初中數學/七年級上冊

第一章 有理數

在小學的學習當中，我們從日常生活出發，學習了自然數、小數、分數、百分數及其運算，還學習了負數。在日常生活當中，只知道負數是不夠用的，還要學會算負數。在小學，我們做卷子的時候會做出類似於這樣的題目：

以下是某小組同學的跳繩成績，以180個每分鐘為0計：

序號	1	2	3	4	5	6	7	8
個數	-1	-2	5	-3	10	-13	17	-5

求這個小組每人平均每分鐘跳多少個。在小學，我們通常這樣計算：${\begin{aligned}{\text{个 数 }}&=[(180-1)+(180-2)+(180+5)+(180-3)+(180+10)+(180-13)+(180+17)+(180-5)]\div 8\\&=[179+178+185+177+190+167+197+175]\div 8\\&=181{\text{（ 个 ）}}\end{aligned}}$

或者更簡便：$180+(5-1-2+10-3+17-13-5)\div 8=181$（個）

而到了初中，我們會嘗試使用負數進行計算。

1.1 正數和負數

見小學數學/六年級下冊#1。

1.2 有理數

1.2.1 有理數的概念

我們學過正整數，如$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5...$；0；負整數，如$-1,\ -2,\ -3,\ -4,\ -5...$，這些數統稱為整數。

我們還學習過正分數，如${\frac {1}{2}},\ {\frac {3}{4}}...$；負分數，如$-{\frac {1}{2}},\ -{\frac {3}{4}}...$這些都是分數。

進一步地，整數可以寫成分數，例如$2\rightarrow {\frac {2}{1}},\ 1\rightarrow {\frac {1}{1}},\ 0\rightarrow {\frac {0}{1}},\ -1\rightarrow -{\frac {1}{1}},\ -2\rightarrow -{\frac {2}{1}}$。這樣，整數就可以寫成分數的形式。

可以寫成分數形式的數叫做有理數(rational number)。其中，正數叫做正有理數，負數叫做負有理數。

例1：指出下列各數中的正有理數，負有理數，整數：

$14,\ 1234\ -1234,\ -1.343241,\ -{\frac {124234}{124}},\ 14.09804,\ {\frac {1234}{23}},\ -70,\ 1.{\dot {2}},\ \pi$

正有理數：________，負有理數：________，整數：________（填第幾個）。

答案：正有理數：1、2、6、7、9，負有理數：3、5、6、8，整數：1、2、3、8。（請選中文本進行閱讀。）

1.2.2 數軸

在一條直線上隨便取一原點(Origin)O為基準點，規定1單位長度為任意數（最好取整，例如1，10，100等），再用0表示O。通常，負數在0左邊或下面，正數在0右邊或上面。這樣，我們就用一條線表示了所有有理數。

原點將數軸分為兩部分（不含0），其中正方向一側為正半軸（圖中藍色部分），負方向一側為負半軸（圖中紅色部分）。

數軸三要素：

• 原點
• 單位長度表示的數值
• 數變大變小的方向（只用寫一個箭頭，不用兩邊都寫）

1.2.3 相反數

在數軸上，與原點距離相等的數總是有2個，這兩個數只有符號不同，數量相同。設$a$為任意數，則$a$和$-a$互為相反數。0的相反數為0。

所以說，在一個數前面添上「$-$」號，就得到這個數的相反數。例：$-(+5)\rightarrow -5,\ -(-5)\rightarrow 5,\ -0\rightarrow 0$。

例3

1. 分別寫出$-10$和${\frac {3}{4}}$的相反數。
2. 設$a$的相反數為$-2.4$，求$a$的值。

答案：1. 10 -3/4 2. -(-2.4)=24。

1.2.4 絕對值

在數軸上，互為相反數的兩個數（0除外）只有符號不同，這兩個數的相同部分就是兩數到原點的距離，即絕對值，記作$|a|$。$|0|=0$。

求絕對值（此處假設裡面只是一個數，不是算式）：去掉符號。例：${\big |}-[-(-1)]{\big |}=1,\ {\big |}+[-(+0.1)]{\big |}=0.1$

例4 寫出$1,\ -0.5,\ -{\frac {3}{4}}$的絕對值。

答案：1 0.5 3/4

1.2.5 有理數的大小比較

在水平的0數軸上表示有理數，一般地，從左向右的數是從小到大的，即右邊的數永遠大於左邊的數，由此可得：

$\ldots <-6<-5<-4<-3<-2<-1<-0.5<-0.1<0<0.1<0.5<1<2<3<4<5<6\ldots$

一般地，

• ${\text{正 数 }}>0>{\text{负 数 ， 正 数 }}>{\text{负 数 }}$。
• 兩個負數，絕對值大的反而小。

例5 比較大小（從大到小，用大於號連接）：$-1,\ 151234,\ -345,\ \pi ,\ -\pi ,-1234\%,\ +{\frac {14}{23}},\ 0$

答案：第二個>第四個>第七個>第八個>第一個>第五個>第六個>第三個