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國中數學/一元一次方程式

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一元一次方程式是經由整理過後,形如的算式,其中

以符號代表數

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在小學數學中我們曾利用()、□、之類的符號寫出算式填充題。例如:

  • 小美原本有5顆巧克力,小明給小美一些巧克力之後,小美有8顆巧克力。小明給小美幾顆巧克力?
    • 我們最早的做法是,因為,所以

後來我們改以英文字母等等來代表,並運用等量公理來協助解題:

  • 小美原本有5顆巧克力,小明給小美一些巧克力之後,小美有8顆巧克力。小明給小美幾顆巧克力?
    • 後來的做法是假設小明給小美顆巧克力,

現在,我們將複習「等量公理」,並引進「移項法則」,為了是要解更複雜的方程式。

更複雜的方程式

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什麼時候會遇到更複雜的一元一次方程式呢?讓我們來考慮這個問題吧:

  • 小美到麵包店買麵包。如果小美身上的錢買7個奶油麵包會不夠5元,買6個奶油麵包還剩下10元,那麼一個奶油麵包多少元?
    • 假設一個奶油麵包元,則小美身上的錢可以表示為元,也可以表示為元,因為這都代表小美的錢,所以列出式子

你會發現目前為止你沒有解過這樣子兩邊都有未知數出現的式子。

方程式的解

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如果可以讓一個方程式的等號成立,則我們說是此方程式的解。

如:

  • 時,左式,右式,又因為,所以不是方程式的解。
  • 時,左式,右式,又因為,所以是方程式的解。

習題

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檢查當中,何者為的解。[答案 1]

等量公理

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兩個數滿足是一個數,則





這四條式子我們稱做等量公理

  • 條式子我們有時會稱作等量加法公理
  • 條式子我們有時會稱作等量減法公理
  • 條式子我們有時會稱作等量乘法公理
  • 條式子我們有時會稱作等量除法公理

驗算

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解完方程式之後應該要將答案代回方程式當中,確定等式成立。

移項法則

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為兩個數,則





以上四式稱為移項法則

請注意:無論是等量公理或是移項法則,就算是未知數或是代數式也是可以的。但未知數或代數式必須確定該式不等於才能夠進行除法運算。

整理方程式

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有些方程式看起來很像一元一次方程式,但是我們不能確定,這時我們可以利用移項法則,確定是否能夠整理成的形式。

舉些例子:

  • 是一元一次方程式,因為可以改寫成,符合的形式。
  • 不是一元一次方程式,因為,不符合

利用移項法則解方程式

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例題解方程式

解:

移項法則 等量公理









可以發現利用移項法則會比較簡便。

例題解方程式

解:





先去括號,再利用移項法則

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例題解方程式

解:
(乘開)
(移項)




分數型:先同乘以一個數,再利用移項法則

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在同乘一個數的時候,建議補上括號,免得出錯。

例題解方程式

解:
(同乘以6)
(展開)
(化簡)
(移項)
(化簡)
(移項)

習題

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解下列方程式:

  1. [答案 2]
  2. [答案 3]
  3. [答案 4]

課外補充:型的方程式

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因為,所以

  • ,則無解
  • ,則無限多個解

更多內容

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註解

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習題解答

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