初等代数/不等式

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不等式

若两个式子或式子对数字有大小的关系，且并不一定对等时，用来表示两者间关系的式子称之

不等式的基本性质与基本证明方法

不等式的性质

不等式的证明和解法都建立在以下五个定理和三个推论的基础上

定理1

若a>b则b<a；若b<a，则a>b。

定理2

若a>b，且b>c，则a>c。

定理3

若a>b，则a+c>b+c 。

定理3的推论

若a>b，且c>d，则a+c>b+d。

定理4

若a>b，且c>0，则ac>bc；若a>b，且c<0，则ac<bc。

定理4的推论（1）

若a>b>0，且c>d>0，则ac>bd。

定理4的推论（2）

若a>b>0，则$a^{n}>b^{n}(n\in \mathbb {N}$，且n>1)。

定理5

若a>b>0，则${\sqrt[{n}]{a}}>{\sqrt[{n}]{b}}(n\in \mathbb {N}$，且n>1)。

反证法

参见反证法专栏

放缩法

参见放缩法专栏

一些初等的不等式

均值不等式

若有n个正实数$a_{1},a_{2},a_{3},......,a_{n}$，且他们的算术平均数为A，几何平均数为G，则有关系式$A\geq G$，等号成立时当且仅当$a_{1}=a_{2}=a_{3}=......=a_{n}$

证明

1. 先证明 n=2 时，即 ${\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}\geq {\sqrt {a_{1}a_{2}}}$

${\frac {(a+b)}{2}}-(ab)^{0.5}={\Bigg [}{\frac {a+b-2(ab)^{0.5}}{2}}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {(a^{0.5}-b^{0.5})^{2}}{2}}{\Bigg ]}\geq 0$

$\therefore {\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}\geq {\sqrt {a_{1}a_{2}}}$

2. 由此可推得当 n=2^k (k为自然数)时成立。即 n=2,4,8,16,32…… 时成立。（对对比较后再逐对比较，容易证明）

3. 当 n 为任意自然数的证明比较复杂巧妙。是由 2. 推得：

设$n+p=2^{k}$，$A={\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}\cdots +a_{n}}{n}}$

${\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\overbrace {A+A+A\cdots } ^{p}}{2^{k}}}\geqslant {\sqrt[{2^{k}}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdot AAA\cdots }}$

${\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+p\cdot A}{2^{k}}}\geqslant {\sqrt[{2^{k}}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdot A^{p}}}$

$\left({\frac {nA+pA}{n+p}}\right)^{n+p}\geqslant a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdot A^{p}$

$A^{n+p}\geqslant a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdot A^{p}$

$A^{n}\cdot A^{p}\geqslant a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdot A^{p}$

$A\geqslant {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}$

即${\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}}{n}}\geqslant {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}$

$\therefore$当n为任意自然数时，该命题均成立得证

柯西不等式

若有2个实数数对，且两个数对皆有n个数，现在假设这两个数对分别为$a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$和$b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n}$，则存在有关系式$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})$，或写作$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},...+a_{n}b_{n})^{2}/(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})\leq 1$。等号成立当且仅当$a_{1}/b_{1}=a_{2}/b_{2}=...=a_{n}/b_{n}$

证明

构作二次函数$f(x)=(a_{1}x-b_{1})^{2}+(a_{2}x-b_{2})^{2}+...(a_{n}x-b_{n})^{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})x^{2}-2(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},...+a_{n}b_{n})x+(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})$，由于$f(x)$的每一项都是完全平方式，它最多只有一个实根。考虑它的判别式： $(2(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},...+a_{n}b_{n}))^{2}-4(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})\leq 0$ 得到 $(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})$。 同时知道$f(x)$有实根当且仅当它的每一个完全平方式可以同时等于0，即它们的根相同，又即$a_{1}/b_{1}=a_{2}/b_{2}=...=a_{n}/b_{n}$

不等式的基本性质

不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。

不等式的解法

不等式两边可以通过同时加减乘除同一个整式的方式使不等式一边只剩下一个未知数。 具体步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项（化简），系数化为1。