开立方

同一个数x累乘3次，就是x的立方，又叫3次方。例如x=13，13×13×13=2197，$X^{3}=13^{3}$=2197。2197开立方的话，就成为A=2197是被开立方数。${\sqrt[{3}]{2197}}$

开立方公式

$X_{n+1}=X_{n}+(A/X_{n}^{2}-X_{n})1/3$

例题

例如，A=2197，是被开立方数，从右到左开始数，每隔3位一撇：2 ；197。右边197的立方根是个位数，左边2是十位数。

“2”介于1³至2³之间，我们知道2197的立方根在10-20之间。10³=1000；20³=8000。

2197距离10³=1000更加近，我们可以估计，2197的立方根在10至15之间。

我们可以取初始值$X_{0}$=10， 11， 12，13，14，15.都是可以的， 例如取$X_{0}$=15.代入公式：

1，$X_{1}=15+(2197/15^{2}-15)1/3$=13.25

2，$X_{1}$=13。，

$X_{2}=13+(2197/13^{2}-13)1/3$=13。 即。${\sqrt[{3}]{2197}}$=13.。

当然，初始值取10，或者11，或者12，或者13，或者14，结果都是一样：

例如初始值取10：。，$X_{1}=10+(2197/10^{2}-10)1/3$=13.99。

例如初始值取11：。，$X_{1}=11+(2197/11^{2}-11)1/3$=13.38。

例如，A=5，k=3，即求：${\sqrt[{3}]{5}}$，而5介于1³至2³之间（1的3次方=1，2的3次方=8） 初始值$X_{0}$可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取$X_{0}=2.$按照公式：

1， $X_{1}$=2+（5/2²-2)1/3=1.75。输入值大于输出值，负反馈；即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，-0.75×1/3=-0.25，2+(-0.25)=1.75，比前面多取一位数。即取2位数值,即1.7。

2，$X_{2}$=1.7+（5/1.7²-1.7)1/3=1.71.输入值小于输出值，正反馈，即5/1.7×1.7=1.73010，1.7301-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。

3 $X_{3}$=1.71+（5/1.71²-1.71)1/3=1.709.

4， $X_{4}$=1.709+（5/1.709²-1.709)1/3=1.7099，这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大，即5=1.7099³。当然初始值$X_{0}$也可以取1.1, 1.2, 1.3, ... 1.8, 1.9中的任何一个,都是$X_{1}=1.7>$。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5：1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。

每一步多取一位数。计算次数与计算精确度成为正比。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。

参考文献

【从牛顿二项式定理开方到牛顿切线法】《数学传播》136期。