信号与系统/信号频谱

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信号频谱(spectrum)

频谱:

信号在频域的表示称为频谱。分为幅度频谱(amplitude spectrum) $A(f)$ 与相位频谱(phase spectrum) $Ph(f)$ 两部分。

$x(t)=3cos[2\pi (10)t-{\frac {\pi }{3}}]$

图出处©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

线频谱(line spectra) ：

当 $A(f)$ 与 $Ph(f)$ 为离散频率(discrete-frequency)函数时，此类频谱称为线频谱。(如上页图例) 。

单边频谱(single-sided spectra) ：

当 $A(f)$ 与 $Ph(f)$ 两频谱只存在 $f>0$ 的部分。称为单边频谱。(如上页图例)。

范例4.2

图出处©余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。请绘出弦波信号 $x(t)=3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}})$ 的单边频谱。

【解】此信号之幅度大小为3、频率为1000Hz相位为 ${\frac {\pi }{6}}$ 。

弦波信号的单边频谱

范例4.3

请绘出弦波信号 $x(t)=-3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}})$ 的单边频谱。

【解】 (1)信号的幅度大小要为正值，因此将信号表示式改写成：

$x(t)=-3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}})$

$=3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}}+\pi )$

$=3cos(2000\pi +{\frac {7\pi }{6}})$

或

$x(t)=-3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}})$

$=3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}}-\pi )$

$=3cos(2000\pi -{\frac {5\pi }{6}})$

图出处©余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。

(2)信号x(t)之幅度大小为3，频率为1000Hz以及相位为 ${\frac {7\pi }{6}}$ 或 ${\frac {-5\pi }{6}}$ ，下图显示这两种频谱。

弦波信号的单边频谱注意：此两种表示其数学上完全相等

范例4.4

请绘出下列信号的单边频谱。

$x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+{\frac {\pi }{4}})$

【解】

改写信号表示式

$x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+{\frac {\pi }{4}})$ = $3cos(2000\pi t)+2cos(3000\pi t-{\frac {\pi }{2}})+4cos(4000\pi t+{\frac {\pi }{4}})$

信号由三个余弦信号组合而成，幅度大小分别为3、2与4；频率分别为1000、1500与2000 Hz；以及相位分别为0、 $-{\frac {\pi }{2}}$ 与 ${\frac {\pi }{4}}$ 。

图出处©余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。

范例4.5

请绘出信号 $x(t)=3cos(2000\pi t)+4sin(2000\pi t)$ 单边频谱。

【解】信号可改写成 $x(t)=3cos(2000\pi t)+4cos(2000\pi t-{\frac {\pi }{2}})$ ，表示成由二个余弦信号组合而成，但其频率皆为1000 Hz，因此必须合并。注意到cos(.)为非线性函数，二个余弦的幅度大小与相位无法直接相加，因此将信号表示式改写成：

$x(t)=3cos(2000\pi t)+4sin(2000\pi t)$

$={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}[cos(2000\pi t){\frac {3}{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}}+sin(2000\pi t){\frac {4}{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}}]$

$=5[cos(2000\pi t)cos\phi +sin(2000\pi t)sin\phi ]$

$=5cos(2000\pi t-\phi )$ ， $\phi =tan^{-1}{\frac {4}{3}}$

图出处©余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。

范例4.6

请绘出以下信号的单边频谱 x(t)= $3cos(1000\pi t)-2sin(3000\pi t)-4cos(4000\pi t+{\frac {\pi }{4}})$

【解】 (1)可将信号表示式改写成

x(t)= $3cos(1000\pi t)-2sin(3000\pi t)-4cos(4000\pi t+{\frac {\pi }{4}})+cos(6000\pi t)-sin(6000\pi t)$ $=3cos(1000\pi t)+2cos(3000\pi t+{\frac {\pi }{2}})+4cos(4000\pi t+{\frac {5\pi }{4}})+{\sqrt {2}}cos(6000\pi t+{\frac {\pi }{4}})$

(2)由改写后的信号表示式可知是由4个余弦信号组合而成，其幅度大小分别为3、2、4与 ${\sqrt {2}}$ ；而其频率分别为500、1500、2000 Hz与3000 Hz；以及其相位分别为0、 ${\frac {\pi }{2}}$ 、 ${\frac {5\pi }{4}}$ 与 ${\frac {\pi }{4}}$ 。

图出处©余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。

双边频谱

有别于用余弦(cosine)信号所形成的单边频谱；根据尤拉公式(Euler equation) ，可将余弦信号写成两个相同大小(magnitude) 但反方向等速旋转的相量(phasor)的和。即

