三角形

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定义[编辑]

不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形(小学-初中);也叫三边形。

两平行线为一线所截(用于证明三角形内角和为180°)[编辑]

图一
  • 对顶角相等,如图一,∠2=∠4、∠6=∠8
  • 同位角相等,∠α=∠βAngle correspondant 2.svg
  • 内错角相等,∠α=∠βAngle alt int 2.svg
  • 同侧内角互补,如图一,∠4+∠5=180°,∠3+∠6=180°
    证明:
    ∵∠5+∠6=180°(平角),∠4=∠6(内错角)
    ∴∠4+∠5=180°。同理∠3+∠6=180°

性质[编辑]

  1. 三角形的两邻边之和大于第三边,三角形的两邻边之差小于第三边。
    如图,△ABC三边为a,b,c
    ∵直线是以两点间最短的距离,∴
    a+b>c,b+c>a,c+a>b 运用移项法则 得到
    c-a<b,c-b<a,a-b<c,
    a-c<b,b-c<a,b-a<b
    Triangle-labels.svg
  2. 三角形三个内角之和等于180°。
    如图,过C作AB的平行线,得EC
    ABEC两平行线,为AC所截
    ∠b=∠e(同位角相等)
    ∠a=∠d(内错角相等)
    ∵∠c+∠e+∠d=180°(平角)∴∠a+∠b+∠c=180°
    得证△ABC三个内角加起来是180°
    Sum-in-a SVG.svg
  3. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。
    设图中的未标示内角为γ'
    ∠α+∠β+∠γ'=180°
    ∠γ+∠γ'=180°(平角)
    180°−∠γ=∠γ'
    ∠α+∠β=∠γ
    Angle of a triangle.svg
  4. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
    ∵△外角等于两远内角之和,全体大于部分,∴外角大于任一远内角。
  5. 三角形的三外角之和是360°。
    ∠α+∠α'=180°
    ∠β+∠β'=180°
    ∠γ+∠γ'=180°
    三式相加得:
    ∠α+∠β+∠γ+∠α'+∠β'+∠γ'=540°
    ∠α+∠β+∠γ=180°
    ∠α'+∠β'+∠γ'=540°−180°=360°
    Triangle-exteriour-angle-theorem-2.svg
  6. 同底等高的两个三角形面积相等。
    ∵△面积=½底×高,∴同底等高的△面积皆相等。如图6 driehoeken.png
  7. 三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
    如图,任一△的中线将原△分为红蓝两个小△,
    ∵红部分与蓝部分之底相同(中线定义),
    高相同(顶点到底边只能作一条垂线),
    ∴红、蓝两部分两个△面积相同。
    Median slicing triangle.svg

全等三角形[编辑]

Cong triangle.png

定义:经过平移、旋转或镜射之后,能够完全重合的两个三角形。

性质:

  1. 对应角相等。
  2. 对应边相等。
  3. 面积相等。
  4. 周长相等。

重合

  1. 角相等则角之两边重合。
  2. 线段等长,则对应之两端点重合,线段也重合。

三角形共有三边与三角,两个三角形各有六个边、角,取三组边或角相等共得到八种情形,可归纳为六种情形(SSA和ASS等价,AAS和SAA等价)。其中四种情形全等:

  1. SAS
  2. RHS
  3. SSS
  4. ASA
  5. AAS

一种情形ASS,又包含:

  • A为直角则两三角形全等,称为RHS
  • A为钝角则两三角形全等,没有特别的名称
  • A为锐角则三角形有两种不同的形状,不会全等

一种情形AAA代表两三角形相似。

相关图库

以下讨论全等条件,并简单证明之:

SAS(边角边)[编辑]

有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

Congruence of triangles SAS.png

已知△ΑΒΓ与△ΔΕΖ,∠Α=∠Δ、ΑΒ=ΔΕΑΓ=ΔΖ

移动△ΔΕΖ使
Α点与Δ点重合,且∠Α与∠Δ两边重合(两角相等使两边重合)
则Β点将与Ε点重合(线段等长两端点重合)
同理Γ点将与Ζ点重合(线段等长两端点重合)
∴两△三顶点重合,两△三边重合,∴△ΑΒΓ≅△ΔΕΖ

