信号与系统/由傅里叶级数到傅里叶转换

Audio：大陆：音频；臺灣：音訊； 当前语言下显示→音频
Channel：大陆：信道；臺灣：通道； 当前语言下显示→信道
Communication：大陆：通信；臺灣：通訊； 当前语言下显示→通信
Convolution：大陆：卷积；臺灣：摺積； 当前语言下显示→卷积
Digital：臺灣：數位；大陆：数字；香港：數碼； 当前语言下显示→数字
Fourier：大陆：傅里叶；臺灣：傅立葉； 当前语言下显示→傅里叶
information：大陆：信息；臺灣：資訊； 当前语言下显示→信息
integrated circuit：大陆：集成电路；臺灣：積體電路；香港：集成電路； 当前语言下显示→集成电路
logic gate：大陆：逻辑门；香港：邏輯門；臺灣：邏輯閘； 当前语言下显示→逻辑门
Noise：臺灣：雜訊；大陆：噪声； 当前语言下显示→噪声
P-N junction：大陆：P-N结；香港：P-N結；臺灣：P-N接面； 当前语言下显示→P-N结
P-n junction：大陆：P-n结；香港：P-n結；臺灣：P-n接面； 当前语言下显示→P-n结
p-n junction：大陆：p-n结；香港：p-n結；臺灣：p-n接面； 当前语言下显示→p-n结
PN junction：大陆：PN结；香港：PN結；臺灣：PN接面； 当前语言下显示→PN结
Pn junction：大陆：Pn结；香港：Pn結；臺灣：Pn接面； 当前语言下显示→Pn结
pn junction：大陆：pn结；香港：pn結；臺灣：pn接面； 当前语言下显示→pn结
Signal：臺灣：訊號；大陆：信号； 当前语言下显示→信号
Signal-to-noise ratio, SNR：臺灣：訊雜比；大陆：信噪比；香港：訊噪比； 当前语言下显示→信噪比
Signaling System Number 7：大陆：七号信令系统；臺灣：第七號發信系統；香港：七號信令系統； 当前语言下显示→七号信令系统
Time-invariant system：大陆：时不变系统；臺灣：非時變系統； 当前语言下显示→时不变系统
Video：大陆：视频；臺灣：視訊；香港：影片； 当前语言下显示→视频
modulation：大陆：调制；香港：調制；臺灣：調變； 当前语言下显示→调制
vestigial sideband：大陆：残余边带；臺灣：殘邊帶； 当前语言下显示→残余边带
amplitude：大陆：幅度；臺灣：振幅； 当前语言下显示→幅度
PSK：臺灣：相位移鍵；大陆：移相键控； 当前语言下显示→移相键控
Mobile communication：臺灣：行動通訊；大陆：移动通信；香港：流動通訊； 当前语言下显示→移动通信
Time division：香港：時分；大陆：时分；臺灣：分時； 当前语言下显示→时分
Frequency division：香港：頻分；大陆：频分；臺灣：分頻； 当前语言下显示→频分
Code division：香港：碼分；大陆：码分；臺灣：分碼； 当前语言下显示→码分
TDMA：香港：時分多址；大陆：时分多址；臺灣：分時多重進接； 当前语言下显示→时分多址
FDMA：香港：頻分多址；大陆：频分多址；臺灣：分頻多重進接； 当前语言下显示→频分多址
CDMA：香港：碼分多址；大陆：码分多址；臺灣：分碼多重進接； 当前语言下显示→码分多址
SDMA：香港：空分多址；大陆：空分多址；臺灣：分空間多重進接； 当前语言下显示→空分多址
TDM：香港：時分複用；大陆：时分复用；臺灣：分時多工； 当前语言下显示→时分复用
FDM：香港：頻分複用；大陆：频分复用；臺灣：分頻多工； 当前语言下显示→频分复用
