高中數學/機率與統計/條件機率及其相關公式

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閱讀指南[編輯]

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Crystal Clear app error 注意:與先前一樣,本節中用到的組合數符號是沿襲自蘇俄的符號習慣,表示從n個元素中取出k個元素的取法數;如果換成歐美常見的符號,應該改寫為

預備知識[編輯]

考試要求[編輯]

後續課程聯繫[編輯]

基礎知識[編輯]

知識引入[編輯]

Crystal Clear action edit 思考:拋2枚硬幣,有一個是正面,那麼另一個是反面的機率是多少?另一個常見的同類問題為:一戶人家有2個孩子,一個是男孩,另一個是女孩的機率是多少?(答案:都是。)

條件機率[編輯]

設A、B為2個事件,且P(A) > 0,我們將P(AB)與P(A)的比值叫做「在事件A發生的條件下,事件B發生的條件機率conditional probability)」,記作P(B|A),讀作「A發生的條件下B發生的機率」。也即[1]

Crystal Project Warehause 關於條件機率,有以下結論成立[1]

  • 對任意事件A、B,有
  • 如果B和C是2個互斥事件,則有

全機率公式與貝葉斯定理[編輯]

Crystal Project Warehause 全機率公式formula of total probability)是指如果是兩兩互斥的事件,且它們的事件之並構成基本事件的全集,A是任意事件,則有[2]

一般來說,事件A在事件B已發生的條件下發生的機率,與事件B在事件A已發生的條件下發生的機率是不一樣的,但我們有如下的常用定理描述它們之間的固定數量關係:

托馬斯·貝葉斯(Thomas Bayes,約1702年-1761年)的公式非常著名,導致了後世貝葉斯學派的出現。不過貝葉斯本人在世期間沒有發表過任何數學成果。他的哲學家兼數學家朋友理查德·普瑞斯(Richard Price)在他去世後才將貝葉斯公式發表於《皇家學會哲學通訊》(Philosophical Transactions of the Royal Society of London)。

Crystal Project Warehause 以英國數學家托馬斯·貝葉斯命名的貝葉斯定理Bayes' theorem[3]或稱貝葉斯公式[4]指出:

Crystal Clear action edit 相關例題: 求證條件機率的鏈式法則(chain rule):

(如果熟悉數學歸納法,可以嘗試證明此公式包含n個事件的一般情形。)

補充習題[編輯]

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參考資料[編輯]

  1. 1.0 1.1 李勇 (本冊主編); 章建躍(作者+責任編輯); 白濤; 張淑梅. 第2章「隨機變量及其分布」第2.2節「二項分布及其應用」第2.2.1小節「條件概率」. (編) 劉紹學 (主編); 錢珮玲 (副主編); 張唯一 (責任編輯). 高中數學 (A版) 選修2-3 2. 中國北京市海淀區中關村南大街17號院1號樓: 人民教育出版社. 2006: 51–54. ISBN 978-7-107-20171-4 (中文(中國大陸)). 
  2. 李賢平. 第2章「條件概率與統計獨立性」第2.1節「條件概率、全概率公式,貝葉斯公式」中「二、全概率公式」部分. (編) 李蕊 (策劃編輯); 楊帆 (責任編輯). 概率論基礎. 普通高等教育「十一五」國家級規劃教材. 王超 (責任校對) 3. 中國北京市崇西城區德外大街4號: 高等教育出版社. 2010: 66–68. ISBN 978-7-04-028890-2 (中文(中國大陸)). 
  3. 李賢平. 第2章「條件概率與統計獨立性」第2.1節「條件概率、全概率公式,貝葉斯公式」中「三、貝葉斯(Bayes)公式」部分. (編) 李蕊 (策劃編輯); 楊帆 (責任編輯). 概率論基礎. 普通高等教育「十一五」國家級規劃教材. 王超 (責任校對) 3. 中國北京市崇西城區德外大街4號: 高等教育出版社. 2010: 69–72. ISBN 978-7-04-028890-2 (中文(中國大陸)). 
  4. 盛驟; 謝式千; 潘承毅. 第1章「概率論的基本概念」第1.5節「條件概率」中「(三)全概率公式和貝葉斯公式」部分. (編) 李蕊 (策劃編輯); 蔣青 (責任編輯); 朱惠芳 (責任校對). 概率論與數理統計 4. 中國北京西城區德外大街4號: 高等教育出版社. 2008: 17–20. ISBN 978-7-04-023896-9 (中文(中國大陸)). 

外部連結[編輯]

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