高中数学/函数与三角/函数方程简介

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

高中阶段常遇到某些与函数的抽象推理有关的问题其实是属于函数方程的求解。高中阶段遇到的函数方程问题比较简单，有一些通用的解题技巧，因此我们将其放在一起讲解和练习。但是更一般化的函数方程可能是很难求解的。例如柯西函数方程在有理数范围内的求解就具有一定的技巧性，只需作一定了解即可。我们在后面的数列章节将要学习到的递推关系式本质上也属于函数方程的一种，叫做差分方程；后面在微积分课程中要学习的微分方程也与函数方程存在联系。

函数方程和微分方程一样，都广泛存在于数值分析和特殊函数理论中。特殊函数理论是专门整理和研究物理学和数学中某些常见函数的分支学科。

基础知识

在先前的章节中，我们已经遇到过已知形如 $f(x)=2f({\frac {1}{x}})+3x$ 的条件，求 $f(x)$ 解析式的问题。除了已经介绍的直接的换元和构造方程组的取巧办法，我们现在来更一般化也更集中地讨论这类函数解析式与函数值的推理问题，并介绍一些相关概念。

函数方程（functional equation）是包含未知函数的方程。未知函数可能多次出现在方程中，但是其内部变元形式可能是不一致的。同时成立的多个函数方程叫做函数方程组。与代数方程一样，函数方程也有可能是多解或无解的。当存在多个解时，如果多个解都是形式相似的，我们就可以将它们叫做一组一般解（general solution）或通解；而其中某个特定的解叫做特解（particular solution）。要求出具体的函数解析式，或求出特定点的未知函数值，还必须给出或者保证能推理出足够数量的已知值，这些解题必需的已知值叫做初始值（initial value condition）、初始条件（initial condition）或边界值（boundary value）。

对于高中阶段遇到的函数方程，并非都是要先根据约束条件求出函数的具体解析式，有时也可以只根据某些已知条件推测出要求的特定值即可。

相关例题1：已知函数 $f(x)=ax^{2}-1$ ，a为正数，且 $f(f(-1))=-1$ ，求a的值。

解函数方程比较锻炼抽象推理能力，需要在有限的条件内尽可能通过尝试不同的特殊数值或变量代换，挖掘出尽可能多的信息。常用的技巧为：

将函数表达式中的变量全部或部分地取为0或1。
将函数表达式中的变量取为彼此颠倒或彼此相反的数或变量。

进行尝试的常见思路方向为：

先试探出函数在自变量取0、1、-1等特殊点上的取值。
先试探出函数 $f(x)$ 与 $f(x+a)$ 是否存在确定的递推关系式或函数是否有周期性

相关例题2：已知定义在 $\mathbb {R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy\quad (x,y\in \mathbb {R} )$ ，且 $f(1)=2$ ，求 $f(-3)$ 的值。

相关例题3：设函数 $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 满足 $f(0)=1$ ，且对任意 $x,y\in \mathbb {R}$ ，都有 $f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2$ 。求 $f(2019)$ 的值。

相关例题4：已知 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 对任意实数x、y都成立，判断 $f(x)$ 的奇偶性。

相关例题5：若 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty )$ 上的增函数，且对一切 $x,y>0$ ，满足 $f({\frac {x}{y}})=f(x)-f(y)$ 。

(1) 求

f(1)

的值。

(2) 若

f(6)=1

，求不等式

f(x+3)-f(2)<1

的解集。

相关例题6： $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty )$ 上的函数，且满足 $f(xy)=f(x)+f(y)$ ， $f({\frac {1}{3}})=1$ ，当 $x>1$ 时， $f(x)<0$ 。

(1) 求

f(1)

的值。

(2) 判断函数

f(x)

的单调性。

(3) 解不等式

f(x)+f(x-2)>-1

。

相关例题7：函数 $f(x)$ 的定义域为D，若对任意的 $x_{1},x_{2}\in D$ ，当 $x_{1}<x_{2}$ 时，都有 $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ ，则称 $f(x)$ 在D上为非减函数。设 $f(x)$ 在[0, 1]上为非减函数，且满足 $f(0)=0$ 、 $f({\frac {x}{3}})={\frac {1}{2}}f(x)$ 、 $f(x)+f(1-x)=1$ 。求 $f({\frac {1}{3}})$ 和 $f({\frac {1}{8}})$ 的值。

常用结论与常见模型

柯西函数方程

柯西函数方程在有理数范围内的求解是解法研究得比较成熟的少数函数方程之一。如果扩大到实数范围内求解，问题的答案就会变得非常复杂。我们只讨论限定在有理数范围内的柯西函数方程，其求解步骤不长，而且思路很有代表性。

解的形式唯一性问题示例

上凸与下凸关系式的推理

阶乘的多种扩展

阶乘关系有多种可能的范围扩展也可以作为说明函数方程可以存在多种延拓形式的有趣例子。

阶乘是一种自变量只能取离散整数值的特殊函数，其定义为（在组合学中为了计算方便，往往还会对阶乘运算附加规定 $f(0)=1$ ，不过我们在这里暂时只考虑自变量为正数值的情形）：

f(n)=\left\{{\begin{array}{l}1,\quad n=1\\1\times 2\times ...\times n,\quad n\geq 2\end{array}}\right.

它满足递推关系 $f(n+1)=nf(n)\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$ 和初始 $f(1)=1$ 条件，却存在不止一种扩展。虽然它最知名的拓展形式是微积分学中常见的Γ函数，但是此函数并不是阶乘的唯一拓展形式。阿達馬伽瑪函數就是另外一个同时满足这些条件的例子。换句话说，即使同时给出 $f(n+1)=nf(n)\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$ 和 $f(1)=1$ 这2个限制条件，也仍无法将函数 $f(x)$ 的形式唯一确定下来。