SDM：香港：空分複用；大陆：空分复用；臺灣：空間多工； 当前语言下显示→空分复用
WDM：香港：波分複用；大陆：波分复用；臺灣：波長分波多工； 当前语言下显示→波分复用
iDEN：臺灣：整合數位強化網路；大陆：集成数字增强网络； 当前语言下显示→集成数字增强网络
GPRS：臺灣：通用封包無線服務；大陆：通用分组无线服务； 当前语言下显示→通用分组无线服务
spread-spectrum：大陆：扩频；臺灣：展頻； 当前语言下显示→扩频
spread-spectrum：大陆：扩谱；臺灣：展譜； 当前语言下显示→扩谱
Packet：臺灣：封包；大陆：分组； 当前语言下显示→分组
Cellular data：臺灣：蜂巢式資料；大陆：蜂窝数据；香港：蜂巢式數據； 当前语言下显示→蜂窝数据
Cellular network：臺灣：蜂巢式網路；大陆：蜂窝网络；香港：蜂巢式網絡； 当前语言下显示→蜂窝网络
Bit：臺灣：位元；大陆：比特； 当前语言下显示→比特
Slot：臺灣：時槽；大陆：时隙； 当前语言下显示→时隙
error correcting code：大陆：纠错码；臺灣：錯誤更正碼；香港：除錯碼； 当前语言下显示→纠错码
Information theory：繁體：消息理論；简体：信息论； 当前语言下显示→信息论
Information theory：臺灣：資訊理論；大陆：信息论； 当前语言下显示→信息论
Sampling Theorem：臺灣：取樣定理；大陆：采样定理； 当前语言下显示→采样定理
Shannon：大陆：香农；臺灣：夏農；香港：山農； 当前语言下显示→香农
Analog Broadcasting：大陆：模拟广播；臺灣：類比廣播；香港：模擬廣播； 当前语言下显示→模拟广播
Analog Television：大陆：模拟电视；臺灣：類比電視；香港：模擬電視； 当前语言下显示→模拟电视
Definition：大陆：清晰度；臺灣：解析度；香港：清晰度； 当前语言下显示→清晰度
Digital Broadcasting：大陆：数字广播；香港：數碼廣播；臺灣：數位廣播;zh-mo:數字廣播； 当前语言下显示→数字广播
Digital Television：大陆：数字电视；臺灣：數位電視；香港：數碼電視;zh-mo:數字電視； 当前语言下显示→数字电视
DVB-H：大陆：手持地面无线；臺灣：手持式數位視訊廣播；香港：手持式數碼視訊廣播； 当前语言下显示→手持地面无线
External：大陆：外置；香港：外置；臺灣：外接； 当前语言下显示→外置
Set-top box：简体：机顶盒；繁體：數碼電視解碼器；香港：機頂盒；臺灣：數位電視機上盒；大陆：机顶盒;zh-mo:機頂盒； 当前语言下显示→机顶盒;zh-mo:機頂盒
USB Digital TV tuner：大陆：USB数字电视棒；香港：高清USB手指；臺灣：USB數位電視棒； 当前语言下显示→USB数字电视棒
USB TV Tuner：大陆：USB电视棒；香港：USB電視手指；臺灣：USB電視棒； 当前语言下显示→USB电视棒
diversity：大陆：分集；臺灣：多樣； 当前语言下显示→分集
Call forwarding：大陆：呼叫转移；臺灣：來電轉駁； 当前语言下显示→呼叫转移
Information Technology：大陆：信息技术；臺灣：資訊科技； 当前语言下显示→信息技术
Landline：大陆：固定电话；臺灣：固網電信；香港：固網電訊； 当前语言下显示→固定电话
China Telecom：简体：中国电信；繁體：中國電信； 当前语言下显示→中国电信
Frame：大陆：帧；臺灣：訊框； 当前语言下显示→帧

臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 当前用字模式下显示为→方向导数
臺灣：積分形式；大陆：积分形式； 当前用字模式下显示为→积分形式
臺灣：微分形式；大陆：微分形式； 当前用字模式下显示为→微分形式
臺灣：約束；大陆：约束； 当前用字模式下显示为→约束
原始语言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 当前用字模式下显示为→博雷尔
原始语言：Christoffel；臺灣：克里斯多福；大陆：克里斯托费尔； 当前用字模式下显示为→克里斯托费尔
原始语言：Clifford；臺灣：克里福；大陆：克利福德； 当前用字模式下显示为→克利福德
原始语言：Eratosthenes；大陆：埃拉托斯特尼；臺灣：埃拉托斯特尼；香港：愛拉托散尼； 当前用字模式下显示为→埃拉托斯特尼
原始语言：Fourier；臺灣：傅立葉；大陆：傅里叶； 当前用字模式下显示为→傅里叶
原始语言：Frobenius；臺灣：弗比尼斯；大陆：弗罗贝尼乌斯； 当前用字模式下显示为→弗罗贝尼乌斯
原始语言：Hausdorff；臺灣：郝斯多夫；大陆：豪斯多夫； 当前用字模式下显示为→豪斯多夫
原始语言：Levi-Civita；臺灣：勒維奇維塔；大陆：列维-奇维塔； 当前用字模式下显示为→列维-奇维塔
原始语言：L'Hôpital；臺灣：羅必達；香港：洛必達；大陆：洛必达； 当前用字模式下显示为→洛必达
原始语言：Markov；臺灣：馬可夫；大陆：马尔可夫； 当前用字模式下显示为→马尔可夫
原始语言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 当前用字模式下显示为→泊松
原始语言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 当前用字模式下显示为→勒让德
原始语言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 当前用字模式下显示为→施瓦兹
原始语言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 当前用字模式下显示为→阿列夫
原始语言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 当前用字模式下显示为→阿列夫数
原始语言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 当前用字模式下显示为→代数相关
原始语言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 当前用字模式下显示为→代数无关
原始语言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 当前用字模式下显示为→代数闭域
原始语言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 当前用字模式下显示为→自守形式
原始语言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 当前用字模式下显示为→双射
原始语言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 当前用字模式下显示为→丛
原始语言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 当前用字模式下显示为→中心极限定理
原始语言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 当前用字模式下显示为→典型群
原始语言：Closed graph theorem；臺灣：閉圖定理；大陆：闭图像定理； 当前用字模式下显示为→闭图像定理
原始语言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 当前用字模式下显示为→上同调
原始语言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 当前用字模式下显示为→复平面
原始语言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 当前用字模式下显示为→复指数
原始语言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 当前用字模式下显示为→复结构
原始语言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 当前用字模式下显示为→互素
原始语言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 当前用字模式下显示为→协方差
原始语言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 当前用字模式下显示为→分圆域
原始语言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 当前用字模式下显示为→导出代数
原始语言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 当前用字模式下显示为→导出函子
原始语言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 当前用字模式下显示为→导集
原始语言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 当前用字模式下显示为→控制收敛定理
原始语言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 当前用字模式下显示为→本征函数
原始语言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 当前用字模式下显示为→扩张域
原始语言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 当前用字模式下显示为→斐波那契数列
原始语言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 当前用字模式下显示为→域扩张
原始语言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 当前用字模式下显示为→域论
原始语言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 当前用字模式下显示为→有限域
原始语言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 当前用字模式下显示为→分形
原始语言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 当前用字模式下显示为→整体域
原始语言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 当前用字模式下显示为→线性相关
原始语言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 当前用字模式下显示为→线性无关
原始语言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 当前用字模式下显示为→局部域
原始语言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 当前用字模式下显示为→单位元
原始语言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 当前用字模式下显示为→逆元素
原始语言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 当前用字模式下显示为→最小二乘
原始语言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 当前用字模式下显示为→马尔可夫链
原始语言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 当前用字模式下显示为→中值定理
原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
原始语言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 当前用字模式下显示为→正交补
原始语言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 当前用字模式下显示为→最优化
原始语言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 当前用字模式下显示为→道路连通
原始语言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 当前用字模式下显示为→素理想
原始语言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 当前用字模式下显示为→素数
原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

