訊號與系統/由傅立葉級數到傅立葉轉換

1. 臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 當前用字模式下顯示為→方向導數
2. 臺灣：積分形式；大陆：积分形式； 當前用字模式下顯示為→積分形式
3. 臺灣：微分形式；大陆：微分形式； 當前用字模式下顯示為→微分形式
4. 臺灣：約束；大陆：约束； 當前用字模式下顯示為→約束
5. 原始語言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 當前用字模式下顯示為→鮑萊耳
6. 原始語言：Christoffel；臺灣：克里斯多福；大陆：克里斯托费尔； 當前用字模式下顯示為→克里斯多福
7. 原始語言：Clifford；臺灣：克里福；大陆：克利福德； 當前用字模式下顯示為→克里福
8. 原始語言：Eratosthenes；大陆：埃拉托斯特尼；臺灣：埃拉托斯特尼；香港：愛拉托散尼； 當前用字模式下顯示為→埃拉托斯特尼
9. 原始語言：Fourier；臺灣：傅立葉；大陆：傅里叶； 當前用字模式下顯示為→傅立葉
10. 原始語言：Frobenius；臺灣：弗比尼斯；大陆：弗罗贝尼乌斯； 當前用字模式下顯示為→弗比尼斯
11. 原始語言：Hausdorff；臺灣：郝斯多夫；大陆：豪斯多夫； 當前用字模式下顯示為→郝斯多夫
12. 原始語言：Levi-Civita；臺灣：勒維奇維塔；大陆：列维-奇维塔； 當前用字模式下顯示為→勒維奇維塔
13. 原始語言：L'Hôpital；臺灣：羅必達；香港：洛必達；大陆：洛必达； 當前用字模式下顯示為→羅必達
14. 原始語言：Markov；臺灣：馬可夫；大陆：马尔可夫； 當前用字模式下顯示為→馬可夫
15. 原始語言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 當前用字模式下顯示為→卜瓦松
16. 原始語言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 當前用字模式下顯示為→勒壤得
17. 原始語言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 當前用字模式下顯示為→施瓦次
18. 原始語言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 當前用字模式下顯示為→艾禮富
19. 原始語言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 當前用字模式下顯示為→艾禮富數
20. 原始語言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 當前用字模式下顯示為→代數相依
21. 原始語言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 當前用字模式下顯示為→代數獨立
22. 原始語言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 當前用字模式下顯示為→代數閉體
23. 原始語言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 當前用字模式下顯示為→自守式
24. 原始語言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 當前用字模式下顯示為→對射
25. 原始語言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 當前用字模式下顯示為→束
26. 原始語言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 當前用字模式下顯示為→中央極限定理
27. 原始語言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 當前用字模式下顯示為→古典群
28. 原始語言：Closed graph theorem；臺灣：閉圖定理；大陆：闭图像定理； 當前用字模式下顯示為→閉圖定理
29. 原始語言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 當前用字模式下顯示為→餘調
30. 原始語言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 當前用字模式下顯示為→複數平面
31. 原始語言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 當前用字模式下顯示為→複指數
32. 原始語言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 當前用字模式下顯示為→複結構
33. 原始語言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 當前用字模式下顯示為→互質
34. 原始語言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 當前用字模式下顯示為→共變異數
35. 原始語言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 當前用字模式下顯示為→分圓體
36. 原始語言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 當前用字模式下顯示為→導來代數
37. 原始語言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 當前用字模式下顯示為→導來函子
38. 原始語言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 當前用字模式下顯示為→導來集
39. 原始語言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 當前用字模式下顯示為→受制收斂定理
40. 原始語言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 當前用字模式下顯示為→固有函數
41. 原始語言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 當前用字模式下顯示為→擴張體
42. 原始語言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 當前用字模式下顯示為→費氏數列
43. 原始語言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 當前用字模式下顯示為→體擴張
44. 原始語言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 當前用字模式下顯示為→體論
45. 原始語言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 當前用字模式下顯示為→有限體
46. 原始語言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 當前用字模式下顯示為→碎形
47. 原始語言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 當前用字模式下顯示為→大域體
48. 原始語言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 當前用字模式下顯示為→線性相依
49. 原始語言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 當前用字模式下顯示為→線性獨立
50. 原始語言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 當前用字模式下顯示為→局部體
51. 原始語言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 當前用字模式下顯示為→單位元素
52. 原始語言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 當前用字模式下顯示為→反元素
53. 原始語言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 當前用字模式下顯示為→最小平方
54. 原始語言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 當前用字模式下顯示為→馬可夫鏈
55. 原始語言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 當前用字模式下顯示為→均值定理
56. 原始語言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 當前用字模式下顯示為→數體
57. 原始語言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 當前用字模式下顯示為→範數
58. 原始語言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 當前用字模式下顯示為→賦範
59. 原始語言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 當前用字模式下顯示為→有序體
60. 原始語言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 當前用字模式下顯示為→正交補餘
61. 原始語言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 當前用字模式下顯示為→最佳化
62. 原始語言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 當前用字模式下顯示為→路徑連通
63. 原始語言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 當前用字模式下顯示為→質理想
64. 原始語言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 當前用字模式下顯示為→質數
65. 原始語言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 當前用字模式下顯示為→質環
66. 原始語言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 當前用字模式下顯示為→機率
67. 原始語言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 當前用字模式下顯示為→二次體
68. 原始語言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 當前用字模式下顯示為→實數軸
69. 原始語言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 當前用字模式下顯示為→實閉體
70. 原始語言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 當前用字模式下顯示為→遞迴
71. 原始語言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 當前用字模式下顯示為→遞迴關係
72. 原始語言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 當前用字模式下顯示為→純量
73. 原始語言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 當前用字模式下顯示為→純量曲率
74. 原始語言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 當前用字模式下顯示為→和式號
75. 原始語言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 當前用字模式下顯示為→單純群
76. 原始語言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 當前用字模式下顯示為→單純李氏群
77. 原始語言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 當前用字模式下顯示為→單體
78. 原始語言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 當前用字模式下顯示為→單體複形
79. 原始語言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 當前用字模式下顯示為→奇異點
80. 原始語言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 當前用字模式下顯示為→分裂體
81. 原始語言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 當前用字模式下顯示為→子體
82. 原始語言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 當前用字模式下顯示為→切線束
83. 原始語言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 當前用字模式下顯示為→均勻有界原理
84. 原始語言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 當前用字模式下顯示為→均勻連續
85. 原始語言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 當前用字模式下顯示為→均勻收斂
86. 原始語言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 當前用字模式下顯示為→均勻範數
87. 原始語言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 當前用字模式下顯示為→均勻空間
88. 原始語言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 當前用字模式下顯示為→聯集
89. 原始語言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 當前用字模式下顯示為→么正空間
90. 原始語言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 當前用字模式下顯示為→么正群
91. 原始語言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 當前用字模式下顯示為→么正矩陣
92. 原始語言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 當前用字模式下顯示為→變異數
93. 原始語言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 當前用字模式下顯示為→貝氏定理

