高中数学/概率与统计/条件概率及其相关公式

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阅读指南[编辑]

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Crystal Clear app error 注意:与先前一样,本节中用到的组合数符号是沿袭自苏俄的符号习惯,表示从n个元素中取出k个元素的取法数;如果换成欧美常见的符号,应该改写为

预备知识[编辑]

考试要求[编辑]

后续课程联系[编辑]

基础知识[编辑]

知识引入[编辑]

Crystal Clear action edit 思考:抛2枚硬币,有一个是正面,那么另一个是反面的概率是多少?另一个常见的同类问题为:一户人家有2个孩子,一个是男孩,另一个是女孩的概率是多少?(答案:都是。)

条件概率[编辑]

设A、B为2个事件,且P(A) > 0,我们将P(AB)与P(A)的比值叫做“在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率conditional probability)”,记作P(B|A),读作“A发生的条件下B发生的概率”。也即[1]

Crystal Project Warehause 关于条件概率,有以下结论成立[1]

  • 对任意事件A、B,有
  • 如果B和C是2个互斥事件,则有

全概率公式与贝叶斯定理[编辑]

Crystal Project Warehause 全概率公式formula of total probability)是指如果是两两互斥的事件,且它们的事件之并构成基本事件的全集,A是任意事件,则有[2]

一般来说,事件A在事件B已发生的条件下发生的概率,与事件B在事件A已发生的条件下发生的概率是不一样的,但我们有如下的常用定理描述它们之间的固定数量关系:

托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes,约1702年-1761年)的公式非常著名,导致了后世贝叶斯学派的出现。不过贝叶斯本人在世期间没有发表过任何数学成果。他的哲学家兼数学家朋友理查德·普瑞斯(Richard Price)在他去世后才将贝叶斯公式发表于《皇家学会哲学通讯》(Philosophical Transactions of the Royal Society of London)。

Crystal Project Warehause 以英国数学家托马斯·贝叶斯命名的贝叶斯定理Bayes' theorem[3]或称贝叶斯公式[4]指出:

Crystal Clear action edit 相关例题: 求证条件概率的链式法则(chain rule):

(如果熟悉数学归纳法,可以尝试证明此公式包含n个事件的一般情形。)

补充习题[编辑]

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参考资料[编辑]

  1. 1.0 1.1 李勇 (本册主编); 章建跃(作者+责任编辑); 白涛; 张淑梅. 第2章“随机变量及其分布”第2.2节“二项分布及其应用”第2.2.1小节“条件概率”. (编) 刘绍学 (主编); 钱珮玲 (副主编); 张唯一 (责任编辑). 高中数学 (A版) 选修2-3 2. 中国北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼: 人民教育出版社. 2006: 51–54. ISBN 978-7-107-20171-4 (中文(中国大陆)). 
  2. 李贤平. 第2章“条件概率与统计独立性”第2.1节“条件概率、全概率公式,贝叶斯公式”中“二、全概率公式”部分. (编) 李蕊 (策划编辑); 杨帆 (责任编辑). 概率论基础. 普通高等教育“十一五”国家级规划教材. 王超 (责任校对) 3. 中国北京市崇西城区德外大街4号: 高等教育出版社. 2010: 66–68. ISBN 978-7-04-028890-2 (中文(中国大陆)). 
  3. 李贤平. 第2章“条件概率与统计独立性”第2.1节“条件概率、全概率公式,贝叶斯公式”中“三、贝叶斯(Bayes)公式”部分. (编) 李蕊 (策划编辑); 杨帆 (责任编辑). 概率论基础. 普通高等教育“十一五”国家级规划教材. 王超 (责任校对) 3. 中国北京市崇西城区德外大街4号: 高等教育出版社. 2010: 69–72. ISBN 978-7-04-028890-2 (中文(中国大陆)). 
  4. 盛骤; 谢式千; 潘承毅. 第1章“概率论的基本概念”第1.5节“条件概率”中“(三)全概率公式和贝叶斯公式”部分. (编) 李蕊 (策划编辑); 蒋青 (责任编辑); 朱惠芳 (责任校对). 概率论与数理统计 4. 中国北京西城区德外大街4号: 高等教育出版社. 2008: 17–20. ISBN 978-7-04-023896-9 (中文(中国大陆)). 

外部链接[编辑]

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