高中数学/不等式与数列/等差数列

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阅读指南[编辑]

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希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

基础知识[编辑]

知识引入[编辑]

卡尔·高斯(Johann Karl Friedrich Gauß,1777年-1855年)是十八世纪末、十九世纪初最重要的数学家。他在哥廷根大学任职期间,创立了“哥廷根学派”,使哥廷根大学成为当时的世界数学研究中心。他的学生波恩哈德·黎曼也是对现代数学的发展影响深远的名家。

200多年前,高斯的小学数学老师在课堂上提出了下面的问题:

据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,小高斯却通过巧妙的配对求和方法,算出了正确答案:

定义与基本概念[编辑]

等差数列又称算术数列(arithmetic sequence),是相邻两项之差始终为常数的数列。等差数列相邻项的常数差值叫做公差。[1]

如果已知等差数列的首项和公差,通过依次倒推的方法,可以得到等差数列的通项公式:

Crystal Project Warehause为首项、为公差的等差数列的通项公式为[1]

待定系数法求等差数列的通项公式与未知量[编辑]

当已知数列是等差数列,但只知道一部分量或关系式时,可以使用待定系数法设出等差数列通项的一般形式表达式,然后带入已知条件中,通过化简和比较系统确定通项公式中的未知系数。

Crystal Clear action edit 相关例题1:若等差数列的通项公式是,求这个数列的公差。

Crystal Clear action edit 相关例题2:在数列中,,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题3:在等差数列中,设d为公差,求解下列问题:
(1) 已知,求
(2) 已知,求n。
(3) 已知,求d。
(4) 已知,求

如果已知条件中会出现特定数列的多个相邻项,此时为了简化计算,可以采取一些小技巧。例如当给出等差数列中的奇数个相邻项时,可以设夹在最中间的那一项为a,再以d为公差分别向2边分别设项,即将已知的几项设为的形式;类似地,当给出等差数列中的偶数个相邻项时,可以设夹在最中间的两项为,再以2d为公差向两边分别设项,即将已知的几项设为的形式。

Crystal Clear action edit 相关例题4:已知成等差数列的4个数之和为26,第2个数与第3个数之积为40,求这4个数。

Crystal Clear action edit 相关例题5:已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为165,求这5个数。

Crystal Clear action edit 相关例题6:《九章算术》上有一道题,说已知甲、乙、丙、丁、戊这5个人分5钱(“钱”是一种古代货币计量单位),甲、乙所得之和与丙、丁、戊所得之和相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,求这5个人各得了多少钱?

Crystal Clear action edit 相关例题7:在三角形ABC中,角A、B、C的对边长度分别为a、b、c。如果a、b、c成等差数列,,三角形ABC的面积为,求边b的值。

倒序相加法与等差数列前n项和公式[编辑]


再逆序写出各项:
将以上2式逐项相加得:
又因为
所以可得(一共n组求和):

Crystal Project Warehause为首项、为公差的等差数列的前n项和公式为[1]

即等差数列的前n项和等于首末项的和与项数乘积的一半[1]。此公式常以汉语口诀记为“首相加末项,乘以项数,再除以二”。

上述的求和方法叫做倒序相加法,因高斯求和的故事而闻名。

常用结论与常见模型[编辑]

等差数列通项公式的变形[编辑]

等差数列的常用性质[编辑]

将一个等差数列的每一项都乘以同1个常数后,得到的仍然是一个等差数列。

推论:设是一次函数,是等差数列,则也是一个等差数列。即等差数列经过一次函数变换后的象仍然是等差数列。

Crystal Clear action edit 相关例题1:设数列都是等差数列,若,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题2:在等差数列中,,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题3:已知等差数列前9项的和为27,,则 (    )。
A.100;B.99;C.98;D.97
(出自2016年中国大陆新课标高考全国卷I第3题。)

Crystal Clear action edit 相关例题4:已知等差数列满足,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题5:已知数列是等差数列,且,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题6:在数列中,,且对于任意大于1的正整数n,点都在直线上,求的表达式。

Crystal Clear action edit 相关例题7:已知数列是等差数列,且,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题8:首项为,公差d为正整数的等差数列满足,满足的n的最小值是15。试求公差d和首项的值。

Crystal Clear action edit 相关例题9:已知是首项为a,公差为1的等差数列。数列满足。若对于任意的,都有成立,求实数a的取值范围。

Crystal Clear action edit 相关例题10:已知函数f(x)是定义在上的单调递增函数且为奇函数,数列是等差数列,,则的值(    )。
A.恒为正数
B.恒为负值
C.0
D.可正可负

Crystal Clear action edit 相关例题11:设等差数列的公差为d,若数列为递减数列,则(    )。
A.
B.
C.
D.

