国中数学/国中数学八年级/2-1 二次方根的意义

1-4 多项式的四则运算

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国中数学八年级 2-1 二次方根的意义

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2-2 根式的运算

本单元将介绍二次方根。部分内容需要用到第一册2-5 指数律。

正方形面积与边长

完全平方数

图一。面积为$1,4,9,16cm^{2}$的正方形。

图一为4个面积分别为$1,4,9,16cm^{2}$的正方形，边长分别为$1,2,3,4cm$。
因为$1,4,9,16$都是一个整数的平方，也就是可以被写成$n^{2}$($n$为正整数)的形式，所以这些数被称为“完全平方数”。若一正方形的面积是完全平方数，则其边长必为一个正整数。

根号

那假如今天有一个正方形面积为$2,3,5,6,7$而不是完全平方数，其边长应该怎么表示呢？所以${\sqrt {\quad }}$就在这时出现了。
当有一个正方形面积为$a$，其边长就是${\sqrt {a}}$(读作“根号$a$”)；当有一个正方形边长是${\sqrt {a}}$，其面积就为$({\sqrt {a}})^{2}=a$。
如面积为$2$的正方形，其边长就为${\sqrt {2}}$；边长为${\sqrt {15}}$的正方形，其面积就为$15$。

根号a

以指数表示根号a

${\sqrt {a}}$其实是可以用指数来表示的，为${\sqrt {a}}=a^{1 \over 2}(a>0)$。
证明：
${\begin{aligned}&{\text{令 }}{\sqrt {a}}=m,a^{\frac {1}{2}}=n(a>0)\\&\Rightarrow ({\sqrt {a}})^{2}=m^{2},(a^{\frac {1}{2}})^{2}=n^{2}\\&\Rightarrow {\sqrt {a}}\times {\sqrt {a}}=m^{2},a^{{\frac {1}{2}}\times 2}=n^{2}\\&\Rightarrow a=m^{2},a=n^{2}\\&\Rightarrow m=n\\&a>0{\text{ 則 }}\ {\sqrt {a}}{\text{ 及 }}\ a^{z}{\text{ 皆 大 於 零 }}\end{aligned}}$

(根号a)的平方

根据上述的推论以及指数律，
$({\sqrt {a}})^{2}=(a^{1 \over 2})^{2}=a^{{1 \over 2}\times 2}=a^{1}=a$

根号(a的平方)

同样根据上述的推论以及指数律，
${\sqrt {a^{2}}}=(a^{2})^{1 \over 2}=a^{2\times {1 \over 2}}=a^{1}=a$