高中數學/不等式與數列/等差數列

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

基礎知識

知識引入

卡爾·高斯（Johann Karl Friedrich Gauß，1777年－1855年）是十八世紀末、十九世紀初最重要的數學家。他在格丁根大學任職期間，創立了「格丁根學派」，使格丁根大學成為當時的世界數學研究中心。他的學生波恩哈德·黎曼也是對現代數學的發展影響深遠的名家。

200多年前，高斯的小學數學老師在課堂上提出了下面的問題：$1+2+3+\cdots +100=?$

據說，當其他同學忙於把100個數逐項相加時，小高斯卻通過巧妙的配對求和方法，算出了正確答案： $(1+100)+(2+99)+\cdots +(50+51)=101\times 50=5050$

定義與基本概念

等差數列又稱算術數列（arithmetic sequence），是相鄰兩項之差始終為常數的數列。等差數列相鄰項的常數差值叫做公差。

如果已知等差數列$\langle a_{n}\rangle$的首項$a_{1}$和公差$d$，通過依次倒推的方法，可以得到等差數列的通項公式： $a_{n}=a_{n-1}+d=(a_{n-2}+d)+d=((a_{n-3}+d)+d)+d=...=a_{1}+(n-1)d$

以$a_{1}$為首項、$d$為公差的等差數列的通項公式為： $a_{n}=a_{1}+(n-1)d,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$

待定系數法求等差數列的通項公式與未知量

當已知數列是等差數列，但只知道一部分量或關係式時，可以使用待定系數法設出等差數列通項的一般形式表達式，然後帶入已知條件中，通過化簡和比較系統確定通項公式中的未知系數。

相關例題1：若等差數列$\{a_{n}\}$的通項公式是$a_{n}=2(n+1)+3$，求這個數列的公差。

相關例題2：在數列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=2,2a_{n+1}=2a_{n}+1$，求$a_{101}$的值。

相關例題3：在等差數列$\{a_{n}\}$中，設d為公差，求解下列問題：
(1) 已知$a_{1}=2,d=3,n=10$，求$a_{n}$。
(2) 已知$a_{1}=3,a_{n}=21,d=2$，求n。
(3) 已知$a_{1}=12,a_{6}=27$，求d。
(4) 已知$d=-{\frac {1}{3}},a_{7}=8$，求$a_{1}$。

如果已知條件中會出現特定數列的多個相鄰項，此時為了簡化計算，可以採取一些小技巧。例如當給出等差數列$\{a_{n}\}$中的奇數個相鄰項時，可以設夾在最中間的那一項為a，再以d為公差分別向2邊分別設項，即將已知的幾項設為$...,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,...$的形式；類似地，當給出等差數列$\{a_{n}\}$中的偶數個相鄰項時，可以設夾在最中間的兩項為$a-d,a+d$，再以2d為公差向兩邊分別設項，即將已知的幾項設為$...,a-3d,a-d,a+d,a+3d,...$的形式。

相關例題4：已知成等差數列的4個數之和為26，第2個數與第3個數之積為40，求這4個數。

相關例題5：已知5個數成等差數列，它們的和為5，平方和為165，求這5個數。

相關例題6：《九章算術》上有一道題，說已知甲、乙、丙、丁、戊這5個人分5錢（「錢」是一種古代貨幣計量單位），甲、乙所得之和與丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列，求這5個人各得了多少錢？

相關例題7：在三角形ABC中，角A、B、C的對邊長度分別為a、b、c。如果a、b、c成等差數列，$B=30^{\circ }$，三角形ABC的面積為${\frac {3}{2}}$，求邊b的值。

倒序相加法與等差數列前n項和公式

設$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$，
再逆序寫出各項：$S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_{1}$，
將以上2式逐項相加得：$S_{n}+S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+...+(a_{n}+a_{1})$。
又因為$(a_{1}+a_{n})=(a_{2}+a_{n-1})=(a_{3}+a_{n-2})=...=(a_{n}+a_{1})$，
所以可得（一共n組求和）：$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})+...+(a_{1}+a_{n})=\sum _{i=1}^{n}(a_{1}+a_{n})={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n})$。

以$a_{1}$為首項、$d$為公差的等差數列的前n項和公式為： $S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}),\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$