$x(t)=A_{x}cos(2\pi f_{x}t+\theta _{x})$ $={\frac {A_{x}}{2}}e^{j\theta _{x}}e^{j2\pi f_{x}t}+{\frac {A_{x}}{2}}e^{j-\theta _{x}}e^{-j2\pi f_{x}t}$ $=[{\frac {A_{x}}{2}}e^{j\theta _{x}}]e^{j2\pi f_{x}t}+[{\frac {A_{x}}{2}}e^{-j\theta _{x}}]e^{-j2\pi f_{x}t}$

由上式可知，一余弦信号 $x(t)$ 可表示成两个反向旋转的相量的和。第一个旋转相量每秒 $f_{x}$ 圈；第二个旋转相量每秒转 $(-f_{x})$ ，其负号是表示相反方向。

$x(t)$ 的频域表示有两种方式：

(1)采用余弦信号:

$A(f)={\begin{cases}A_{x},&{\mbox{ }}{\mbox{f=fx}}\\0,&{\mbox{ }}{\mbox{other}}\end{cases}}$

$Ph(f)={\begin{cases}\theta _{x},&{\mbox{ }}{\mbox{f=fx}}\\0,&{\mbox{ }}{\mbox{other}}\end{cases}}$

(2)采用旋转相量和：

$A(f)={\begin{cases}{\frac {A_{x}}{2}},&{\mbox{ }}{\mbox{f=fx or f=-fx}}\\0,&{\mbox{ }}{\mbox{other}}\end{cases}}$

$Ph(f)={\begin{cases}\theta _{x},&{\mbox{ }}{\mbox{f=fx}}\\0,&{\mbox{ }}{\mbox{other}}\\-\theta _{x},&{\mbox{ }}{\mbox{f=-fx}}\end{cases}}$

注意:

方式

(1)仅含 $f\geq 0$ 之频域范围，故称为单边频谱方式。

(2)频域 $f$ 包含正频率及负频率，故称为双边频谱。

范例4.7

试绘出 $x(t)=3cos[2\pi (10)t-(\pi /3)]=(1.5e^{-j\pi /3})e^{j2\pi (10)t}+(1.5e^{-j\pi /3})e^{j2\pi (-10)t}$ 之单边及双边频谱。

【解】

(1)单边频谱：

图出处©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

(2)双边频谱:

图出处©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

注意：

(1)幅度的双边频谱为一偶函数，其大小为单边幅度频谱的一半。

(2)相位的双边频谱为一奇函数，其正频率范围之大小与单边相位频谱相等。

范例4.8

请绘出以下信号的双边频谱。 $x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\pi /4)$

【解】

方式1：用尤拉公式改写信号成复指数型式

$x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\pi /4)$

$={\frac {3}{2}}(e^{j2000\pi t}+e^{-j2000\pi t})+{\frac {1}{j}}(e^{j3000\pi t}+e^{-j3000\pi t})$

+ $2(e^{j(4000\pi t)+\pi /4}+e^{j(4000\pi +\pi /4)})$

= ${\frac {3}{2}}e^{j2000\pi t}+{\frac {3}{2}}e^{-2000\pi t}+e^{-j\pi /2}e^{j3000\pi t}+e^{j\pi /2}e^{-j3000\pi t}$

+ $2e^{j(4000\pi t+\pi /4)}+2e{-j(4000\pi t+\pi /4)}$

= ${\frac {3}{2}}e^{-j2000\pi t}+{\frac {3}{2}}e{-j2000\pi t}+e{j(3000\pi t-\pi /2)}+e^{-j(3000\pi t-\pi /2)}$

+ $2e^{j(4000\pi t+\pi /4)}+2e^{-j(4000\pi t+\pi /4)}$

方式2：改写信号成余弦标准式

$x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\pi /4)$ = $3cos(2000\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi /2)+4cos(4000\pi t+\pi /4)$

由三个余弦(cos)信号组合而成，幅度大小分别为3、2与4；频率分别为1000、1500与2000 Hz；以及相位分别为0、 $-\pi /2$ 与 $\pi /4$ ，再绘出对应的双边频谱。

范例4.9

$x(t)=(3{\sqrt {2}})cos[2\pi (10)t+(\pi /4)]+(3/{\sqrt {2}})cos[2\pi (10)t-(\pi /4)]$ + $(1/{\sqrt {2}})cos[2\pi (15)t]+(1/{\sqrt {2}})sin[2\pi (15)t]$ - $2sin[2\pi (20)t-(\pi /6)]$