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高中數學/複數

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基礎知識[編輯]

複數的引入[編輯]

我們知道,在實數範圍內,方程 無解。也就是說,負實數不能求平方根。

但如果我們硬要寫出這個方程的根,那麼我們會得到

回顧已有的數集擴充過程,可以看到,每次擴充都與實際需求密切相關。例如,為了解決正方形對角線的度量,以及 這樣的方程在有理數集中無解的問題,人們把有理數集擴充到了實數集。數集擴充後,在實數集中規定的加法運算、乘法運算,與原來在有理數集中規定的加法運算、乘法運算協調一致,並且加法和乘法都滿足交換律和結合律,乘法對加法滿足分配律。那麼,為了解這個方程,我們也要引入一種新的數。

為此,我們引入一個數 ,使得 ,那麼上面的這個方程的解就可以寫成

下一步,我們希望數 和實數之間仍然能像實數那樣進行加法和乘法運算,並希望加法和乘法都滿足交換律、結合律,以及乘法對加法滿足分配律。

因此,把實數 相乘記作 ;把實數 相加,結果記作 。這樣,所有我們已經討論過的數都可以寫成 的形式,從而這些數都在擴充後的新數集中。

複數的定義和分類[編輯]

定義 1: 形如 的數為複數,其中 叫做虛數單位,一切複數構成的集合叫做複數集,用字母 表示。


像這樣,用 的形式表示複數 ,就叫做複數的代數形式。其中 叫做 實部 叫做 的虛部。

如果 ,那麼這個複數就被叫做純虛數

我們已經定義的概念有如右圖所示的關係。

複數關係圖

複數的幾何意義[編輯]

實數和數軸上的點一一對應,自然地,我們也希望將這樣的幾何意義拓寬到複數去。

首先,我們說 相等,當且僅當 。這是十分自然的一個定義。

進而,我們就可以用惟一的有序實數對 來表示複數,而這樣的實數對又和平面直角坐標系中的點一一對應。這樣,我們就在 複數 和點 之間建立了一一對應關係

同時,我們又知道,向量的坐標表示也是一個有序實數對,因此我們也能在複數和向量之間建立一一對應關係。也就是說,複數 和點 ,和向量 之間,都有一一對應關係。

因此,我們可以把向量的的概念,即 ,遷移到複數來。

定義 2: 複數


複數的基本運算[編輯]

拓展知識[編輯]

複數的三角形式[編輯]

習題[編輯]

題目[編輯]

基礎習題[編輯]

  1. 計算:

拓展習題[編輯]

解析[編輯]