開立方

同一個數x累乘3次，就是x的立方，又叫3次方。例如x=13，13×13×13=2197，$X^{3}=13^{3}$=2197。2197開立方的話，就成為A=2197是被開立方數。${\sqrt[{3}]{2197}}$

開立方公式

$X_{n+1}=X_{n}+(A/X_{n}^{2}-X_{n})1/3$

例題

例如，A=2197，是被開立方數，從右到左開始數，每隔3位一撇：2 ；197。右邊197的立方根是個位數，左邊2是十位數。

「2」介於1³至2³之間，我們知道2197的立方根在10-20之間。10³=1000；20³=8000。

2197距離10³=1000更加近，我們可以估計，2197的立方根在10至15之間。

我們可以取初始值$X_{0}$=10， 11， 12，13，14，15.都是可以的， 例如取$X_{0}$=15.代入公式：

1，$X_{1}=15+(2197/15^{2}-15)1/3$=13.25

2，$X_{1}$=13。，

$X_{2}=13+(2197/13^{2}-13)1/3$=13。 即。${\sqrt[{3}]{2197}}$=13.。

當然，初始值取10，或者11，或者12，或者13，或者14，結果都是一樣：

例如初始值取10：。，$X_{1}=10+(2197/10^{2}-10)1/3$=13.99。

例如初始值取11：。，$X_{1}=11+(2197/11^{2}-11)1/3$=13.38。

例如，A=5，k=3，即求：${\sqrt[{3}]{5}}$，而5介於1³至2³之間（1的3次方=1，2的3次方=8） 初始值$X_{0}$可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我們取$X_{0}=2.$按照公式：

1， $X_{1}$=2+（5/2²-2)1/3=1.75。輸入值大於輸出值，負反饋；即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，-0.75×1/3=-0.25，2+(-0.25)=1.75，比前面多取一位數。即取2位數值,即1.7。

2，$X_{2}$=1.7+（5/1.7²-1.7)1/3=1.71.輸入值小於輸出值，正反饋，即5/1.7×1.7=1.73010，1.7301-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位數，比前面多取一位數。

3 $X_{3}$=1.71+（5/1.71²-1.71)1/3=1.709.

4， $X_{4}$=1.709+（5/1.709²-1.709)1/3=1.7099，這種方法可以自動調節，第一步與第三步取值偏大，但是計算出來以後輸出值會自動轉小；第二步，第四步輸入值偏小，輸出值自動轉大，即5=1.7099³。當然初始值$X_{0}$也可以取1.1, 1.2, 1.3, ... 1.8, 1.9中的任何一個,都是$X_{1}=1.7>$。當然，我們在實際中初始值最好採用中間值，即1.5：1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。

每一步多取一位數。計算次數與計算精確度成為正比。這個方法又叫反饋開方，即使你輸入一個錯誤的數值，也沒有關係，輸出值會自動調節，接近準確值。

參考文獻

【從牛頓二項式定理開方到牛頓切線法】《數學傳播》136期。