週期訊號與非週期訊號

傅立葉級數表示式 $\phi _{T0}$(t)=$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}e^{jnw_{0}t}$

代表一週期為$\mathrm {T} _{0}$之週期訊號，其中$w_{0}={\frac {2\pi }{T_{0}}}$。

當$x(t)$為一週期訊號，基本週期為$\mathrm {T} _{0}$，則$x(t)$可表示成傅立葉級數，即 :$x(t)$=$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}e^{jnw_{0}t}$ 所有 t

當$x(t)$為非週期訊號時，傅立葉級數表示式$\phi$$_{T}$$_{0}$(t)只能表示$t\in [{\frac {-T_{0}}{2}}$ ，${\frac {T_{0}}{2}}$]範圍內之$x(t)$，即 :

$x(t)$=$\phi$$_{T}$$_{0}$(t)

$t\in [{\frac {-T_{0}}{2}}$ ，${\frac {T_{0}}{2}}$]

$x(t)$$\neq$$\phi$$_{T}$$_{0}$(t)

$t\not \in [{\frac {-T_{0}}{2}}$ ，${\frac {T_{0}}{2}}$]

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非週期訊號與傅立葉級數之關係

                       © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

由上圖可知 :

$x(t)$=$\phi$$_{T}$$_{1}$(t)

