高中数学/必修四/第三章：三角恒等变换

本章概述

本章是高中数学三角函数的最重要内容，是每年高考的必考内容。题目一般是一到两道选择题以及一道解答题的某个分支，分值大多在8到13分之间，难度一般为中低等级。随着新课程标准的实施，对这部分内容的要求有一定的降低倾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出对正余弦函数的图像与性质的考察。由于新课程标准中向量的引入，将它和平面向量结合起来考察也是高考的一个重要方面。

学习本章，需要熟练背诵本章的所有公式，并且需要熟练地正用、逆用、变形用其中的公式。为了要达到这个目标，需要大量做题，熟练运用公式，熟能生巧，方可学好此章。

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.1 两角差的余弦公式

两角差的余弦公式

$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

3.1.2 两角和与差的正余弦、正切公式

$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$

3.1.3 二倍角的正余弦、正切公式

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

$\cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta$

$\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

3.2 简单的三角恒等变换

3.2.1 半角公式

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

$\cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta$

$\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

3.2.2 万能公式

$\sin 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1+\tan ^{2}\alpha }}$

$\cos 2\alpha ={\frac {1-\tan ^{2}\alpha }{1+\tan ^{2}\alpha }}$

$\tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

3.2.4 降幂公式

$\sin 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1+\tan ^{2}\alpha }}$

$\cos 2\alpha ={\frac {1-\tan ^{2}\alpha }{1+\tan ^{2}\alpha }}$

$\tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

3.2.5 积化和差公式

$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}$

$\cos \alpha \sin \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}{2}}$

$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}{2}}$

$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}$

3.2.6 和差化积公式

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

3.2.7 辅助角公式

$a\sin \alpha +b\cos \alpha ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin \left(\alpha +\arctan {\frac {b}{a}}\right)$