即等差數列的前n項和等於首末項的和與項數乘積的一半。此公式常以漢語口訣記為「首相加末項，乘以項數，再除以二」。

上述的求和方法叫做倒序相加法，因高斯求和的故事而聞名。

常用結論與常見模型

等差數列的常用性質

將一個等差數列的每一項都乘以同1個常數後，得到的仍然是一個等差數列。

推論：設$f(x)$是一次函數，$\{a_{n}\}$是等差數列，則$\{f(a_{n})\}$也是一個等差數列。即等差數列經過一次函數變換後的象仍然是等差數列。

相關例題1：設數列$\{a_{n}\}$、$\{b_{n}\}$都是等差數列，若$a_{1}+b_{1}=7,a_{3}+b_{3}=21$，求$a_{5}+b_{5}$的值。

相關例題2：在等差數列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}+a_{4}+a_{7}=45,a_{2}+a_{5}+a_{8}=29$，求$a_{3}+a_{6}+a_{9}$的值。

相關例題3：已知等差數列$\{a_{n}\}$前9項的和為27，$a_{10}=8$，則$a_{100}=$ (    )。
A.100；B.99；C.98；D.97
（出自2016年中國大陸新課標高考全國卷I第3題。）

相關例題4：已知等差數列$\{a_{n}\}$滿足$a_{5}a_{6}=4$，求$\log _{2}(2^{a_{1}}\times 2^{a_{2}}\times ...\times 2^{a_{10}})$的值。

相關例題5：已知數列$\{a_{n}\}$是等差數列，且$a_{1}+a_{4}+a_{7}=2\pi$，求$\cos(a_{3}+a_{5})$的值。

相關例題6：在數列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=3$，且對於任意大於1的正整數n，點$({\sqrt {a_{n}}},{\sqrt {a_{n-1}}})$都在直線$x-y-{\sqrt {3}}=0$上，求$a_{n}$的表達式。

相關例題7：已知數列$\{{\frac {a_{n}}{n}}\}$是等差數列，且$a_{3}=2,a_{15}=30$，求$a_{9}$的值。

相關例題8：首項為$a_{1}$，公差d為正整數的等差數列$\{a_{n}\}$滿足$a_{3}+a_{5}+a_{7}=93$，滿足$a_{n}>100$的n的最小值是15。試求公差d和首項$a_{1}$的值。

相關例題9：已知$\{a_{n}\}$是首項為a，公差為1的等差數列。數列$\{b_{n}\}$滿足$b_{n}={\frac {1+a_{n}}{a_{n}}}$。若對於任意的$n\in \mathbb {N} ^{+}$，都有$b_{n}\geq b_{8}$成立，求實數a的取值範圍。

相關例題10：已知函數f(x)是定義在$\mathbb {R}$上的單調遞增函數且為奇函數，數列$\{a_{n}\}$是等差數列，$a_{11}>0$，則$f(a_{9})+f(a_{11})+f(a_{13})$的值(    )。
A.恆為正數
B.恆為負值
C.0
D.可正可負

相關例題11：設等差數列$\{a_{n}\}$的公差為d，若數列$\{2a_{1}a_{n}\}$為遞減數列，則(    )。
A.$d<0$
B.$d>0$
C.$a_{1}d<0$
D.$a_{1}d>0$

相關例題12：設等差數列$\{a_{n}\}$的公差為d。若等差數列$\{2^{a_{1}a_{n}}\}$為遞減數列，則(    )。
A.$d<0$
B.$d>0$
C.$a_{1}d<0$
D.$a_{1}d>0$
（出自2014年中國大陸高考遼寧卷第8題。）

相關例題13：設$\{a_{n}\}$是等差數列，下列結論中正確的是(    )。
A.若$a_{1}+a_{2}>0$，則$a_{2}+a_{3}>0$
B.若$a_{1}+a_{3}<0$，則$a_{1}+a_{2}<0$
C.若$0<a_{1}<a_{2}$，則$a_{2}>{\sqrt {a_{1}a_{2}}}$
D.若$a_{1}<0$，則$(a_{2}-a_{1})(a_{2}-a_{3})>0$
（出自2015年中國大陸高考北京卷第6題。）

