阅读指南[编辑]
希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。
基础知识[编辑]
知识引入[编辑]
卡尔·高斯(Johann Karl Friedrich Gauß,1777年-1855年)是十八世纪末、十九世纪初最重要的数学家。他在哥廷根大学任职期间,创立了“哥廷根学派”,使哥廷根大学成为当时的世界数学研究中心。他的学生波恩哈德·黎曼也是对现代数学的发展影响深远的名家。
200多年前,高斯的小学数学老师在课堂上提出了下面的问题:
据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,小高斯却通过巧妙的配对求和方法,算出了正确答案:
定义与基本概念[编辑]
等差数列又称算术数列(arithmetic sequence),是相邻两项之差始终为常数的数列。等差数列相邻项的常数差值叫做公差。[1]
如果已知等差数列
的首项
和公差
,通过依次倒推的方法,可以得到等差数列的通项公式:

以
为首项、
为公差的等差数列的通项公式为[1]:
待定系数法求等差数列的通项公式与未知量[编辑]
当已知数列是等差数列,但只知道一部分量或关系式时,可以使用待定系数法设出等差数列通项的一般形式表达式,然后带入已知条件中,通过化简和比较系统确定通项公式中的未知系数。
相关例题1:若等差数列
的通项公式是
,求这个数列的公差。
相关例题2:在数列
中,
,求
的值。
相关例题3:在等差数列
中,设d为公差,求解下列问题:
(1) 已知
,求
。
(2) 已知
,求n。
(3) 已知
,求d。
(4) 已知
,求
。
如果已知条件中会出现特定数列的多个相邻项,此时为了简化计算,可以采取一些小技巧。例如当给出等差数列
中的奇数个相邻项时,可以设夹在最中间的那一项为a,再以d为公差分别向2边分别设项,即将已知的几项设为
的形式;类似地,当给出等差数列
中的偶数个相邻项时,可以设夹在最中间的两项为
,再以2d为公差向两边分别设项,即将已知的几项设为
的形式。
相关例题4:已知成等差数列的4个数之和为26,第2个数与第3个数之积为40,求这4个数。
相关例题5:已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为165,求这5个数。
相关例题6:《九章算术》上有一道题,说已知甲、乙、丙、丁、戊这5个人分5钱(“钱”是一种古代货币计量单位),甲、乙所得之和与丙、丁、戊所得之和相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,求这5个人各得了多少钱?
相关例题7:在三角形ABC中,角A、B、C的对边长度分别为a、b、c。如果a、b、c成等差数列,
,三角形ABC的面积为
,求边b的值。
倒序相加法与等差数列前n项和公式[编辑]
设
,
再逆序写出各项:
,
将以上2式逐项相加得:
。
又因为
,
所以可得(一共n组求和):
。
以
为首项、
为公差的等差数列的前n项和公式为[1]:
即等差数列的前n项和等于首末项的和与项数乘积的一半[1]。此公式常以汉语口诀记为“首相加末项,乘以项数,再除以二”。
上述的求和方法叫做倒序相加法,因高斯求和的故事而闻名。
常用结论与常见模型[编辑]
等差数列通项公式的变形[编辑]
等差数列的常用性质[编辑]
将一个等差数列的每一项都乘以同1个常数后,得到的仍然是一个等差数列。
推论:设
是一次函数,
是等差数列,则
也是一个等差数列。即等差数列经过一次函数变换后的象仍然是等差数列。
相关例题1:设数列
、
都是等差数列,若
,求
的值。
相关例题2:在等差数列
中,
,求
的值。
相关例题3:已知等差数列
前9项的和为27,
,则
( )。
A.100;B.99;C.98;D.97
(出自2016年中国大陆新课标高考全国卷I第3题。)
相关例题4:已知等差数列
满足
,求
的值。
相关例题5:已知数列
是等差数列,且
,求
的值。
相关例题6:在数列
中,
,且对于任意大于1的正整数n,点
都在直线
上,求
的表达式。
相关例题7:已知数列
是等差数列,且
,求
的值。
相关例题8:首项为
,公差d为正整数的等差数列
满足
,满足
的n的最小值是15。试求公差d和首项
的值。
相关例题9:已知
是首项为a,公差为1的等差数列。数列
满足
。若对于任意的
,都有
成立,求实数a的取值范围。
相关例题10:已知函数f(x)是定义在
上的单调递增函数且为奇函数,数列
是等差数列,
,则
的值( )。
A.恒为正数
B.恒为负值
C.0
D.可正可负
相关例题11:设等差数列
的公差为d,若数列
为递减数列,则( )。
A.