Crystal Clear action edit 相关例题12:设等差数列的公差为d。若等差数列为递减数列,则(    )。
A.
B.
C.
D.
(出自2014年中国大陆高考辽宁卷第8题。)

Crystal Clear action edit 相关例题13:设是等差数列,下列结论中正确的是(    )。
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
(出自2015年中国大陆高考北京卷第6题。)

等差数列前n项和公式的变形[编辑]

等差数列前n项和的常用性质[编辑]

等差中项[编辑]

如果3个数a、b、c按顺序构成等差数列,那么b叫做a与c的等差中项,且满足。反过来,如果有,也能判断a、b、c一定构成等差数列。

Crystal Clear action edit 相关例题1:在1和100之间插入k个数,使这k+2个数构成等差数列,求它们的公差。

Crystal Clear action edit 相关例题2:在等差数列中,。若在此数列中每2个相邻项之间都新插入一个数,使之成为新的等差数列,求此新数列的公差。

Crystal Clear action edit 相关例题3:在等差数列中,,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题4:在等差数列中,,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题5:在等差数列中,,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题6:若成等差数列,求x的值。

Crystal Clear action edit 相关例题7:已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,求m和n的等差中项。

等差数列常用判定方法[编辑]

Crystal Clear action edit 相关例题8:已知成等差数列,求证:也成等差数列。

参考解答1:由成等差数列可知,解得
要证明也成等差数列,只需要证明,即:

上式显然成立。证明完毕。

参考解答2:已知成等差数列,
成等差数列(它们同时扩大倍后也成等差数列(公差也变为原来的倍),
成等差数列,
成等差数列。证明完毕。

点评:参考解答2是根据已知式和待求证式的形式特点巧妙变形,并利用了等差数列的2条不同性质,才得到了更便捷的解法。

Crystal Clear action edit 相关例题2:已知成等差数列,并且均为正数,求证也成等差数列。

证明:已知成等差数列,所以
对等式两边都乘以abc,得

这说明
又因为均为正数,所以
所以成等差数列。

Crystal Clear action edit 相关例题3:已知等差数列的公差大于0,求满足
(1) 求数列的通项公式。
(2) 若数列满足。判断是否存在非零实数c,使得数列为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由。

需要简单转化和整体代换的递推关系[编辑]

Crystal Clear action edit 相关例题1: 已知数列满足,且,求的表达式。

Crystal Clear action edit 相关例题2: 已知数列满足,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题3: 已知数列满足,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题4: 已知正项数列满足,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题5:在数列中,
(1) 证明数列是等差数列。
(2) 求数列的通项公式。
(3) 若对任意的恒成立,求实数的取值范围。

简单的同余性质[编辑]

Crystal Clear action edit 相关例题1:已知数列是首项为3,公差为的等差数列。若2019是该数列的一项,则公差不可能是(    )。
A.2;B.3;C.4;D.5

Crystal Clear action edit 相关例题2:已知在无穷等差数列中,首项,公差。依次取出其中序号能被4除余3的项,组成数列
(1) 求的值。
(2) 求的通项公式。
(3) 中的第503项是中的第几项?

补充习题[编辑]

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  • 若数列是等差数列,则称数列是“等方差数列”。下列判断中正确的有(    )。

A.常数列是等方差数列
B.若数列是等方差数列,则数列是等差数列
C.若数列是等方差数列,则数列是等方差数列
D.若数列是等方差数列,则数列是等方差数列

  • 设等差数列满足,且有最小值,求这个最小值。
  • 已知数列满足,求的值。
  • 已知正项数列满足,求的值。
  • 已知正项数列满足,求的值。
  • 观察给出的规律,求下列数列的第100项的值:
1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ...

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 人民教育出版社中学数学室. 第3章“数列”第3.2节“等差数列”和第3.3节“等差数列的前n项和”. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修). 第1册 (上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2003: 110–119. ISBN 7-107-16755-3 (中文(中国大陆)). 

外部链接[编辑]

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