n。
畫圖易知這是一列「正方形數」。求包含 $a_{n}$ 與 $a_{n + 1}$ 的一個遞推式。

補充習題

求下列各數列的一個通項公式：

(1)

\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \frac{31}{32}, ...

(2)

- 1, \frac{8}{5}, - \frac{15}{7}, \frac{24}{9}, ...

參考資料

外部連結