逻辑通路/两平面向量所夹面积

假设我们要计算由

$\overrightarrow{u}=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$ 与 $\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]$

所围成的平行四边形面积（有向面积），我们可以选择将 $\overrightarrow{v}$ 分解成：

$\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right]$

并计算出 $y$ 的大小，这样我们就可以利用“底×高”算出平行四边形的面积。

计算 y

如果我们将

$\overrightarrow{v}$ 与 $\left[\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right]$

作内积，则我们可以得到：

$\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right]=(x\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right])\cdot \left[\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right]$

$ad-bc=y(a^2+b^2)$

如果我们假设：

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

则：

$y=\frac{\left|\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right|}{r^2}$

（注意：y 有正负号）

计算有向面积

利用“底×高”，我们可以得到：

$r\cdot yr=y{r}^2=\left|\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right|$