等差中項

如果3個數a、b、c按順序構成等差數列，那麼b叫做a與c的等差中項，且滿足$b={\frac {a+c}{2}}$。反過來，如果有$b={\frac {a+c}{2}}$，也能判斷a、b、c一定構成等差數列。

相關例題1：在1和100之間插入k個數，使這k+2個數構成等差數列，求它們的公差。

相關例題2：在等差數列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=8$，$a_{5}=2$。若在此數列中每2個相鄰項之間都新插入一個數，使之成為新的等差數列，求此新數列的公差。

相關例題3：在等差數列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}+a_{9}=10$，求$a_{5}$的值。

相關例題4：在等差數列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=20$，求$a_{3}$的值。

相關例題5：在等差數列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}+a_{4}+a_{7}=39$，$a_{2}+a_{5}+a_{8}=33$，求$a_{6}$的值。

相關例題6：若$\lg 2$、$\lg(2^{x}-1)$和$\lg(2^{x}+3)$成等差數列，求x的值。

相關例題7：已知m和2n的等差中項是4，2m和n的等差中項是5，求m和n的等差中項。

等差數列常用判定方法

相關例題8：已知${\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}},{\frac {1}{c}}$成等差數列，求證：${\frac {b+c}{a}},{\frac {c+a}{b}},{\frac {a+b}{c}}$也成等差數列。

參考解答1：由${\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}},{\frac {1}{c}}$成等差數列可知${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{c}}=2{\frac {1}{b}}$，解得$b={\frac {2ac}{a+c}}$。
要證明$b+{\frac {c}{a}},c+{\frac {a}{b}},a{\frac {b}{c}}$也成等差數列，只需要證明$b+{\frac {c}{a}}+a{\frac {b}{c}}=2(c+{\frac {a}{b}})$，即：
${\begin{array}{l}{\frac {bc+c^{2}+a^{2}+ab}{ac}}={\frac {2}{b}}(c+a)\\\Leftrightarrow {\frac {a^{2}+b(a+c)+c^{2}}{ac}}={\frac {2}{b}}(c+a)\\\Leftrightarrow {\frac {a^{2}+({\frac {2ac}{a+c}})(a+c)+c^{2}}{ac}}={\frac {2}{({\frac {2ac}{a+c}})}}(c+a)\\\Leftrightarrow {\frac {a^{2}+2ac+c^{2}}{ac}}={\frac {(a+c)^{2}}{ac}}\\\Leftrightarrow a^{2}+2ac+c^{2}=(a+c)^{2}\end{array}}$
上式顯然成立。證明完畢。

參考解答2：已知${\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}},{\frac {1}{c}}$成等差數列，
即${\frac {a+b+c}{a}},{\frac {a+b+c}{b}},{\frac {a+b+c}{c}}$成等差數列（它們同時擴大$a+b+c$倍後也成等差數列（公差也變為原來的$a+b+c$倍），
即$1+{\frac {b+c}{a}},1+{\frac {a+c}{b}},1+{\frac {a+b}{c}}$成等差數列，
即${\frac {b+c}{a}},{\frac {a+c}{b}},{\frac {a+b}{c}}$成等差數列。證明完畢。

點評：參考解答2是根據已知式和待求證式的形式特點巧妙變形，並利用了等差數列的2條不同性質，才得到了更便捷的解法。

相關例題2：已知${\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}},{\frac {1}{c}}$成等差數列，並且$a+c,a-c,a+c-2b$均為正數，求證$\lg(a+c),\lg(a-c),\lg(a+c-2b)$也成等差數列。

證明：已知${\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}},{\frac {1}{c}}$成等差數列，所以${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{c}}={\frac {2}{b}}$。
對等式兩邊都乘以abc，得$bc+ab=2ac$。
$(a-c)^{2}-(a+c)(a+c-2b)=a^{2}-2ac+c^{2}-a^{2}-2ac+2bc+2ab-c^{2}=-2(2ac-ab-bc)=0$
這說明$(a-c)^{2}=(a+c)(a+c-2b)$。
又因為$a+c,a-c,a+c-2b$均為正數，所以$\lg(a+c)+\lg(a+c-2b)=2\lg(a-c)$。
所以$\lg(a+c),\lg(a-c),\lg(a+c-2b)$成等差數列。

