初中数学/七年级上册

第一章 有理数

在小学的学习当中，我们从日常生活出发，学习了自然数、小数、分数、百分数及其运算，还学习了负数。在日常生活当中，只知道负数是不够用的，还要学会算负数。在小学，我们做卷子的时候会做出类似于这样的题目：

以下是某小组同学的跳绳成绩，以180个每分钟为0计：

序号	1	2	3	4	5	6	7	8
个数	-1	-2	5	-3	10	-13	17	-5

求这个小组每人平均每分钟跳多少个。在小学，我们通常这样计算：${\begin{aligned}{\text{个 数 }}&=[(180-1)+(180-2)+(180+5)+(180-3)+(180+10)+(180-13)+(180+17)+(180-5)]\div 8\\&=[179+178+185+177+190+167+197+175]\div 8\\&=181{\text{（ 个 ）}}\end{aligned}}$

或者更简便：$180+(5-1-2+10-3+17-13-5)\div 8=181$（个）

而到了初中，我们会尝试使用负数进行计算。

1.1 正数和负数

见小学数学/六年级下册#1。

1.2 有理数

1.2.1 有理数的概念

我们学过正整数，如$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5...$；0；负整数，如$-1,\ -2,\ -3,\ -4,\ -5...$，这些数统称为整数。

我们还学习过正分数，如${\frac {1}{2}},\ {\frac {3}{4}}...$；负分数，如$-{\frac {1}{2}},\ -{\frac {3}{4}}...$这些都是分数。

进一步地，整数可以写成分数，例如$2\rightarrow {\frac {2}{1}},\ 1\rightarrow {\frac {1}{1}},\ 0\rightarrow {\frac {0}{1}},\ -1\rightarrow -{\frac {1}{1}},\ -2\rightarrow -{\frac {2}{1}}$。这样，整数就可以写成分数的形式。

可以写成分数形式的数叫做有理数(rational number)。其中，正数叫做正有理数，负数叫做负有理数。

例1：指出下列各数中的正有理数，负有理数，整数：

$14,\ 1234\ -1234,\ -1.343241,\ -{\frac {124234}{124}},\ 14.09804,\ {\frac {1234}{23}},\ -70,\ 1.{\dot {2}},\ \pi$

正有理数：________，负有理数：________，整数：________（填第几个）。

答案：正有理数：1、2、6、7、9，负有理数：3、5、6、8，整数：1、2、3、8。（请选中文本进行阅读。）

1.2.2 数轴

在一条直线上随便取一原点(Origin)O为基准点，规定1单位长度为任意数（最好取整，例如1，10，100等），再用0表示O。通常，负数在0左边或下面，正数在0右边或上面。这样，我们就用一条线表示了所有有理数。

原点将数轴分为两部分（不含0），其中正方向一侧为正半轴（图中蓝色部分），负方向一侧为负半轴（图中红色部分）。

数轴三要素：

• 原点
• 单位长度表示的数值
• 数变大变小的方向（只用写一个箭头，不用两边都写）

1.2.3 相反数

在数轴上，与原点距离相等的数总是有2个，这两个数只有符号不同，数量相同。设$a$为任意数，则$a$和$-a$互为相反数。0的相反数为0。

所以说，在一个数前面添上“$-$”号，就得到这个数的相反数。例：$-(+5)\rightarrow -5,\ -(-5)\rightarrow 5,\ -0\rightarrow 0$。

例3

1. 分别写出$-10$和${\frac {3}{4}}$的相反数。
2. 设$a$的相反数为$-2.4$，求$a$的值。

答案：1. 10 -3/4 2. -(-2.4)=24。

1.2.4 绝对值

在数轴上，互为相反数的两个数（0除外）只有符号不同，这两个数的相同部分就是两数到原点的距离，即绝对值，记作$|a|$。$|0|=0$。

求绝对值（此处假设里面只是一个数，不是算式）：去掉符号。例：${\big |}-[-(-1)]{\big |}=1,\ {\big |}+[-(+0.1)]{\big |}=0.1$

例4 写出$1,\ -0.5,\ -{\frac {3}{4}}$的绝对值。

答案：1 0.5 3/4

1.2.5 有理数的大小比较

在水平的0数轴上表示有理数，一般地，从左向右的数是从小到大的，即右边的数永远大于左边的数，由此可得：

$\ldots <-6<-5<-4<-3<-2<-1<-0.5<-0.1<0<0.1<0.5<1<2<3<4<5<6\ldots$

一般地，

• ${\text{正 数 }}>0>{\text{负 数 ， 正 数 }}>{\text{负 数 }}$。
• 两个负数，绝对值大的反而小。

例5 比较大小（从大到小，用大于号连接）：$-1,\ 151234,\ -345,\ \pi ,\ -\pi ,-1234\%,\ +{\frac {14}{23}},\ 0$

答案：第二个>第四个>第七个>第八个>第一个>第五个>第六个>第三个