等腰三角形两底角相等[编辑]

△ACB≅△BCA(SAS)Isosceles-triangle-tikz.svg

RHS(直角股斜边)[编辑]

在两个直角三角形中,斜边及一直角边对应相等,那么这两个三角形全等。

HL Triangle Congruence.jpg
如图依据毕氏定理:斜边2−高2 = 另一高2
左、右两个直角△,斜边及一高对应相等,另一高亦会对应相等
两个直角相等,依据SAS,左右两个△全等。

SSS(边边边)[编辑]

三组对应边分别相等的两个三角形全等。

Congruence of triangles SSS.png

已知△ΑΒΓ与△ΔΕΖ,ΑΒ=ΔΕΑΓ=ΔΖΒΓ=ΕΖ

翻转△ΑΒΓ并使ΒΓΕΖ重合(两线段相等),且Α的位置移动到Η的位置。
△ΔΕΗ为等腰△(已知),两底角相等
△ΔΖΗ为等腰△(已知),两底角相等
∠ΕΔΖ=∠ΕΗΖ,∴△ΕΔΖ≅△ΕΗΖ(SAS)
而△ΕΗΖ是△ΑΒΓ移动并镜射而来的,∴△ΕΔΖ≅△ΒΑΓ

ASA(角边角)[编辑]

有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

Congruence of triangles ASA.png

已知△ΑΒΓ与△ΔΕΖ,∠Β=∠Ε、∠Γ=∠Ζ、ΒΓ=ΕΖ

假定△ΑΒΓ与△ΔΕΖ不全等,移动△ΔΕΖ使ΒΓΕΖ重合(等长)
∵∠Β=∠Ε所以Δ必落在ΑΒ线上,Α点之外的另一点Η上。
连接ΗΓ,得到∠ΗΓΒ≠∠ΑΓΒ,与已知矛盾
△ΑΒΓ必须≅△ΔΕΖ,才不致于发生矛盾

AAS(角角边)[编辑]

  • 有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
AAS Triangle Congruence.jpg
∵△的三角相加必等于180°,
∴若是已确定两个角之度数,第三角之度数也必确立。
此时三角形之相等部分为AASA,已知ASA满足全等条件,故为AAS也为全等。

ASS之讨论[编辑]

A为直角或钝角[编辑]

两△全等

A为锐角[编辑]

△只有两种可能,并不全等。

平行四边形[编辑]

定义:四边形两组对边平行

性质:

  1. 两组对边平行且相等;
  2. 两组对角大小相等;
  3. 相邻的两个角互补;
  4. 对角线互相平分;
  5. 对于平面上任何一点,都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线;
  6. 四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。

中点定理和截线定理[编辑]

Mid-segment of a triangle.svg

中点定理:三角形两边中点连线平行于第三边,且等于第三边长的一半。

截线定理:三角形过一边中点对底边作平行线,平分对边。

特殊三角形[编辑]

定义

  1. 等边三角形(正三角形):三边都相等的三角形。
  2. 等腰三角形:有两边相等的三角形。
  3. 直角三角形:有一个直角的三角形。
    • 特殊直角三角形:对剖正方形,对剖正三角形

性质

  1. 等边三角形的三边相等,且三个角都为60°。
  2. 等腰三角形的“三线”(高、中线、角平分线)合一。
  3. 等腰三角形的两个底角都相等。
  4. 直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。
  5. 在直角三角形中,如果有一个角为30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  6. 直角三角形的两个锐角互余。
  7. 在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。

判定

  1. 直角三角形。
    • 有一个角是直角的三角形是直角三角形。
    • 两锐角互余的三角形是直角三角形。
    • 在一个三角形中,如果一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
  2. 等腰三角形。
    • 有两边相等的三角形是等腰三角形。
    • 有两个角相等的三角形是等腰三角形。
  3. 等边三角形。
    • 三条边都相等的三角形是等边三角形。
    • 三个角都相等的三角形是等边三角形。
    • 有两边相等,且其中一角为60°的三角形是等边三角形。