高中数学/预备知识/集合

集合

集合元素的性质：

确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。
互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。
无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。

集合与集合之间的关系：

某些指定的对象集在一起就成为一个集合。

集合的表示方法

集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：

A=\{\ldots \}

的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。

有多种方法表示集合，其中常用的有列举法和描述法：

列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}
描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。 $\{x|P\}$ （ $x$ 为该集合的元素的一般形式， $P$ 为这个集合的元素的共同属性）如：小于 $\pi$ 的正实数组成的集合表示为： $\{x|0<x<\pi \}$
图式法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。
自然语言

特殊集合的表示

全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作 $\mathbb {N}$
非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作 $\mathbb {N} _{\mathbb {+} }$ 或 $\mathbb {N} ^{\mathbb {*} }$
全体整数的集合通常称作整数集，记作 $\mathbb {Z}$
全体有理数的集合通常简称有理数集，记作 $\mathbb {Q}$
$\mathbb {Q} =\{{\frac {p}{q}}|p\in Z,q\in N,{\text{且 }}\,p,q\,{\text{互質 }}\}$
全体实数的集合通常简称实数集，记作 $\mathbb {R}$
复数集合记作 $\mathbb {C}$

集合的三种运算法则

并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作 $A\cup B$ （或 $B\cup A$ ），读作“A并B”（或“B并A”），即 $A\cup B=\{x|x\in A,{\text{或 }}\,x\in B\}$
交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作 $A\cap B$ （或 $B\cap A$ ），读作“A交B”（或“B交A”），即 $A\cap B=\{x|x\in A,{\text{且 }}\,x\in B\}$
补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作 $C_{U}A$ ，即 $C_{U}A=\{x|x\in U,{\text{且 }}\,x{\text{不属于 }}\,A\}$

在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如 $A=\{a,b,c\}$ $A=\{a,b,c\}$ ，则card(A)=3
- card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
- card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)
集合吸收律：
$A\cup (A\cap B)=A$

$A\cap (A\cup B)=A$
集合求补律：
$A\cup C_{U}A=U$

$A\cap C_{U}A=\varnothing$
设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集
德摩根律 $A-(B\cup C)=(A-B)\cap (A-C)$

$A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)$

$C_{U}(B\cup C)=C_{U}B\cap C_{U}C$

$C_{U}(B\cap C)=C_{U}B\cup C_{U}C$

$\sim \varnothing =E\sim E=\varnothing$