相關例題3：已知等差數列$\{a_{n}\}$的公差大於0，求滿足$a_{3}a_{4}=117,a_{2}+a_{5}=22$。
(1) 求數列$\{a_{n}\}$的通項公式。
(2) 若數列$\{b_{n}\}$滿足$b_{n}={\frac {2n^{2}-n}{n+c}}$。判斷是否存在非零實數c，使得數列$\{b_{n}\}$為等差數列？若存在，求出c的值；若不存在，請說明理由。

需要簡單轉化和整體代換的遞推關係

相關例題1： 已知數列$\{a_{n}\}$滿足$a_{n+1}^{2}=a_{n}^{2}+4$，且$a_{1}=1,a_{n}>0$，求$a_{n}$的表達式。

相關例題2： 已知數列$\{a_{n}\}$滿足$a_{1}={\frac {1}{3}},a_{n+1}={\frac {a_{n}}{2a_{n}+1}}\quad (n\in \mathbb {N} ^{*})$，求${\frac {a_{3}+a_{1005}}{a_{3}a_{1005}}}$的值。

相關例題3： 已知數列$\{a_{n}\}$滿足$a_{1}=1,a_{n}-a_{n+1}={\frac {a_{n+1}-2}{n}}$，求$a_{10}$的值。

相關例題4： 已知正項數列$\{a_{n}\}$滿足$a_{1}=3,{\sqrt[{n+1}]{a_{n+1}}}{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=2$，求$a_{10}$的值。

相關例題5：在數列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=1,3a_{n}a_{n-1}+a_{n}-a_{n-1}=0\quad (n\geq 2,n\in \mathbb {N} ^{*})$。
(1) 證明數列$\{{\frac {1}{a_{n}}}\}$是等差數列。
(2) 求數列$\{a_{n}\}$的通項公式。
(3) 若$\lambda a_{n}+{\frac {1}{a}}_{n}\geq \lambda$對任意的$n\geq 2$恆成立，求實數$\lambda$的取值範圍。

簡單的同餘性質

相關例題1：已知數列$\{a_{n}\}$是首項為3，公差為$d\quad (d\in \mathbb {R} ^{*})$的等差數列。若2019是該數列的一項，則公差不可能是(    )。
A.2；B.3；C.4；D.5

相關例題2：已知在無窮等差數列$\{a_{n}\}$中，首項$a_{1}=3$，公差$d=-5$。依次取出其中序號能被4除餘3的項，組成數列$\{b_{n}\}$。
(1) 求$b_{1}$和$b_{2}$的值。
(2) 求$\{b_{n}\}$的通項公式。
(3) $\{b_{n}\}$中的第503項是$\{a_{n}\}$中的第幾項？

補充習題

• 若數列$\{a_{n}^{2}\}$是等差數列，則稱數列$\{a_{n}\}$是「等方差數列」。下列判斷中正確的有(    )。
  

A.常數列是等方差數列
B.若數列$\{a_{n}\}$是等方差數列，則數列$\{a_{n}^{2}\}$是等差數列
C.若數列$\{a_{n}\}$是等方差數列，則數列$\{a_{n}^{2}\}$是等方差數列
D.若數列$\{a_{n}\}$是等方差數列，則數列$\{a_{2n}\}$是等方差數列

• 設等差數列$\{a_{n}\}$滿足$a_{3}+a_{7}=36,a_{4}+a_{6}=275$，且$a_{n}a_{n+1}$有最小值，求這個最小值。

• 已知數列$\{a_{n}\}$滿足$a_{1}=1,a_{n+1}={\sqrt {a_{n}^{2}+1}}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$，求$a_{10}$的值。

• 已知正項數列$\{a_{n}\}$滿足$a_{1}=1,(a_{n}+a_{n+1})(a_{n}-a_{n+1})=-1$，求$a_{10}$的值。

• 已知正項數列$\{a_{n}\}$滿足$a_{1}=1,{\frac {1}{a_{n+1}^{2}+1}}={\frac {a_{n}^{2}+2}{a_{n}^{2}+1}}$，求$a_{10}$的值。

• 觀察給出的規律，求下列數列的第100項的值：

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ...

參見

• 多階等差數列

外部連結

維基百科中的相關條目：

等差數列