高中数学/概率与统计/互斥事件与独立事件

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互斥事件[编辑]

不可能同时发生的事件叫做彼此互斥的事件,简称为互斥事件mutually exclusive eventsexclusive events)或不相交事件disjoint events)。[1]

二者之一一定会发生,但不会同时发生的一对事件叫做对立事件互补事件complementary events)。[1]

彼此之间两两互质又构成全集的两个或多个事件合称为完全事件系complete event system[2]协同穷竭事件collectively exhaustive events)。

由以上定义可知:

  • 对立事件是特殊的互斥事件。
  • 互斥事件不一定必须会有其一发生。
  • 对立事件A和B的并一定构成全集,交一定构成空集,概率一定满足P(A) + P(B) = 1。
  • 完全事件系可以视为对立性和互斥性的概念结合品。

提出事件互斥性的概念主要还是因为概率的计算有关,特别是互斥事件发生的概率计算格外简单。

首先,根据容斥原理和上一节的知识,给定任意2个事件,我们有:

如果互斥,那么它们不可能同时发生,即
这就是说此时有

乔治·布尔(George Boole,1815年-1864年)是英国的早期数理逻辑学家。他发现了集合运算与逻辑运算之间的对应关系,相关成果被后人命名为布尔代数[3]。他因冒雨为学生上课而患病,不久后因当时医疗条件差以及错误施救而身亡。他的后人中有很多的理工科学者,例如四维空间研究者艾莉西亚·司多特(Alicia Boole Stott)、旅居中国大陆的核物理学家寒春和“深度学习之父”、2018年图灵奖得主杰弗里·辛顿

Crystal Project Warehause 一般来说(即事件之间不一定满足互斥性时),有英国数理逻辑学家乔治·布尔提出的下列布尔不等式Boole's inequality)成立[4][5]

而一组(两两之间)互斥的事件的概率计算满足以下可加性定理[4]

特别地,2个独立事件A和B的概率计算满足:

Crystal Clear action info 提示:有的高中教科书直接将作为计算互斥事件概率的定义[6],有的只会通过实例简单地说明其合理性[1],苏俄大数学家安德雷·柯爾莫哥洛夫更是曾经在概率论简明读物中将其列为他给出的五大概率公理之一[7]。目前更一般的做法是直接对无穷个互斥事件的并定义加法公理[8][9],因为这种定义可以自然退化到有限个互斥事件的情形,但是反过来从有限个推广到无限个事件的情形则几乎不可能做到[8]

由于事件的运算与集合的运算有关系,也满足德摩根定律和容斥原理。所以有时候事件概率的直接计算不方便时,可以转换为对立情形的讨论。

同时发生的独立事件[编辑]

彼此的发生并不相互影响的事件称为相对独立事件mutually independent events)或简称为独立事件[10]。彼此的发生一定有影响的一组事件称为相关事件。

由以上定义可知:

  • 独立事件和相关事件必居其一。
  • 互斥事件属于相关事件。

独立事件可以视为是按照一定顺序先后发生的。并且由于事件之间的相互独立性,彼此的发生概率没有相互影响,所以事件的安排顺序其实对结果没有影响。这样一来,独立事件的概率计算可以利用上计数原理中的分步乘法原理。基于分步乘法原理的排列模型和组合模型也都可以根据情况使用。

Crystal Clear app error 注意:事件的互斥性对应的是概率的加法,事件的独立性对应的是概率的乘法。千万不要搞混了。

Crystal Clear action edit 相关例题: (生日问题) 对23个人来说,至少有2人在同一天过生日的概率超过50%。这一结论看似难以置信,试说明其由来。[11]

重复发生的独立试验[编辑]

在n次独立重复试验independent and repeated trials)中,事件的发生概率需要用到组合数符号表达。与先前一样,本节中用到的组合数符号是沿袭自苏俄的符号习惯,表示从n个元素中取出k个元素的取法数;如果换成欧美常见的符号,应该改写为

在n次独立重复试验中,如果事件A在其中每次试验中发生的概率都是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率[12]

如果读者已经熟悉牛顿的二项式定理,可以发现这个公式其实就是二项式定理的系数,其推导思路也与二项式定理一致[12]。我们之后学习二项分布的概念时,还会用到这个公式描述二项分布。

Crystal Clear action edit 相关例题: 心理学研究者卡尔·马尔比(Karl Marbe,1869年-1953年)相信在掷硬币的试验中连续出现17次的“正面”后,下次出现“反面”出现的可能性要更大。试说明其观点中存在的问题。[13]

补充习题[编辑]

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参考资料[编辑]