周期信号与非周期信号

傅里叶级数表示式 $\phi _{T0}$ (t)= $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}e^{jnw_{0}t}$

代表一周期为 $\mathrm {T} _{0}$ 之周期信号，其中 $w_{0}={\frac {2\pi }{T_{0}}}$ 。

当 $x(t)$ 为一周期信号，基本周期为 $\mathrm {T} _{0}$ ，则 $x(t)$ 可表示成傅里叶级数，即 : $x(t)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}e^{jnw_{0}t}$ 所有 t

当 $x(t)$ 为非周期信号时，傅里叶级数表示式 $\phi$ $_{T}$ $_{0}$ (t)只能表示 $t\in [{\frac {-T_{0}}{2}}$ ， ${\frac {T_{0}}{2}}$ ]范围内之 $x(t)$ ，即 :

$x(t)$ = $\phi$ $_{T}$ $_{0}$ (t)

$t\in [{\frac {-T_{0}}{2}}$ ， ${\frac {T_{0}}{2}}$ ]

$x(t)$ $\neq$ $\phi$ $_{T}$ $_{0}$ (t)

$t\not \in [{\frac {-T_{0}}{2}}$ ， ${\frac {T_{0}}{2}}$ ]

非周期信号与傅里叶级数之关系

                       © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

由上图可知 :

$x(t)$ = $\phi$ $_{T}$ $_{1}$ (t)

$t\in [{\frac {-T_{0}}{2}}$ ， ${\frac {T_{0}}{2}}$ ]

$x(t)$ $\neq$ $\phi$ $_{T}$ $_{0}$ (t)

$t\not \in [{\frac {-T_{0}}{2}}$ ， ${\frac {T_{0}}{2}}$ ]

               $\Rightarrow$  $x(t)$ = $\lim _{T_{0}\to \infty }x(t)=\phi$  $_{T}$  $_{0}$ (t)             所有t

周期信号的线频谱

一周期信号

            $\phi$  $_{T}$  $_{0}$ (t)= $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}e^{j2n\pi f_{0}t}$

         其中 $f_{0}$ = ${\frac {1}{T_{0}}}$

双边频谱

                              © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

由上图知，频谱为离散型，间隔 $f_{0}$ = ${\frac {1}{T_{0}}}$ 。当 $T_{0}$ 增大时， $f_{0}$ 会变小，故间隔会缩小。

频率与角频率

所谓的频域，有人喜欢用频率f，单位为 $\mathrm {H} \mathrm {Z}$ ；有人喜欢用角频率 $\omega$ ，单位为 ${\frac {rad}{sec}}$ 苦命的我们只好两种都学啰!

$\omega$ 与f之关系为 : $\omega$ =2 $\pi$ f。

在第四章中，所有公式都以 $\omega$ 为主，因为只要用 $\omega$ =2 $\pi$ f即可容易的转换成f；在本章中，必要时我们将两种公式并列，让同学清楚其差异处!

非周期信号的频域特性

非周期信号

           $x(t)$ = $\lim _{T_{0}\to \infty }\phi$  $_{T}$  $_{0}$ (t)= $\lim _{T_{0}\to \infty }$  $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}e^{j2n\pi f_{0}t}$ 
          $\rightarrow$ 其中 $\mathrm {X} _{n}$ = ${\frac {1}{T_{0}}}$  $\int _{T_{0}}^{}x(t)$  $e^{-j2n\pi f_{0}t}\,dt$

我们知道周期信号的频谱为离散型线频谱；而非周期信号必须取 $T_{0}$ $\rightarrow$ $\infty$ $\Rightarrow$ $f_{0}$ $\rightarrow$ 0，故变成连续型频谱。又

$\lim _{T_{0}\to \infty }$ $\mid \mathrm {X} _{n}\mid$ = $\lim _{T_{0}\to \infty }$ $\mid {\frac {1}{T_{0}}}$ $\int _{T_{0}}^{}x(t)$ $e^{-j2n\pi f_{0}t}\,dt\mid$ $\leq \lim _{T_{0}\to \infty }$ ${\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}\mid \mathrm {X} (t)\mid dt\rightarrow$ 0

周期信号的连续型频谱

-连续型频谱 $\mathrm {X} _{R}(f)$ 可表示成：

           $\mathrm {X} _{R}(f)$ = $\mid \mathrm {X} _{R}(f)\mid e[j\angle \mathrm {X} _{R}(f)]$

           其中 $\mid \mathrm {X} _{R}(f)\mid$ 為連續型振幅密度頻譜
              $\angle \mathrm {X} _{R}(f)$ 為連續型相位頻譜

连续型幅度(密度)频谱

$\mid \mathrm {X} _{R}(f)\mid$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\mid X_{n}\mid }{\triangle f}}$ rect[(f-n $\triangle f$ )] / $\triangle f$ 其中 $\triangle f\equiv f_{0}$ = ${\frac {1}{T_{0}}}$

                         © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

连续型幅度(密度)频谱(续)

            $\mid \mathrm {X} _{R}(f)\mid$ 為一連續型函數。
          因為採用 ${\frac {\mid X_{n}\mid }{\triangle f}}$ ，故稱為振幅密度函數。
          $\lim _{T_{0}\to \infty }{\frac {\mid X_{n}\mid }{\triangle f}}$ 不會趨近於0(已知 $\lim _{T_{0}\to \infty }{\mid X_{n}\mid }\rightarrow$ 0)。

连续型相位频谱

$\angle \mathrm {X} _{R}(f)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }\angle \mathrm {X} _{n}$ rect[(f-n $\triangle f$ ) / $\triangle f]$