$t\in [{\frac {-T_{0}}{2}}$ ，${\frac {T_{0}}{2}}$]

$x(t)$$\neq$$\phi$$_{T}$$_{0}$(t)

$t\not \in [{\frac {-T_{0}}{2}}$ ，${\frac {T_{0}}{2}}$]

              $\Rightarrow$$x(t)$=$\lim _{T_{0}\to \infty }x(t)=\phi$$_{T}$$_{0}$(t)             所有t

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週期訊號的線頻譜

一週期訊號

           $\phi$$_{T}$$_{0}$(t)=$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}e^{j2n\pi f_{0}t}$

         其中$f_{0}$=${\frac {1}{T_{0}}}$

雙邊頻譜

                              © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

由上圖知，頻譜為離散型，間隔 $f_{0}$=${\frac {1}{T_{0}}}$。當 $T_{0}$增大時，$f_{0}$會變小，故間隔會縮小。

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頻率與角頻率

所謂的頻域，有人喜歡用頻率f，單位為$\mathrm {H} \mathrm {Z}$；有人喜歡用角頻率$\omega$，單位為${\frac {rad}{sec}}$苦命的我們只好兩種都學囉!

$\omega$與f之關係為 : $\omega$=2$\pi$f。

在第四章中，所有公式都以$\omega$為主，因為只要用$\omega$=2$\pi$f即可容易的轉換成f；在本章中，必要時我們將兩種公式並列，讓同學清楚其差異處!

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非週期訊號的頻域特性

非週期訊號

          $x(t)$=$\lim _{T_{0}\to \infty }\phi$$_{T}$$_{0}$(t)=$\lim _{T_{0}\to \infty }$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}e^{j2n\pi f_{0}t}$
         $\rightarrow$其中$\mathrm {X} _{n}$=${\frac {1}{T_{0}}}$$\int _{T_{0}}^{}x(t)$$e^{-j2n\pi f_{0}t}\,dt$

我們知道週期訊號的頻譜為離散型線頻譜；而非週期訊號必須取$T_{0}$$\rightarrow$$\infty$ $\Rightarrow$$f_{0}$$\rightarrow$0，故變成連續型頻譜。 又

$\lim _{T_{0}\to \infty }$$\mid \mathrm {X} _{n}\mid$=$\lim _{T_{0}\to \infty }$$\mid {\frac {1}{T_{0}}}$$\int _{T_{0}}^{}x(t)$$e^{-j2n\pi f_{0}t}\,dt\mid$ $\leq \lim _{T_{0}\to \infty }$${\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}\mid \mathrm {X} (t)\mid dt\rightarrow$0

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週期訊號的連續型頻譜

-連續型頻譜$\mathrm {X} _{R}(f)$可表示成：

          $\mathrm {X} _{R}(f)$=$\mid \mathrm {X} _{R}(f)\mid e[j\angle \mathrm {X} _{R}(f)]$

           其中$\mid \mathrm {X} _{R}(f)\mid$為連續型振幅密度頻譜
             $\angle \mathrm {X} _{R}(f)$為連續型相位頻譜

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連續型振幅(密度)頻譜

$\mid \mathrm {X} _{R}(f)\mid$=$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\mid X_{n}\mid }{\triangle f}}$rect[(f-n$\triangle f$)] / $\triangle f$ 其中$\triangle f\equiv f_{0}$=${\frac {1}{T_{0}}}$

                         © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

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連續型振幅(密度)頻譜(續)

           $\mid \mathrm {X} _{R}(f)\mid$為一連續型函數。
          因為採用${\frac {\mid X_{n}\mid }{\triangle f}}$，故稱為振幅密度函數。
         $\lim _{T_{0}\to \infty }{\frac {\mid X_{n}\mid }{\triangle f}}$不會趨近於0(已知$\lim _{T_{0}\to \infty }{\mid X_{n}\mid }\rightarrow$0)。

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連續型相位頻譜

$\angle \mathrm {X} _{R}(f)$=$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\angle \mathrm {X} _{n}$rect[(f-n$\triangle f$) / $\triangle f]$

                           © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.
                          

