高中数学/预备知识/集合

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集合[编辑]

基本概念
把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合,集合常用大写字母表示;集合里的各个对象叫做集合的元素,通常用小写字母表示。
集合元素的性质:
  1. 确定性:每一个对象都能确定是不是某一集合的元素,没有确定性就不能成为集合,例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。
  2. 互异性:集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1,1,2},等同于{1,2}。互异性使集合中的元素是没有重复,两个相同的对象在同一个集合中时,只能算作这个集合的一个元素。
  3. 无序性:{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。


相互关系[编辑]

元素与集合的关系:
元素与集合的关系有“属于”(∈)和“不属于”(∉)两种。
集合与集合之间的关系:
某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
  • 含有有限个元素叫有限集;
  • 含有无限个元素叫无限集;
  • 不含任何元素的集叫“空集”,记做“Φ”,
    空集是任何集合的子集,
    空集是任何非空集的真子集;
  • 任何集合是它本身的子集
  • 子集,真子集都具有传递性。

集合的表示[编辑]

集合的表示方法
集合常用大写拉丁字母来表示,如:A,B,C…集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示,如:a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字,没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的,例如:A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母,右边花括号括起来的,括号内部是具有某种 共同性质的数学元素。
有多种方法表示集合,其中常用的有列举法和描述法:
  1. 列举法:常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1,2,3,……}
  2. 描述法:常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集 合的元素的一般形式,P为这个集合的元素的共同属性)如:小于π的正实数组成的集合表示为:{x|0<x<π}
  3. 图式法(Venn图):为了形象表示集合,我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈),用它的内部表示一个集合。
  4. 自然语言
特殊集合的表示
  1. 全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作
  2. 非负整数集内排除0的集,也称正整数集,记作
  3. 全体整数的集合通常称作整数集,记作
  4. 全体有理数的集合通常简称有理数集,记作
    ={|p∈Z,q∈N,且p,q互质}
  5. 全体实数的集合通常简称实数集,记作
  6. 复数集合记作

运算与法则[编辑]

集合的三种运算法则
  • 并集:以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集),记作A∪B(或B∪A),读作“A并B”(或“B并A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
  • 交集:以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集),记作A∩B(或B∩A),读作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}
  • 补集:是从差集中引出的概念,指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集,记作CuA,即CuA={x|x∈U,且x不属于A}
  • 在研究集合时,会遇到有关集合中的元素个数问题,我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a,b,c},则card(A)=3
    • card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
    • card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)
  • 集合吸收律:
    A∪(A∩B)=A
    A∩(A∪B)=A
  • 集合求补律:
    A∪CuA=U
    A∩CuA=Φ
  • 设A为集合,把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集
    德摩根律 A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)
    A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)
    Cu(BUC)=CuB∩CuC
    Cu(B∩C)=CuB∪CuC
    ~Φ=E ~E=Φ