高中数学/概率与统计/条件概率及其相关公式

阅读指南

注意：与先前一样，本节中用到的组合数符号$\mathrm {C} _{n}^{k}$是沿袭自苏俄的符号习惯，表示从n个元素中取出k个元素的取法数；如果换成欧美常见的符号，应该改写为${\tbinom {n}{k}}$。

基础知识

知识引入

思考：抛2枚硬币，有一个是正面，那么另一个是反面的概率是多少？另一个常见的同类问题为：一户人家有2个孩子，一个是男孩，另一个是女孩的概率是多少？（答案：都是${\frac {1}{4}}$。）

条件概率

设A、B为2个事件，且P(A) > 0，我们将P(AB)与P(A)的比值叫做“在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率（conditional probability）”，记作P(B|A)，读作“A发生的条件下B发生的概率”。也即$P(B|A):={\frac {P(AB)}{P(A)}}$。

关于条件概率，有以下结论成立：

• 对任意事件A、B，有$0\leq P(B|A)\leq 1$。
• 如果B和C是2个互斥事件，则有$P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)$。

全概率公式与贝叶斯定理

全概率公式（formula of total probability）是指如果$E_{1},E_{2},\cdots ,E_{n},\cdots$是两两互斥的事件，且它们的事件之并构成基本事件的全集，A是任意事件，则有：

$P(A)=P(A|E_{1})+P(A|E_{2})+\cdots +P(A|E_{n})+\cdots$

一般来说，事件A在事件B已发生的条件下发生的概率，与事件B在事件A已发生的条件下发生的概率是不一样的，但我们有如下的常用定理描述它们之间的固定数量关系：

托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes，约1702年－1761年）的公式非常著名，导致了后世贝叶斯学派的出现。不过贝叶斯本人在世期间没有发表过任何数学成果。他的哲学家兼数学家朋友理查德·普瑞斯（Richard Price）在他去世后才将贝叶斯公式发表于《皇家学会哲学通讯》（Philosophical Transactions of the Royal Society of London）。

以英国数学家托马斯·贝叶斯命名的贝叶斯定理（Bayes' theorem）或称贝叶斯公式指出：

$P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}$

相关例题： 求证条件概率的链式法则（chain rule）：

${\begin{array}{l}\mathrm {P} (E_{1}\cap E_{2}\cap E_{3}\cap E_{4})&=\mathrm {P} (E_{1}\mid E_{2}\cap E_{3}\cap E_{4})\cdot \mathrm {P} (E_{2}\cap E_{3}\cap E_{4})\\&=\mathrm {P} (E_{1}\mid E_{2}\cap E_{3}\cap E_{4})\cdot \mathrm {P} (E_{2}\mid E_{3}\cap E_{4})\cdot \mathrm {P} (E_{3}\cap E_{4})\\&=\mathrm {P} (E_{1}\mid E_{2}\cap E_{3}\cap E_{4})\cdot \mathrm {P} (E_{2}\mid E_{3}\cap E_{4})\cdot \mathrm {P} (E_{3}\mid E_{4})\cdot \mathrm {P} (E_{4})\end{array}}$

（如果熟悉数学归纳法，可以尝试证明此公式包含n个事件的一般情形。）

补充习题

外部链接

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条件概率

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全概率公式

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贝叶斯公式