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高中数学/复数

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学习本节前请确保您对向量有了解。

基础知识

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复数的引入

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我们知道,在实数范围内,方程 无解。也就是说,负实数不能求平方根。

但如果我们硬要写出这个方程的根,那么我们会得到

回顾已有的数集扩充过程,可以看到,每次扩充都与实际需求密切相关。例如,为了解决正方形对角线的度量,以及 这样的方程在有理数集中无解的问题,人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后,在实数集中规定的加法运算、乘法运算,与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致,并且加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律。那么,为了解这个方程,我们也要引入一种新的数。

为此,我们引入一个数 ,使得 ,那么上面的这个方程的解就可以写成

下一步,我们希望数 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算,并希望加法和乘法都满足交换律、结合律,以及乘法对加法满足分配律。

因此,把实数 相乘记作 ;把实数 相加,结果记作 。这样,所有我们已经讨论过的数都可以写成 的形式,从而这些数都在扩充后的新数集中。

复数的定义和分类

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定义 1: 形如 的数为复数,其中 叫做虚数单位,一切复数构成的集合叫做复数集,用字母 表示。


像这样,用 的形式表示复数 ,就叫做复数的代数形式。其中 叫做 实部 叫做 的虚部。

如果 ,那么这个复数就被叫做纯虚数

我们已经定义的概念有如右图所示的关系。

复数关系图

复数的几何意义

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实数和数轴上的点一一对应,自然地,我们也希望将这样的几何意义拓宽到复数去。

首先,我们说 相等,当且仅当 。这是十分自然的一个定义。

进而,我们就可以用惟一的有序实数对 来表示复数,而这样的实数对又和平面直角坐标系中的点一一对应。这样,我们就在 复数 和点 之间建立了一一对应关系

同时,我们又知道,向量的坐标表示也是一个有序实数对,因此我们也能在复数和向量之间建立一一对应关系。也就是说,复数 和点 ,和向量 之间,都有一一对应关系。

因此,我们可以把向量的的概念,即 ,迁移到复数来。

定义 2: 复数


复数的基本运算

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拓展知识

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复数的三角形式

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习题

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题目

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基础习题

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  1. 计算:

拓展习题

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解析

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