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非週期訊號頻譜

由於$x(t)$=$\lim _{T_{0}\to \infty }\Phi$$_{T}$$_{0}$(t)

              故可定義非週期訊號的密度頻譜為$\mathrm {X} _{(}f)\equiv \lim _{T_{0}\to \infty }\mathrm {X} _{R}(f)$ 

當$f=n\triangle f$時 $\mathrm {X} (n\triangle f)$ =$\lim _{T_{0}\to \infty }\mathrm {X} _{R}(n\triangle f)$

         其中$\mid \mathrm {X} _{R}(n\triangle f)\mid$=$\mid \mathrm {X} _{n}\mid$ / $\triangle f$=$\mathrm {T} _{0}\mid \mathrm {X} _{n}\mid$
                $\angle \mathrm {X} _{R}(n\triangle f)$=$\angle \mathrm {X} _{n}$
           故$\mathrm {X} (n\triangle f)$=$\lim _{T_{0}\to \infty }\mathrm {T} _{0}\mid \mathrm {X} _{n}\mid e(j\angle \mathrm {X} _{n})$
         =$\lim _{T_{0}\to \infty }\mathrm {T} _{0}\mathrm {X} _{n}$
         =$\lim _{T_{0}\to \infty }$$\int _{-{\frac {T_{0}}{2}}}^{\frac {T_{0}}{2}}e^{-j2n\pi \triangle ft}\ dt$

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非週期訊號頻譜(續)

$\mathrm {T} _{0}\to \infty \Rightarrow \Delta f\to 0$ 故對於任意頻率 $f$ 均可找到一無窮大整數 $n$ 使得$f=n\Delta f$ 令任意頻率$f=n\Delta f$代入上式可得 $\Rightarrow \mathrm {X} (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$ 我們稱$\mathrm {X} (f)$為非週期訊號$\mathrm {X} (t)$的傅立葉轉換(Fourier transform)

                 $\mid \mathrm {X} (f)\mid$ 為雙邊振幅(密度)頻譜(double-sided amplitude (density) spectrum) 
                  $\angle \mathrm {X} (f)$ 為雙邊相位頻譜(double-sided  phase spectrum)

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傅立葉逆轉換(inverse Fourier transform)

由 $\mathrm {X} _{R}(f)$ 的定義知：$\mathrm {X} _{R}(n\Delta f)$ = ${\frac {\mid \mathrm {X} _{n}\mid }{\Delta f}}exp(j\angle \mathrm {X} _{n})$ $\Rightarrow (\Delta f)\mathrm {X} _{R}(n\Delta f)=\mathrm {X} _{n}$ $\phi _{T0}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {X} _{n}e^{j2n\pi f_{0}t}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {X} _{R}(n\Delta f)e^{j2n\pi \Delta ft}\Delta f$

$\mathrm {X} (t)=\lim _{T_{0}\to \infty }\phi _{T0}(t)=\lim _{T_{0}\to \infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {X} _{R}(n\Delta f)e^{j2n\pi \Delta ft}\Delta f$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} (f)e^{j2\pi ft}\,df$

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傅立葉轉換公式(使用f)

$\mathrm {X} (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt\equiv \Im {\begin{Bmatrix}\chi (t)\end{Bmatrix}}$

$\chi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} (f)e^{j2\pi ft}\,df\equiv \Im ^{-1}{\begin{Bmatrix}\mathrm {X} (f)\end{Bmatrix}}$ 一般使用$\chi (t)\leftrightarrow \mathrm {X} (f)$來表示$\chi (t)$的傅立葉轉換為$\mathrm {X} (f)$，而$\mathrm {X} (f)$的傅立葉逆轉換為$\chi (t)$ 。

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傅立葉轉換公式(使用$\omega$)

用角頻率$\omega$)的公式 $\chi (t)$的傅立葉轉換 $\mathrm {X} _{\omega }(\omega )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j\omega t}\,dt=\mathrm {X} ({\frac {\omega }{2\pi }})$

$\chi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} (f)e^{j2\pi ft}\,df$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} {\frac {\omega }{2\pi }}e^{j\omega t}\,d{\frac {\omega }{2\pi }}$

$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} _{\omega }(\omega )e^{j\omega t}\,d(\omega )$

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