                           © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

非周期信号频谱

由于 $x(t)$ = $\lim _{T_{0}\to \infty }\Phi$ $_{T}$ $_{0}$ (t)

              故可定義非週期訊號的密度頻譜為 $\mathrm {X} _{(}f)\equiv \lim _{T_{0}\to \infty }\mathrm {X} _{R}(f)$

当 $f=n\triangle f$ 时 $\mathrm {X} (n\triangle f)$ = $\lim _{T_{0}\to \infty }\mathrm {X} _{R}(n\triangle f)$

         其中 $\mid \mathrm {X} _{R}(n\triangle f)\mid$ = $\mid \mathrm {X} _{n}\mid$  /  $\triangle f$ = $\mathrm {T} _{0}\mid \mathrm {X} _{n}\mid$ 
                 $\angle \mathrm {X} _{R}(n\triangle f)$ = $\angle \mathrm {X} _{n}$ 
           故 $\mathrm {X} (n\triangle f)$ = $\lim _{T_{0}\to \infty }\mathrm {T} _{0}\mid \mathrm {X} _{n}\mid e(j\angle \mathrm {X} _{n})$ 
         = $\lim _{T_{0}\to \infty }\mathrm {T} _{0}\mathrm {X} _{n}$ 
         = $\lim _{T_{0}\to \infty }$  $\int _{-{\frac {T_{0}}{2}}}^{\frac {T_{0}}{2}}e^{-j2n\pi \triangle ft}\ dt$

非周期信号频谱(续)

$\mathrm {T} _{0}\to \infty \Rightarrow \Delta f\to 0$ 故对于任意频率 $f$ 均可找到一无穷大整数 $n$ 使得 $f=n\Delta f$ 令任意频率 $f=n\Delta f$ 代入上式可得 $\Rightarrow \mathrm {X} (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$ 我们称 $\mathrm {X} (f)$ 为非周期信号 $\mathrm {X} (t)$ 的傅里叶转换(Fourier transform)

                  $\mid \mathrm {X} (f)\mid$  為雙邊振幅(密度)頻譜(double-sided amplitude (density) spectrum) 
                   $\angle \mathrm {X} (f)$  為雙邊相位頻譜(double-sided  phase spectrum)

傅里叶逆转换(inverse Fourier transform)

由 $\mathrm {X} _{R}(f)$ 的定义知： $\mathrm {X} _{R}(n\Delta f)$ = ${\frac {\mid \mathrm {X} _{n}\mid }{\Delta f}}exp(j\angle \mathrm {X} _{n})$ $\Rightarrow (\Delta f)\mathrm {X} _{R}(n\Delta f)=\mathrm {X} _{n}$ $\phi _{T0}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {X} _{n}e^{j2n\pi f_{0}t}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {X} _{R}(n\Delta f)e^{j2n\pi \Delta ft}\Delta f$

$\mathrm {X} (t)=\lim _{T_{0}\to \infty }\phi _{T0}(t)=\lim _{T_{0}\to \infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {X} _{R}(n\Delta f)e^{j2n\pi \Delta ft}\Delta f$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} (f)e^{j2\pi ft}\,df$

傅里叶转换公式(使用f)

$\mathrm {X} (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt\equiv \Im {\begin{Bmatrix}\chi (t)\end{Bmatrix}}$

$\chi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} (f)e^{j2\pi ft}\,df\equiv \Im ^{-1}{\begin{Bmatrix}\mathrm {X} (f)\end{Bmatrix}}$ 一般使用 $\chi (t)\leftrightarrow \mathrm {X} (f)$ 来表示 $\chi (t)$ 的傅里叶转换为 $\mathrm {X} (f)$ ，而 $\mathrm {X} (f)$ 的傅里叶逆转换为 $\chi (t)$ 。

傅里叶转换公式(使用 $\omega$ )

用角频率 $\omega$ )的公式 $\chi (t)$ 的傅里叶转换 $\mathrm {X} _{\omega }(\omega )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j\omega t}\,dt=\mathrm {X} ({\frac {\omega }{2\pi }})$

$\chi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} (f)e^{j2\pi ft}\,df$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} {\frac {\omega }{2\pi }}e^{j\omega t}\,d{\frac {\omega }{2\pi }}$

$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} _{\omega }(\omega )e^{j\omega t}\,d(\omega )$