國中數學/一元一次方程式

一元一次方程式是經由整理過後，形如$ax+b=0$的算式，其中$a\neq 0$。

以符號代表數

在小學數學中我們曾利用()、□、$\cdots$之類的符號寫出算式填充題。例如：

• 小美原本有5顆巧克力，小明給小美一些巧克力之後，小美有8顆巧克力。小明給小美幾顆巧克力？
  • 我們最早的做法是$5+()=8$，因為$8-5=3$，所以$()=3$

後來我們改以英文字母$x$、$y$、$z$、$\cdots$等等來代表，並運用等量公理來協助解題：

• 小美原本有5顆巧克力，小明給小美一些巧克力之後，小美有8顆巧克力。小明給小美幾顆巧克力？
  • 後來的做法是假設小明給小美$x$顆巧克力，$5+x=8\Rightarrow 5+x-5=8-5\Rightarrow x=3$

現在，我們將複習「等量公理」，並引進「移項法則」，為了是要解更複雜的方程式。

更複雜的方程式

什麼時候會遇到更複雜的一元一次方程式呢？讓我們來考慮這個問題吧：

• 小美到麵包店買麵包。如果小美身上的錢買7個奶油麵包會不夠5元，買6個奶油麵包還剩下10元，那麼一個奶油麵包多少元？
  • 假設一個奶油麵包$x$元，則小美身上的錢可以表示為$(7x-5)$元，也可以表示為$(6x+10)$元，因為這都代表小美的錢，所以列出式子$7x-5=6x+10$。

你會發現目前為止你沒有解過這樣子兩邊都有未知數$(x)$出現的式子。

方程式的解

如果$x=a$可以讓一個方程式的等號成立，則我們說$x=a$是此方程式的解。

如：$2x=3x-3$

• 當$x=1$時，左式$=2\times 1=2$，右式$=3\times 1-3=0$，又因為$2\neq 0$，所以$x=1$不是方程式$2x=3x-3$的解。
• 當$x=3$時，左式$=2\times 3=6$，右式$=3\times 3-3=6$，又因為$6=6$，所以$x=3$是方程式$2x=3x-3$的解。

習題

檢查$y=-2$、$y=-3$、$y=-4$當中，何者為$5(y+1)=3y-1$的解。

等量公理

若$a$、$b$兩個數滿足$a=b$，$c$是一個數，則

$1.a+c=b+c$
$2.a-c=b-c$
$3.a\times c=b\times c$
$4.a\div c=b\div c(c\neq 0)$

這四條式子我們稱做等量公理。

• 第$1$條式子我們有時會稱作等量加法公理。
• 第$2$條式子我們有時會稱作等量減法公理。
• 第$3$條式子我們有時會稱作等量乘法公理。
• 第$4$條式子我們有時會稱作等量除法公理。

驗算

解完方程式之後應該要將答案代回方程式當中，確定等式成立。

移項法則

設$a$、$b$為兩個數，則

$1.x+a=b\Rightarrow x=b-a$
$2.x-a=b\Rightarrow x=b+a$
$3.x\times a=b\Rightarrow x=b\div a(a\neq 0)$
$4.x\div a=b\Rightarrow x=b\times a(a\neq 0)$

以上四式稱為移項法則。

請注意：無論是等量公理或是移項法則，就算$a$、$b$、$c$是未知數或是代數式也是可以的。但未知數或代數式必須確定該式不等於$0$才能夠進行除法運算。

整理方程式

有些方程式看起來很像一元一次方程式，但是我們不能確定，這時我們可以利用移項法則，確定是否能夠整理成$ax+b=0$且$a\neq 0$的形式。

舉些例子：

• ${\frac {x}{7}}=5$是一元一次方程式，因為${\frac {x}{7}}=5$可以改寫成${\frac {1}{7}}x-5=0$，符合$ax+b=0$且$a\neq 0$的形式。
• $6x+2=3(2x+7)$不是一元一次方程式，因為$6x+2=3(2x+7)\Rightarrow 6x+2={\color {red}6x}{\color {blue}+21}\Rightarrow 6x{\color {red}-6x}+2{\color {blue}-21}=0\Rightarrow 0x-19=0$，不符合$a\neq 0$。

利用移項法則解方程式

例題$1.$解方程式$7x-5=6x+10$。

解：

移項法則	等量公理
$7x{\color {red}-5}=6x+10$ $\Rightarrow 7x={\color {blue}6x}+10{\color {red}+5}$ $\Rightarrow 7x{\color {blue}-6x}=10+5$ $\Rightarrow x=15$	$7x-5=6x+10$ $\Rightarrow 7x-5{\color {red}+5}=6x+10{\color {red}+5}$ $\Rightarrow 7x{\color {blue}-6x}=6x+15{\color {blue}-6x}$ $\Rightarrow 7x-6x=15$ $\Rightarrow x=15$

可以發現利用移項法則會比較簡便。

例題$2.$解方程式$7x-4=5x+6$。

解：$7x{\color {red}-4}=5x+6$
$\Rightarrow 7x={\color {blue}5x}+6{\color {red}+4}$
$\Rightarrow 7x{\color {blue}-5x}=6+4$
$\Rightarrow {\color {green}2}x=10$
$\Rightarrow x=10{\color {green}\div 2}$
$\Rightarrow x=5$

先去括號，再利用移項法則

例題$3.$解方程式$7(x+4)=5(2x+6)$。

解：$7(x+4)=5(2x+6)$
$\Rightarrow 7x{\color {red}+28}=10x+30$(乘開)
$\Rightarrow 7x={\color {blue}10x}+30{\color {red}-28}$(移項)
$\Rightarrow 7x{\color {blue}-10x}=2$
$\Rightarrow {\color {green}-3}x=2$
$\Rightarrow x=2{\color {green}\div (-3)}$
$\Rightarrow x=-{\frac {2}{3}}$

分數型：先同乘以一個數，再利用移項法則

在同乘一個數的時候，建議補上括號，免得出錯。

例題$4.$解方程式${\frac {x+4}{2}}-{\frac {2x+1}{3}}=5$。

解：${\frac {x+4}{2}}-{\frac {2x+1}{3}}=5$
$\Rightarrow 3(x+4)-2(2x+1)=30$(同乘以6)
$\Rightarrow 3x+12-4x-2=30$(展開)
$\Rightarrow -x{\color {red}+10}=30$(化簡)
$\Rightarrow -x=30{\color {red}-10}$(移項)
$\Rightarrow {\color {green}-1}x=20$(化簡)
$\Rightarrow x=20{\color {green}\div (-1)}$(移項)
$\Rightarrow x=-20$

習題

解下列方程式：

1. $3x+3=7x-5$
2. $6(x-3)=2(x+1)$
3. ${\frac {2x+3}{3}}={\frac {x-5}{5}}$

課外補充：$0x+b=0$型的方程式

因為$0x=0$，所以$0x+b=0+b=b$。

• 若$b\neq 0$，則$0x+b=0$無解。
• 若$b=0$，則$0x+b=0$有無限多個解。

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