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- 基本概念
- 把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合(英语:set),集合常用大写字母表示;集合里的各个对象叫做集合的元素,通常用小写字母表示。
- 集合元素的性质:
-
- 确定性:每一个对象都能确定是不是某一集合的元素,没有确定性就不能成为集合,例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。
- 互异性:集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1,1,2},等同于{1,2}。互异性使集合中的元素是没有重复,两个相同的对象在同一个集合中时,只能算作这个集合的一个元素。
- 无序性:{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。
- 元素与集合的关系:
- 元素与集合的关系有“属于”(
)和“不属于”(
)两种。
- 集合与集合之间的关系:
- 某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
- 含有有限个元素叫有限集;
- 含有无限个元素叫无限集;
- 不含任何元素的集叫“空集”,记做“
”,
- 空集是任何集合的子集,
- 空集是任何非空集的真子集;
- 任何集合是它本身的子集
- 子集,真子集都具有传递性。
- 集合的表示方法
- 集合常用大写拉丁字母来表示,如:A,B,C…集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示,如:a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字,没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的,例如:
的形式。等号左边是大写的拉丁字母,右边花括号括起来的,括号内部是具有某种 共同性质的数学元素。
- 有多种方法表示集合,其中常用的有列举法和描述法:
- 列举法:常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1,2,3,……}
- 描述法:常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。
(
为该集合的元素的一般形式,
为这个集合的元素的共同属性)如:小于
的正实数组成的集合表示为:![{\displaystyle \{x|0<x<\pi \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb68fcb440756c642256e2ef9434125477e31fc0)
- 图式法(Venn图):为了形象表示集合,我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈),用它的内部表示一个集合。
- 自然语言
- 特殊集合的表示
-
- 全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作
![{\displaystyle \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed)
- 非负整数集内排除0的集,也称正整数集,记作
或![{\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {*} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b029f16efd9832dd98d2284645540292c4238b)
- 全体整数的集合通常称作整数集,记作
![{\displaystyle \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc)
- 全体有理数的集合通常简称有理数集,记作
![{\displaystyle \mathbb {Q} =\{{\frac {p}{q}}|p\in Z,q\in N,{\text{且 }}\,p,q\,{\text{互 質 }}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b47d171f9dc57352eac3fc48d9b00a442085a1)
- 全体实数的集合通常简称实数集,记作
![{\displaystyle \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
- 复数集合记作
![{\displaystyle \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
- 集合的三种运算法则
-
- 并集:以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集),记作
(或
),读作“A并B”(或“B并A”),即![{\displaystyle A\cup B=\{x|x\in A,{\text{或 }}\,x\in B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca4af7cb3d567cac405200ca8937e8efcc27a4c5)
- 交集:以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集),记作
(或
),读作“A交B”(或“B交A”),即![{\displaystyle A\cap B=\{x|x\in A,{\text{且 }}\,x\in B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25574425454576fa7f935b8625616a71dfb85839)
- 补集:是从差集中引出的概念,指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集,记作
,即![{\displaystyle C_{U}A=\{x|x\in U,{\text{且 }}\,x{\text{不 属 于 }}\,A\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274a371283073db1ad7baf11e64f04527d7904fc)
- 在研究集合时,会遇到有关集合中的元素个数问题,我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如
,则card(A)=3
- card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
- card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)
- 集合吸收律:
![{\displaystyle A\cup (A\cap B)=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0dae78850c5e93789cea0dc6796f98e748ef69f)
![{\displaystyle A\cap (A\cup B)=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2cf46f728500a3dd203690e54bc0b021a32047)
- 集合求补律:
![{\displaystyle A\cup C_{U}A=U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ef525543bd050e03ccec17fa206fcfb973969f)
![{\displaystyle A\cap C_{U}A=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1f4db71461060cc6842aa90bc9061e49c70d54)
- 设A为集合,把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集
- 德摩根律
![{\displaystyle A-(B\cup C)=(A-B)\cap (A-C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c51c11a854b81fa8b6f0e5e4189c4608b717ae06)
![{\displaystyle A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3974d29b62e43272d36a4891f09af3945b7fc0)
![{\displaystyle C_{U}(B\cup C)=C_{U}B\cap C_{U}C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c887b3adc7724ac56abd86521623673a7a7a2)
![{\displaystyle C_{U}(B\cap C)=C_{U}B\cup C_{U}C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c965eb1b33a196358faaf448385a8ce877f420b)
![{\displaystyle \sim \varnothing =E\sim E=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfbe51642b293e535286a256c9da637eb549c5b6)