数论 > 初等数论 > 初等数论/同余
同余的定义在第一章已经说明了,即a 当m|a-b时,数论中很多定理和证明用一般带余数除法的表示法也能做得出来,但是这些定理和证明若用同余式表示往往更加地简便明了
由同余的定义和基本的算术运算法则,可推出:
- 若且,则有,和,但是反过来时不一定成立
- 若且,则
- 若则存在整数C,使得
同余类:对于模m的元素,将所有对模m两两同余的数取出,所形成的集合称之为模m的同余类,即若,则r和s属于模m的同一个同余类
剩余系:对于模m的不同同余类的元素,各取一个出来所形成的集合称之为模m的剩余系,即模m的一个剩余系中的所有元素两两不同余
函数(又称欧拉函数)是指小于等于n的自然数中与n互质的数的数目。
例子:=2,因为在1,2,3,4,5,6中只有1,5是和6互质
若正整数n个标准分解式为,则函数的值为:
用逻辑集合的概念、排列组合及算术基本定理可验证此式的成立
如果(m,n)=1,:=,即函数为一积性函数
例子:==12
除了=外,对其他的,都有
另一方面,若设m的一个简化剩余系为,其中对于任何有,而这个简化剩余系的元素有k个,则
费马小定理:对于任意正整数a,及任意质数p,有以下关系式:
其中对任意使(a,p)=1的a,有以下关系式:
欧拉定理:对于任意的,存在有以下的关系式:
并且中的数两两不同余
利用简化剩余系证明欧拉定理 设 为模m的简化剩余系
由于,也是模m的简化剩余系
又,得
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卡迈克尔函数满足,其中a与n互质。
当n为2、4、奇质数的指数、奇质数的指数的两倍时为欧拉函数,当n为2,4以外的2的指数时为它的一半。
欧拉函数有
由算术基本定理,正整数n可写为质数的积
对于所有n,是它们的最小公倍数:
证明当a与n互质时, 由费马小定理得
由数学归纳法得成立,这是一般情况。
由数学归纳法得当时,成立。
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威尔逊定理:对于所有质数,都有,且若此式成立,p为质数
证明威尔逊定理
如果p不是质数,它的正因数必然包含在中,因此
,与矛盾。
所以成立时p一定是质数。
若p是质数,是模p的剩余系
当时,
其余两两配对
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除式:
余式:
n=0时为除式,用数学归纳法证明余式。
由组合数为整数可得。
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