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初等数论/同余

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同余的定义在第一章已经说明了,即a 当m|a-b时,数论中很多定理和证明用一般带余数除法的表示法也能做得出来,但是这些定理和证明若用同余式表示往往更加地简便明了

同余的性质[编辑]

由同余的定义和基本的算术运算法则,可推出:

  • ,则有,和,但是反过来时不一定成立
  • ,则
  • 则存在整数C,使得

同余类与剩余系[编辑]

同余类:对于模m的元素,将所有对模m两两同余的数取出,所形成的集合称之为模m的同余类,即若,则r和s属于模m的同一个同余类

剩余系:对于模m的不同同余类的元素,各取一个出来所形成的集合称之为模m的剩余系,即模m的一个剩余系中的所有元素两两不同余

多项式同余[编辑]

经典同余恒等式[编辑]

欧拉函数[编辑]

函数(又称欧拉函数)是指小于等于n的自然数中与n互质的数的数目。 例子:=2,因为在1,2,3,4,5,6中只有1,5是和6互质

欧拉函数的特性[编辑]

若正整数n个标准分解式为,则函数的值为:

用逻辑集合的概念、排列组合及算术基本定理可验证此式的成立

如果(m,n)=1,:=,即函数为一积性函数

例子:==12

除了=外,对其他的,都有

另一方面,若设m的一个简化剩余系为,其中对于任何,而这个简化剩余系的元素有k个,则

费马小定理[编辑]

费马小定理:对于任意正整数a,及任意质数p,有以下关系式:

其中对任意使(a,p)=1的a,有以下关系式:

欧拉定理[编辑]

欧拉定理:对于任意的,存在有以下的关系式:

并且中的数两两不同余

利用简化剩余系证明欧拉定理
为模m的简化剩余系

由于也是模m的简化剩余系


,得

卡迈克尔函数[编辑]

卡迈克尔函数满足,其中a与n互质。

当n为2、4、奇质数的指数、奇质数的指数的两倍时为欧拉函数,当n为2,4以外的2的指数时为它的一半。

欧拉函数有

由算术基本定理,正整数n可写为质数的积

对于所有n,是它们的最小公倍数:

证明当a与n互质时,
由费马小定理得

由数学归纳法得成立,这是一般情况。

由数学归纳法得当时,成立。

威尔逊定理[编辑]

威尔逊定理:对于所有质数,都有,且若此式成立,p为质数

证明威尔逊定理

如果p不是质数,它的正因数必然包含在中,因此
,与矛盾。
所以成立时p一定是质数。

若p是质数,是模p的剩余系

时,
其余两两配对

费马小定理余式推广[编辑]

除式:

余式:

n=0时为除式,用数学归纳法证明余式。

阶乘幂[编辑]

由组合数为整数可得。

习题[编辑]

第一部分─基础题[编辑]

第二部分─进阶题[编辑]