国中数学/一元一次方程式

一元一次方程式是经由整理过后，形如$ax+b=0$的算式，其中$a\neq 0$。

以符号代表数

在小学数学中我们曾利用()、□、$\cdots$之类的符号写出算式填充题。例如：

• 小美原本有5颗巧克力，小明给小美一些巧克力之后，小美有8颗巧克力。小明给小美几颗巧克力？
  • 我们最早的做法是$5+()=8$，因为$8-5=3$，所以$()=3$

后来我们改以英文字母$x$、$y$、$z$、$\cdots$等等来代表，并运用等量公理来协助解题：

• 小美原本有5颗巧克力，小明给小美一些巧克力之后，小美有8颗巧克力。小明给小美几颗巧克力？
  • 后来的做法是假设小明给小美$x$颗巧克力，$5+x=8\Rightarrow 5+x-5=8-5\Rightarrow x=3$

现在，我们将复习“等量公理”，并引进“移项法则”，为了是要解更复杂的方程式。

更复杂的方程式

什么时候会遇到更复杂的一元一次方程式呢？让我们来考虑这个问题吧：

• 小美到面包店买面包。如果小美身上的钱买7个奶油面包会不够5元，买6个奶油面包还剩下10元，那么一个奶油面包多少元？
  • 假设一个奶油面包$x$元，则小美身上的钱可以表示为$(7x-5)$元，也可以表示为$(6x+10)$元，因为这都代表小美的钱，所以列出式子$7x-5=6x+10$。

你会发现目前为止你没有解过这样子两边都有未知数$(x)$出现的式子。

方程式的解

如果$x=a$可以让一个方程式的等号成立，则我们说$x=a$是此方程式的解。

如：$2x=3x-3$

• 当$x=1$时，左式$=2\times 1=2$，右式$=3\times 1-3=0$，又因为$2\neq 0$，所以$x=1$不是方程式$2x=3x-3$的解。
• 当$x=3$时，左式$=2\times 3=6$，右式$=3\times 3-3=6$，又因为$6=6$，所以$x=3$是方程式$2x=3x-3$的解。

习题

检查$y=-2$、$y=-3$、$y=-4$当中，何者为$5(y+1)=3y-1$的解。

等量公理

若$a$、$b$两个数满足$a=b$，$c$是一个数，则

$1.a+c=b+c$
$2.a-c=b-c$
$3.a\times c=b\times c$
$4.a\div c=b\div c(c\neq 0)$

这四条式子我们称做等量公理。

• 第$1$条式子我们有时会称作等量加法公理。
• 第$2$条式子我们有时会称作等量减法公理。
• 第$3$条式子我们有时会称作等量乘法公理。
• 第$4$条式子我们有时会称作等量除法公理。

验算

解完方程式之后应该要将答案代回方程式当中，确定等式成立。

移项法则

设$a$、$b$为两个数，则

$1.x+a=b\Rightarrow x=b-a$
$2.x-a=b\Rightarrow x=b+a$
$3.x\times a=b\Rightarrow x=b\div a(a\neq 0)$
$4.x\div a=b\Rightarrow x=b\times a(a\neq 0)$

以上四式称为移项法则。

请注意：无论是等量公理或是移项法则，就算$a$、$b$、$c$是未知数或是代数式也是可以的。但未知数或代数式必须确定该式不等于$0$才能够进行除法运算。

整理方程式

有些方程式看起来很像一元一次方程式，但是我们不能确定，这时我们可以利用移项法则，确定是否能够整理成$ax+b=0$且$a\neq 0$的形式。

举些例子：

• ${\frac {x}{7}}=5$是一元一次方程式，因为${\frac {x}{7}}=5$可以改写成${\frac {1}{7}}x-5=0$，符合$ax+b=0$且$a\neq 0$的形式。
• $6x+2=3(2x+7)$不是一元一次方程式，因为$6x+2=3(2x+7)\Rightarrow 6x+2={\color {red}6x}{\color {blue}+21}\Rightarrow 6x{\color {red}-6x}+2{\color {blue}-21}=0\Rightarrow 0x-19=0$，不符合$a\neq 0$。

利用移项法则解方程式

例题$1.$解方程式$7x-5=6x+10$。

解：

移项法则	等量公理
$7x{\color {red}-5}=6x+10$ $\Rightarrow 7x={\color {blue}6x}+10{\color {red}+5}$ $\Rightarrow 7x{\color {blue}-6x}=10+5$ $\Rightarrow x=15$	$7x-5=6x+10$ $\Rightarrow 7x-5{\color {red}+5}=6x+10{\color {red}+5}$ $\Rightarrow 7x{\color {blue}-6x}=6x+15{\color {blue}-6x}$ $\Rightarrow 7x-6x=15$ $\Rightarrow x=15$

可以发现利用移项法则会比较简便。

例题$2.$解方程式$7x-4=5x+6$。

解：$7x{\color {red}-4}=5x+6$
$\Rightarrow 7x={\color {blue}5x}+6{\color {red}+4}$
$\Rightarrow 7x{\color {blue}-5x}=6+4$
$\Rightarrow {\color {green}2}x=10$
$\Rightarrow x=10{\color {green}\div 2}$
$\Rightarrow x=5$

先去括号，再利用移项法则

例题$3.$解方程式$7(x+4)=5(2x+6)$。

解：$7(x+4)=5(2x+6)$
$\Rightarrow 7x{\color {red}+28}=10x+30$(乘開)
$\Rightarrow 7x={\color {blue}10x}+30{\color {red}-28}$(移項)
$\Rightarrow 7x{\color {blue}-10x}=2$
$\Rightarrow {\color {green}-3}x=2$
$\Rightarrow x=2{\color {green}\div (-3)}$
$\Rightarrow x=-{\frac {2}{3}}$

分数型：先同乘以一个数，再利用移项法则

在同乘一个数的时候，建议补上括号，免得出错。

例题$4.$解方程式${\frac {x+4}{2}}-{\frac {2x+1}{3}}=5$。

解：${\frac {x+4}{2}}-{\frac {2x+1}{3}}=5$
$\Rightarrow 3(x+4)-2(2x+1)=30$(同乘以6)
$\Rightarrow 3x+12-4x-2=30$(展開)
$\Rightarrow -x{\color {red}+10}=30$(化簡)
$\Rightarrow -x=30{\color {red}-10}$(移項)
$\Rightarrow {\color {green}-1}x=20$(化簡)
$\Rightarrow x=20{\color {green}\div (-1)}$(移項)
$\Rightarrow x=-20$

习题

解下列方程式：

1. $3x+3=7x-5$
2. $6(x-3)=2(x+1)$
3. ${\frac {2x+3}{3}}={\frac {x-5}{5}}$

课外补充：$0x+b=0$型的方程式

因为$0x=0$，所以$0x+b=0+b=b$。

• 若$b\neq 0$，则$0x+b=0$无解。
• 若$b=0$，则$0x+b=0$有无限多个解。

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