高中數學/機率與統計/互斥事件與獨立事件

閱讀指南

基礎知識

互斥事件

不可能同時發生的事件叫做彼此互斥的事件，簡稱為互斥事件（mutually exclusive events或exclusive events）或不相交事件（disjoint events）。

二者之一一定會發生，但不會同時發生的一對事件叫做對立事件或互補事件（complementary events）。

彼此之間兩兩互質又構成全集的兩個或多個事件合稱為完全事件系（complete event system）或協同窮竭事件（collectively exhaustive events）。

由以上定義可知：

• 對立事件是特殊的互斥事件。
• 互斥事件不一定必須會有其一發生。
• 對立事件A和B的並一定構成全集，交一定構成空集，機率一定滿足P(A) + P(B) = 1。
• 完全事件系可以視為對立性和互斥性的概念結合品。

提出事件互斥性的概念主要還是因為機率的計算有關，特別是互斥事件發生的機率計算格外簡單。

首先，根據容斥原理和上一節的知識，給定任意2個事件，我們有：
$P(E_{1}\cup E_{2})=P(E_{1})+P(E_{2})-P(E_{1}\cap E_{2})$
如果$E_{1}$與$E_{1}$互斥，那麼它們不可能同時發生，即$P(E_{1}\cap E_{2})=0$。
這就是說此時有$P(E_{1}\cup E_{2})=P(E_{1})+P(E_{2})-P(E_{1}\cap E_{2})=P(E_{1})+P(E_{2})-0=P(E_{1})+P(E_{2})$。

喬治·布爾（George Boole，1815年－1864年）是英國的早期數理邏輯學家。他發現了集合運算與邏輯運算之間的對應關係，相關成果被後人命名為布爾代數。他因冒雨為學生上課而患病，不久後因當時醫療條件差以及錯誤施救而身亡。他的後人中有很多的理工科學者，例如四維空間研究者艾莉西亞·司多特（Alicia Boole Stott）、旅居中國大陸的核物理學家寒春和「深度學習之父」、2018年圖靈獎得主傑弗里·辛頓。

一般來說（即事件之間不一定滿足互斥性時），有英國數理邏輯學家喬治·布爾提出的下列布爾不等式（Boole's inequality）成立：

$P(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots \cup E_{n})\leq P(E_{1})+P(E_{2})+\cdots +P(E_{n})$

而一組（兩兩之間）互斥的事件$E_{1},E_{2},...,E_{n}$的機率計算滿足以下可加性定理：

$P(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots \cup E_{n})=P(E_{1})+P(E_{2})+\cdots +P(E_{n})$

特別地，2個獨立事件A和B的機率計算滿足：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

提示：有的高中教科書直接將$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$作為計算互斥事件機率的定義，有的只會通過實例簡單地說明其合理性，蘇俄大數學家安德雷·柯爾莫哥洛夫更是曾經在機率論簡明讀物中將其列為他給出的五大機率公理之一。目前更一般的做法是直接對無窮個互斥事件的並定義加法公理，因為這種定義可以自然退化到有限個互斥事件的情形，但是反過來從有限個推廣到無限個事件的情形則幾乎不可能做到。

由於事件的運算與集合的運算有關係，也滿足德摩根定律和容斥原理。所以有時候事件機率的直接計算不方便時，可以轉換為對立情形的討論。

同時發生的獨立事件

彼此的發生並不相互影響的事件稱為相對獨立事件（mutually independent events）或簡稱為獨立事件。彼此的發生一定有影響的一組事件稱為相關事件。

由以上定義可知：

• 獨立事件和相關事件必居其一。
• 互斥事件屬於相關事件。

獨立事件可以視為是按照一定順序先後發生的。並且由於事件之間的相互獨立性，彼此的發生機率沒有相互影響，所以事件的安排順序其實對結果沒有影響。這樣一來，獨立事件的機率計算可以利用上計數原理中的分步乘法原理。基於分步乘法原理的排列模型和組合模型也都可以根據情況使用。

注意：事件的互斥性對應的是機率的加法，事件的獨立性對應的是機率的乘法。千萬不要搞混了。

相關例題： (生日問題) 對23個人來說，至少有2人在同一天過生日的機率超過50%。這一結論看似難以置信，試說明其由來。

重複發生的獨立試驗

在n次獨立重複試驗（independent and repeated trials）中，事件的發生機率需要用到組合數符號表達。與先前一樣，本節中用到的組合數符號$\mathrm {C} _{n}^{k}$是沿襲自蘇俄的符號習慣，表示從n個元素中取出k個元素的取法數；如果換成歐美常見的符號，應該改寫為${\tbinom {n}{k}}$。

在n次獨立重複試驗中，如果事件A在其中每次試驗中發生的機率都是p，那麼在n次獨立重複試驗中這個事件恰好發生k次的機率$P_{n}(k)$為：

$P_{n}(k)=\mathrm {C} _{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

如果讀者已經熟悉牛頓的二項式定理，可以發現這個公式其實就是二項式定理的系數，其推導思路也與二項式定理一致。我們之後學習二項分佈的概念時，還會用到這個公式描述二項分佈。

相關例題： 心理學研究者卡爾·馬爾比（Karl Marbe，1869年－1953年）相信在擲硬幣的試驗中連續出現17次的「正面」後，下次出現「反面」出現的可能性要更大。試說明其觀點中存在的問題。

補充習題

外部連結

維基百科中的相關條目：

布爾不等式

維基百科中的相關條目：

互斥