高中物理/力與運動/动量与冲量

动量与动量定理

动量

牛顿第二定律给出了物体在每一时刻的加速度与它所受外力的关系，如果能够知道外力的具体表达式，我们原则上就可以解决任何力学问题。然而在一些实际问题中，如物体的碰撞、炮弹的发射等过程，我们很难知道力的具体表达式。事实上，在牛顿定律建立之前，伽利略、笛卡尔、惠更斯等人就曾先后研究过碰撞和打击等现象，并引入了动量的概念，提出了动量守恒的思想，他们的这种研究无疑对牛顿力学的建立产生了积极的印象。

众多的实验都证明在$A$、$B$两个物体相互碰撞时，有$m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}=m_{A}v_{A}'+m_{B}v_{B}'$总是成立，即质量与速度的乘积的矢量和在所有这些碰撞中保持不变或者说守恒。由此可见，质量与速度的乘积有重要的意义，因而人们给它一个单独的名称，牛顿时代称之为“运动的量”，现在我们则称为动量（Momentum）。动量常用符号$p$表示，即

$p=mv$。

在国际单位制中，动量的单位是千克·米/秒，符号是${\text{kg·m/s}}$。

最先提出动量具体守恒性思想的是法国科学家笛卡尔（R. Descartes, 1596-1650）。他继承了伽利略的说法，把物体的大小（质量）与速率的乘积叫做动量，并认为它是量度运动的位移正确的物理量。然而，笛卡尔忽略了动量的方向性。尽管如此，他的工作还是给后来人的继续探索打下了很好的基础。

1668年，惠更斯发表了一篇名为《关于碰撞对物体运动的影响》的论文，总结了他对碰撞问题的实验和理论研究。结论是：“每个物体所具有的的‘动量’在碰撞时可以增多或减少，但是它们的量值在同一个方向的总和却保持不变，如果减去反方向运动的话。”他在这里明确指出了动量的方向性和守恒性，可以认为是动量守恒关系的最初表述。

牛顿把笛卡尔的定义做了修改，既不用质量与速率的乘积，而明确地用质量与速度的乘积定义动量。这样就可以更清楚地表述动量的方向性及其守恒关系。

冲量动量定理

当物体收到外力作用时，外力与物体动量的变化有什么关系呢？为了简化问题，我们先来研究恒力$F$作用在质量为$m$的物体上的情况。设在初始时刻$t_{0}$物体的速度为$v_{0}$，在末时刻$t$物体的速度为$v_{t}$，根据牛顿第二定律，有

$F=ma=m{\dfrac {v_{t}-v_{0}}{t-t_{0}}}$，

这个式子可改写为

$F(t-t_{0})=m(v_{t}-v_{0})=mv_{t}-mv_{0}$。

这个式子告诉我们，要使得物体动量发生变化，需要力在时间上的积累。物理上用物体所受的力与力的作用时间的乘积来描述力在时间上的积累效应，称为力的冲量（Impulse），并用字母$I$表示，即

${\vec {I}}={\vec {F}}\Delta t$。

冲量是一个矢量，它的方向就是力的方向，单位是牛·秒，符号为${\text{N·s}}$。实际上冲量的单位和动量的单位是相同的：$1N\cdot s=1kg\cdot m\cdot s^{-2}\cdot s=1kg\cdot m\cdot s^{-1}$

如果用$p,p'$分别来表示初、末，那么冲量和动量之间的关系可写作：

${\vec {I}}={\vec {p'}}-{\vec {p}}$

上式表示物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量。这个关系叫做动量定理（Theorem of momentum）。

在动量定理的上述推导中，我们假定理论是恒定的。实际上，物体所受的力通常不是恒定的。用球棒打击垒球，用铁锤钉钉子，垒球和钉子所受的作用力就不是恒定的。可以证明，动量定理不但使用与恒力，也适用于随时间而变化的便利。对于变力的情况，动量定理中的$F$应理解为变力在作用时间内的平均值。

同时，冲量和功有一个共同点，在变力$F-t,F-s$图像中，冲量、功的大小都是$F$曲线和横轴围成的面积（有正负）。

经典模型——水柱模型

人们都有这样的生活经验，当他承受自来水管中喷出的水柱时，会感受到一个附加的推力。高压水龙头喷射的水流甚至能穿透建筑物的墙壁。水流的推力是由水传递给你的动量引起的。如果把水流想象成一系列质量为$m$的均匀小水柱以速度$v_{0}$飞行的话，其原理是很容易理解的。

设水柱之间距离为$l$，并想象水流作为一个一个水柱对准你的手飞来，并假设水柱碰到手后不会弹回，只是简单地顺着手臂流淌下去。考虑手作用在水流上的力。当一颗水柱打到手上时，你会感到一个瞬时的力。这个瞬时力量虽不知，但可求得手给予水柱的冲量$I$为

$I_{\text{水柱}}=m(v_{f}-v_{0})=-mv_{0}$

其中$v_{f}$为水柱末速度。这里把$v_{0}$方向作为正方向。水柱给予手的冲量大小相等而方向相反，即

$I_{\text{手}}=mv_{0}$

其符号为正，即作用在手上的冲量与水柱速度方向相同。

如果每秒内有许多次碰撞，你的感觉就不是每个水柱的撞击，一个平均力${\overline {F}}$。在一个碰撞周期$T$（两次碰撞之间的时间）内，${\overline {F}}$线下面的面积是和一个水柱的冲量相等。利用

$T={\dfrac {1}{v_{0}}},I_{\text{手}}=mv_{0}$

得

${\overline {F}}\cdot T=mv_{0}$

即

${\overline {F}}={\dfrac {mv_{0}}{T}}={\dfrac {m}{l}}v_{0}^{2}$

为了对质量连续分布的流体应用这个模型，考虑以速率$v$运动的水流。若单位长度内的质量为$\lambda =m/l$，则单位长度的动量是$\lambda v$，在$\Delta t$时间内达墙壁面的总动量为

$\Delta p=\lambda \Delta v\cdot v\Delta t=\lambda v\cdot v\Delta t$

得水流单位时间内向墙壁面传递的动量为

${\dfrac {\Delta p}{\Delta t}}=\lambda v^{2}$

若水流碰到墙壁便静止，则作用在墙壁上的力为$F=\lambda v^{2}$

若水流碰到墙壁后，以$v'$速度反弹回去，那么只要把$\Delta p=\lambda \Delta v\cdot v\Delta t$中的$\Delta v$用$v+v'$代换即可。得

$F=\lambda (v+v')$

若水流碰壁后完全反弹，则$F=2\lambda v^{2}$。