高中物理/力與運動/動量與衝量

動量與動量定理

動量

牛頓第二定律給出了物體在每一時刻的加速度與它所受外力的關係，如果能夠知道外力的具體表達式，我們原則上就可以解決任何力學問題。然而在一些實際問題中，如物體的碰撞、炮彈的發射等過程，我們很難知道力的具體表達式。事實上，在牛頓定律建立之前，伽利略、笛卡爾、惠更斯等人就曾先後研究過碰撞和打擊等現象，並引入了動量的概念，提出了動量守恆的思想，他們的這種研究無疑對牛頓力學的建立產生了積極的印象。

眾多的實驗都證明在$A$、$B$兩個物體相互碰撞時，有$m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}=m_{A}v_{A}'+m_{B}v_{B}'$總是成立，即質量與速度的乘積的向量和在所有這些碰撞中保持不變或者說守恆。由此可見，質量與速度的乘積有重要的意義，因而人們給它一個單獨的名稱，牛頓時代稱之為「運動的量」，現在我們則稱為動量（Momentum）。動量常用符號$p$表示，即

$p=mv$。

在國際單位制中，動量的單位是千克·米/秒，符號是${\text{kg·m/s}}$。

最先提出動量具體守恆性思想的是法國科學家笛卡爾（R. Descartes, 1596-1650）。他繼承了伽利略的說法，把物體的大小（質量）與速率的乘積叫做動量，並認為它是量度運動的位移正確的物理量。然而，笛卡爾忽略了動量的方向性。儘管如此，他的工作還是給後來人的繼續探索打下了很好的基礎。

1668年，惠更斯發表了一篇名為《關於碰撞對物體運動的影響》的論文，總結了他對碰撞問題的實驗和理論研究。結論是：「每個物體所具有的的『動量』在碰撞時可以增多或減少，但是它們的量值在同一個方向的總和卻保持不變，如果減去反方向運動的話。」他在這裡明確指出了動量的方向性和守恆性，可以認為是動量守恆關係的最初表述。

牛頓把笛卡爾的定義做了修改，既不用質量與速率的乘積，而明確地用質量與速度的乘積定義動量。這樣就可以更清楚地表述動量的方向性及其守恆關係。

衝量動量定理

當物體收到外力作用時，外力與物體動量的變化有什麼關係呢？為了簡化問題，我們先來研究恆力$F$作用在質量為$m$的物體上的情況。設在初始時刻$t_{0}$物體的速度為$v_{0}$，在末時刻$t$物體的速度為$v_{t}$，根據牛頓第二定律，有

$F=ma=m{\dfrac {v_{t}-v_{0}}{t-t_{0}}}$，

這個式子可改寫為

$F(t-t_{0})=m(v_{t}-v_{0})=mv_{t}-mv_{0}$。

這個式子告訴我們，要使得物體動量發生變化，需要力在時間上的積累。物理上用物體所受的力與力的作用時間的乘積來描述力在時間上的積累效應，稱為力的衝量（Impulse），並用字母$I$表示，即

${\vec {I}}={\vec {F}}\Delta t$。

衝量是一個向量，它的方向就是力的方向，單位是牛·秒，符號為${\text{N·s}}$。實際上衝量的單位和動量的單位是相同的：$1N\cdot s=1kg\cdot m\cdot s^{-2}\cdot s=1kg\cdot m\cdot s^{-1}$

如果用$p,p'$分別來表示初、末，那麼衝量和動量之間的關係可寫作：

${\vec {I}}={\vec {p'}}-{\vec {p}}$

上式表示物體在一個過程始末的動量變化量等於它在這個過程中所受力的衝量。這個關係叫做動量定理（Theorem of momentum）。

在動量定理的上述推導中，我們假定理論是恆定的。實際上，物體所受的力通常不是恆定的。用球棒打擊壘球，用鐵錘釘釘子，壘球和釘子所受的作用力就不是恆定的。可以證明，動量定理不但使用與恆力，也適用於隨時間而變化的便利。對於變力的情況，動量定理中的$F$應理解為變力在作用時間內的平均值。

同時，衝量和功有一個共同點，在變力$F-t,F-s$圖像中，衝量、功的大小都是$F$曲線和橫軸圍成的面積（有正負）。

經典模型——水柱模型

人們都有這樣的生活經驗，當他承受自來水管中噴出的水柱時，會感受到一個附加的推力。高壓水龍頭噴射的水流甚至能穿透建築物的牆壁。水流的推力是由水傳遞給你的動量引起的。如果把水流想像成一系列質量為$m$的均勻小水柱以速度$v_{0}$飛行的話，其原理是很容易理解的。

設水柱之間距離為$l$，並想像水流作為一個一個水柱對準你的手飛來，並假設水柱碰到手後不會彈回，只是簡單地順著手臂流淌下去。考慮手作用在水流上的力。當一顆水柱打到手上時，你會感到一個瞬時的力。這個瞬時力量雖不知，但可求得手給予水柱的衝量$I$為

$I_{\text{水柱}}=m(v_{f}-v_{0})=-mv_{0}$

其中$v_{f}$為水柱末速度。這裡把$v_{0}$方向作為正方向。水柱給予手的衝量大小相等而方向相反，即

$I_{\text{手}}=mv_{0}$

其符號為正，即作用在手上的衝量與水柱速度方向相同。

如果每秒內有許多次碰撞，你的感覺就不是每個水柱的撞擊，一個平均力${\overline {F}}$。在一個碰撞周期$T$（兩次碰撞之間的時間）內，${\overline {F}}$線下面的面積是和一個水柱的衝量相等。利用

$T={\dfrac {1}{v_{0}}},I_{\text{手}}=mv_{0}$

得

${\overline {F}}\cdot T=mv_{0}$

即

${\overline {F}}={\dfrac {mv_{0}}{T}}={\dfrac {m}{l}}v_{0}^{2}$

為了對質量連續分布的流體應用這個模型，考慮以速率$v$運動的水流。若單位長度內的質量為$\lambda =m/l$，則單位長度的動量是$\lambda v$，在$\Delta t$時間內達牆壁面的總動量為

$\Delta p=\lambda \Delta v\cdot v\Delta t=\lambda v\cdot v\Delta t$

得水流單位時間內向牆壁面傳遞的動量為

${\dfrac {\Delta p}{\Delta t}}=\lambda v^{2}$

若水流碰到牆壁便靜止，則作用在牆壁上的力為$F=\lambda v^{2}$

若水流碰到牆壁後，以$v'$速度反彈回去，那麼只要把$\Delta p=\lambda \Delta v\cdot v\Delta t$中的$\Delta v$用$v+v'$代換即可。得

$F=\lambda (v+v')$

若水流碰壁後完全反彈，則$F=2\lambda v^{2}$。