初等代數/不等式

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不等式

若兩個式子或式子對數字有大小的關係，且並不一定對等時，用來表示兩者間關係的式子稱之

不等式的基本性質與基本證明方法

不等式的性質

不等式的證明和解法都建立在以下五個定理和三個推論的基礎上

定理1

若a>b則b<a；若b<a，則a>b。

定理2

若a>b，且b>c，則a>c。

定理3

若a>b，則a+c>b+c 。

定理3的推論

若a>b，且c>d，則a+c>b+d。

定理4

若a>b，且c>0，則ac>bc；若a>b，且c<0，則ac<bc。

定理4的推論（1）

若a>b>0，且c>d>0，則ac>bd。

定理4的推論（2）

若a>b>0，則$a^{n}>b^{n}(n\in \mathbb {N}$，且n>1)。

定理5

若a>b>0，則${\sqrt[{n}]{a}}>{\sqrt[{n}]{b}}(n\in \mathbb {N}$，且n>1)。

反證法

參見反証法專欄

放縮法

參見放縮法專欄

一些初等的不等式

均值不等式

若有n個正實數$a_{1},a_{2},a_{3},......,a_{n}$，且他們的算術平均數為A，幾何平均數為G，則有關係式$A\geq G$，等號成立時當且僅當$a_{1}=a_{2}=a_{3}=......=a_{n}$

證明

1. 先證明 n=2 時，即 ${\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}\geq {\sqrt {a_{1}a_{2}}}$

${\frac {(a+b)}{2}}-(ab)^{0.5}={\Bigg [}{\frac {a+b-2(ab)^{0.5}}{2}}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {(a^{0.5}-b^{0.5})^{2}}{2}}{\Bigg ]}\geq 0$

$\therefore {\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}\geq {\sqrt {a_{1}a_{2}}}$

2. 由此可推得當 n=2^k (k為自然數)時成立。即 n=2,4,8,16,32…… 時成立。（對對比較後再逐對比較，容易證明）

3. 當 n 為任意自然數的證明比較複雜巧妙。是由 2. 推得：

設$n+p=2^{k}$，$A={\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}\cdots +a_{n}}{n}}$

${\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\overbrace {A+A+A\cdots } ^{p}}{2^{k}}}\geqslant {\sqrt[{2^{k}}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdot AAA\cdots }}$

${\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+p\cdot A}{2^{k}}}\geqslant {\sqrt[{2^{k}}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdot A^{p}}}$

$\left({\frac {nA+pA}{n+p}}\right)^{n+p}\geqslant a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdot A^{p}$

$A^{n+p}\geqslant a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdot A^{p}$

$A^{n}\cdot A^{p}\geqslant a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdot A^{p}$

$A\geqslant {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}$

即${\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}}{n}}\geqslant {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}$

$\therefore$當n為任意自然數時，該命題均成立得證

柯西不等式

若有2個實數數對，且兩個數對皆有n個數，現在假設這兩個數對分別為$a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$和$b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n}$，則存在有關係式$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})$，或寫作$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},...+a_{n}b_{n})^{2}/(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})\leq 1$。等號成立當且僅當$a_{1}/b_{1}=a_{2}/b_{2}=...=a_{n}/b_{n}$

證明

構作二次函數$f(x)=(a_{1}x-b_{1})^{2}+(a_{2}x-b_{2})^{2}+...(a_{n}x-b_{n})^{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})x^{2}-2(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},...+a_{n}b_{n})x+(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})$，由於$f(x)$的每一項都是完全平方式，它最多只有一個實根。考慮它的判別式： $(2(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},...+a_{n}b_{n}))^{2}-4(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})\leq 0$ 得到 $(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})$。 同時知道$f(x)$有實根當且僅當它的每一個完全平方式可以同時等於0，即它們的根相同，又即$a_{1}/b_{1}=a_{2}/b_{2}=...=a_{n}/b_{n}$

不等式的基本性質

不等式的基本性質1：不等式的兩邊都加（或減）同一個整式，不等號的方向不變。 不等式的基本性質2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個大於0的整式，不等號方向不變。 不等式的基本性質3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個小於0的整式，不等號方向改變。

不等式的解法

不等式兩邊可以通過同時加減乘除同一個整式的方式使不等式一邊只剩下一個未知數。 具體步驟為：去分母，去括號，移項，合併同類項（化簡），系數化為1。