  1. 1.0 1.1 1.2 人民教育出版社中学数学室. 第11章“概率”第11.2节“互斥事件有一个发生的概率”. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修). 第2册 (下B) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 133–134. ISBN 7-107-17987-X (中文(中国大陆)). 
  2. 李春喜; 邵云; 姜丽娜. 第3章“概率与概率分布”第3.1节“概率基础知识”中“二、概率的计算”部分. Statistics in Plain English [生物统计学]. 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 4. 中国北京东黄城根北街16号: 科学出版社. 2008: 26. ISBN 978-7-03-021573-4 (中文(中国大陆)). 
  3. 李贤平. 第1章“事件与概率”第1.2节“样本空间与事件”中“三、事件的运算”部分. (编) 李蕊 (策划编辑); 杨帆 (责任编辑). 概率论基础. 普通高等教育“十一五”国家级规划教材. 王超 (责任校对) 3. 中国北京市崇西城区德外大街4号: 高等教育出版社. 2010: 12–16. ISBN 978-7-04-028890-2 (中文(中国大陆)). 
  4. 4.0 4.1 William Feller. 第1章“样本空间”第1.7节“基本定义和规则”. (编) 王丽萍. 概率论及其应用. 图灵数学·统计学丛书 1. 胡迪鹤 (汉译者) 1 (原书第3版). 中国北京市崇文区夕照寺街14号: 人民邮电出版社. 2006: 17–19. ISBN 978-7-115-14729-5 (中文(中国大陆)). 
  5. 李贤平. 第1章“事件与概率”第1.5节“概率空间”中“三、概率”部分. (编) 李蕊 (策划编辑); 杨帆 (责任编辑). 概率论基础. 普通高等教育“十一五”国家级规划教材. 王超 (责任校对) 3. 中国北京市崇西城区德外大街4号: 高等教育出版社. 2010: 49. ISBN 978-7-04-028890-2 (中文(中国大陆)). 
  6. 张淑梅 (本册主编); 李建华; 宋莉莉(作者+责任编辑); 杨照宇; 左怀玲; 章建跃; 李勇. 第3章“概率”第3.1节“随机事件的概率”第3.1.3小节“概率的基本性质”. (编) 刘绍学 (主编); 钱珮玲 (副主编). 高中数学 (A版) 必修3 1. 中国北京市沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 112–114. ISBN 7-107-17707-9 (中文(中国大陆)). 
  7. A. G. Kolmogorov. 第1章“Elementary Theory of Probability”第1节“Axioms”. Foundations of the Theory of Probability. Nathan Morrison (英译者). 美国纽约市: Chelsea Publishing Company. 1956: 3 (英语). 
  8. 8.0 8.1 李贤平. 第1章“事件与概率”第1.5节“概率空间”中“三、概率”部分和“四、可数可加性与连续性”部分. (编) 李蕊 (策划编辑); 杨帆 (责任编辑). 概率论基础. 普通高等教育“十一五”国家级规划教材. 王超 (责任校对) 3. 中国北京市崇西城区德外大街4号: 高等教育出版社. 2010: 47–53. ISBN 978-7-04-028890-2 (中文(中国大陆)). 
  9. 王梓坤. 第1章“事件与概率”第1.3节“概率空间”中“(一)概率的公理化定义”部分. (编) 岳昌庆 (责任编辑); 李菡 (责任校对). 概率论基础及其应用. 新世纪高等学校教材·数学及应用数学专业主干课程系列教材. 赖德胜 (出版人) 3. 中国北京市新街口外大街19号: 北京师范大学出版社. 2007: 19–21. ISBN 978-7-303-03632-5 (中文(中国大陆)). 
  10. 人民教育出版社中学数学室. 第11章“概率”第11.3节“相互独立事件同时发生的概率”中“1.相互独立事件及其同时发生的概率”部分. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修). 第2册 (下B) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 137–140. ISBN 7-107-17987-X (中文(中国大陆)). 
  11. William Feller. 第2章“组合分析概要”第2.3节“例子”. (编) 王丽萍. 概率论及其应用. 图灵数学·统计学丛书 1. 胡迪鹤 (汉译者) 1 (原书第3版). 中国北京市崇文区夕照寺街14号: 人民邮电出版社. 2006: 26. ISBN 978-7-115-14729-5 (中文(中国大陆)). 
  12. 12.0 12.1 人民教育出版社中学数学室. 第11章“概率”第11.3节“相互独立事件同时发生的概率”中“2.重复独立试验”部分. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修). 第2册 (下B) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 140–142. ISBN 7-107-17987-X (中文(中国大陆)). 
  13. William Feller. 第6章“二项分布与泊松分布”第6.1节“伯努利试验序列”. (编) 王丽萍. 概率论及其应用. 图灵数学·统计学丛书 1. 胡迪鹤 (汉译者) 1 (原书第3版). 中国北京市崇文区夕照寺街14号: 人民邮电出版社. 2006: 112–113. ISBN 978-7-115-14729-5 (中文(中国大陆)). 

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