高中數學/機率與統計/條件機率及其相關公式

閱讀指南

注意：與先前一樣，本節中用到的組合數符號$\mathrm {C} _{n}^{k}$是沿襲自蘇俄的符號習慣，表示從n個元素中取出k個元素的取法數；如果換成歐美常見的符號，應該改寫為${\tbinom {n}{k}}$。

基礎知識

知識引入

思考：拋2枚硬幣，有一個是正面，那麼另一個是反面的機率是多少？另一個常見的同類問題為：一戶人家有2個孩子，一個是男孩，另一個是女孩的機率是多少？（答案：都是${\frac {1}{4}}$。）

條件機率

設A、B為2個事件，且P(A) > 0，我們將P(AB)與P(A)的比值叫做「在事件A發生的條件下，事件B發生的條件機率（conditional probability）」，記作P(B|A)，讀作「A發生的條件下B發生的機率」。也即$P(B|A):={\frac {P(AB)}{P(A)}}$。

關於條件機率，有以下結論成立：

• 對任意事件A、B，有$0\leq P(B|A)\leq 1$。
• 如果B和C是2個互斥事件，則有$P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)$。

全機率公式與貝葉斯定理

全機率公式（formula of total probability）是指如果$E_{1},E_{2},\cdots ,E_{n},\cdots$是兩兩互斥的事件，且它們的事件之並構成基本事件的全集，A是任意事件，則有：

$P(A)=P(A|E_{1})+P(A|E_{2})+\cdots +P(A|E_{n})+\cdots$

一般來說，事件A在事件B已發生的條件下發生的機率，與事件B在事件A已發生的條件下發生的機率是不一樣的，但我們有如下的常用定理描述它們之間的固定數量關係：

托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes，約1702年－1761年）的公式非常著名，導致了後世貝葉斯學派的出現。不過貝葉斯本人在世期間沒有發表過任何數學成果。他的哲學家兼數學家朋友理查德·普瑞斯（Richard Price）在他去世後才將貝葉斯公式發表於《皇家學會哲學通訊》（Philosophical Transactions of the Royal Society of London）。

以英國數學家托馬斯·貝葉斯命名的貝葉斯定理（Bayes' theorem）或稱貝葉斯公式指出：

$P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}$

相關例題： 求證條件機率的鏈式法則（chain rule）：

${\begin{array}{l}\mathrm {P} (E_{1}\cap E_{2}\cap E_{3}\cap E_{4})&=\mathrm {P} (E_{1}\mid E_{2}\cap E_{3}\cap E_{4})\cdot \mathrm {P} (E_{2}\cap E_{3}\cap E_{4})\\&=\mathrm {P} (E_{1}\mid E_{2}\cap E_{3}\cap E_{4})\cdot \mathrm {P} (E_{2}\mid E_{3}\cap E_{4})\cdot \mathrm {P} (E_{3}\cap E_{4})\\&=\mathrm {P} (E_{1}\mid E_{2}\cap E_{3}\cap E_{4})\cdot \mathrm {P} (E_{2}\mid E_{3}\cap E_{4})\cdot \mathrm {P} (E_{3}\mid E_{4})\cdot \mathrm {P} (E_{4})\end{array}}$

（如果熟悉數學歸納法，可以嘗試證明此公式包含n個事件的一般情形。）

補充習題

外部連結

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條件機率

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全機率公式

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貝葉斯公式