B.
C.
D.
相关例题12:设等差数列
的公差为d。若等差数列
为递减数列,则( )。
A.
B.
C.
D.
(出自2014年中国大陆高考辽宁卷第8题。)
相关例题13:设
是等差数列,下列结论中正确的是( )。
A.若
,则
B.若
,则
C.若
,则
D.若
,则
(出自2015年中国大陆高考北京卷第6题。)
等差数列前n项和公式的变形[编辑]
等差数列前n项和的常用性质[编辑]
等差中项[编辑]
如果3个数a、b、c按顺序构成等差数列,那么b叫做a与c的等差中项,且满足
。反过来,如果有
,也能判断a、b、c一定构成等差数列。
相关例题1:在1和100之间插入k个数,使这k+2个数构成等差数列,求它们的公差。
相关例题2:在等差数列
中,
,
。若在此数列中每2个相邻项之间都新插入一个数,使之成为新的等差数列,求此新数列的公差。
相关例题3:在等差数列
中,
,求
的值。
相关例题4:在等差数列
中,
,求
的值。
相关例题5:在等差数列
中,
,
,求
的值。
相关例题6:若
、
和
成等差数列,求x的值。
相关例题7:已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,求m和n的等差中项。
等差数列常用判定方法[编辑]
相关例题8:已知
成等差数列,求证:
也成等差数列。
参考解答2:已知
成等差数列,
即
成等差数列(它们同时扩大
倍后也成等差数列(公差也变为原来的
倍),
即
成等差数列,
即
成等差数列。证明完毕。
相关例题2:已知
成等差数列,并且
均为正数,求证
也成等差数列。
证明:已知
成等差数列,所以
。
对等式两边都乘以abc,得
。

这说明
。
又因为
均为正数,所以
。
所以
成等差数列。
相关例题3:已知等差数列
的公差大于0,求满足
。
(1) 求数列
的通项公式。
(2) 若数列
满足
。判断是否存在非零实数c,使得数列
为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由。
需要简单转化和整体代换的递推关系[编辑]
相关例题1:
已知数列
满足
,且
,求
的表达式。
相关例题2:
已知数列
满足
,求
的值。
相关例题3:
已知数列
满足
,求
的值。
相关例题4:
已知正项数列
满足
,求
的值。
相关例题5:在数列
中,
。
(1) 证明数列
是等差数列。
(2) 求数列
的通项公式。
(3) 若
对任意的
恒成立,求实数
的取值范围。
简单的同余性质[编辑]
相关例题1:已知数列
是首项为3,公差为
的等差数列。若2019是该数列的一项,则公差不可能是( )。
A.2;B.3;C.4;D.5
相关例题2:已知在无穷等差数列
中,首项
,公差
。依次取出其中序号能被4除余3的项,组成数列
。
(1) 求
和
的值。
(2) 求
的通项公式。
(3)
中的第503项是
中的第几项?
补充习题[编辑]
- 若数列
是等差数列,则称数列
是“等方差数列”。下列判断中正确的有( )。
A.常数列是等方差数列
B.若数列
是等方差数列,则数列
是等差数列
C.若数列
是等方差数列,则数列
是等方差数列
D.若数列
是等方差数列,则数列
是等方差数列
- 设等差数列
满足
,且
有最小值,求这个最小值。
- 已知数列
满足
,求
的值。
- 已知正项数列
满足
,求
的值。
- 已知正项数列
满足
,求
的值。
- 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ...
参考资料[编辑]
外部链接[编辑]