综合数学/实数与集合/实数和集合的基本运算

实数和集合的运算都是数学的基础。

实数的四则运算

实数的四则运算就是实数的加、减、乘、除的总称。

加法和减法

加法和减法是四则运算中的一级运算。
加法是基本的四则运算之一，它是指将两个或者两个以上的数、量合起来，变成一个数、量的计算。一般地，我们将$a$加$b$记作

$a+b$

一般读作“$a$加$b$”或“$a$与$b$的和”。其中$a,b$我们称作加数，“$+$”叫作加号，该式的得数我们称作它们的和。
有$n$个数$a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$的和我们一般记作

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

即

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n}$。

减法是加法的逆运算，它指从一个数量中减去另一个数量的运算或已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。一般地，我们将$a$减$b$记作

$a-b$，

一般读作“$a$减$b$”或“$a$与$b$的差”。其中$a$我们称作被减数，$b$我们叫减数，“$-$”叫作减号，该式的得数我们称作它们的差。
特殊地，$0-a$我们一般记作

$-a$，

读作“负$a$”。这里的“$-$”叫作负号，为了与其对应，有时也在一个数前加上“$+$”，称作正号。$-a$和$+a$我们叫作互为相反数。 特殊地，存在

$a+0=a$，

$a-0=a$。

加法和减法在运算中优先级相同，即依据从左到右依次计算。在式子中出现括号（“$()$”，有时是“$[]$”或“$\{\}$”）时应遵循先算括号内式子的原则，当有括号相嵌时，应依据先里后外的原则进行运算。
减法与加法的关系是：减去一个数，就等于加上这个数的相反数。用字母可表示为：

$a-b=a+(-b)$，

亦有

$a+b=a-(-b)$。

证  明显

${\begin{alignedat}{3}a-b&=a+0-b\\&=a+(0-b)\\&=a+(-b)\end{alignedat}}$，

定理得证。又有

${\begin{alignedat}{3}a+b&=a-0+b\\&=a-(0-b)\\&=a-(-b){\mbox{。 }}\end{alignedat}}$

其中$a+0-b=a+(0-b)$和$a-0+b=a+(0-b)$将在后续学习。$\blacksquare$
所以，$a-b$又可以读作“$a$与$-b$的和”。
一般地，加法运算满足以下运算律：

(1)加法交换律：

$a+b=b+a$；

(2)加法结合律：

$(a+b)+c=a+(b+c)$。

加法的运算律也可以推广到减法的情形：

(1)  $a-b=-b+a$；

(2)  $(a-b)+c=a-(b-c)$，$(a+b)-c=a+(b-c)$，$(a-b)-c=a-(b+c)$。

证明略。
在加法与减法关系式的证明我们已经可以看出，在去掉括号时，一些加数的符号会发生改变。
一般地，当括号前的符号是正号时，去括号后括号内各项的符号都不发生改变；当括号前的符号是负号时，去括号后括号内各项的符号都发生改变。这就是去括号法则。用字母可以表示如下：

$\sum _{i}a_{i}+(\sum _{i}b_{i})=\sum _{i}a_{i}+\sum _{i}b_{i}$；

$\sum _{i}a_{i}-(\sum _{i}b_{i})=\sum _{i}a_{i}-\sum _{i}-b_{i}$。

证明略。

例1.2.1

计算：

(1)  $6+(4-5)$；

(2)  $9-(6+8)$；

(3)  $\sum _{i=1}^{9}(i-3)$；

(4)  $9+\left\{6-\left[7-\left(6+\sum _{i=1}^{2}-i\right)\right]\right\}$。

解  (1) 依据去括号法则，有

${\begin{alignedat}{3}{\mbox{原 式 }}&=6+4-5\\&=10-5\\&=5{\mbox{。 }}\end{alignedat}}$

或直接按顺序计算

${\begin{alignedat}{3}{\mbox{原 式 }}&=6+(-1)\\&=6-1\\&=5{\mbox{； }}\end{alignedat}}$

(2)  同(1)，有

${\begin{alignedat}{2}{\mbox{原 式 }}&=9-14\\&=-5{\mbox{。 }}\end{alignedat}}$

另一解法交给读者解答。
(3)  由定义，有

${\begin{alignedat}{3}{\mbox{原 式 }}&=(1-3)+(2-3)+(3-3)+(4-3)+(5-3)+(6-3)+(7-3)+(8-3)+(9-3)\\&=(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5+6\\&=18{\mbox{； }}\end{alignedat}}$

(4) 本题有较多括号，应从里至外依次计算。有

${\begin{alignedat}{5}{\mbox{原 式 }}&=9+\left\{6-\left[7-\left(6-3\right)\right]\right\}\\&=9+[6-(7-3)]\\&=9+(6-4)\\&=9+2\\&=11{\mbox{。 }}\end{alignedat}}$

乘法和除法

加法和减法是四则运算中的二级运算。
乘法是指将相同的数加起来的快捷方式。一般地，我们将$a$乘（以）$b$记为

$a\times b$，

读作$a$乘（以）$b$或$a$与$b$的积。其中$a,b$叫作因数（或乘数），$\times$称作乘号，它的得数叫作积。有时，为了乘号不与字母$x$相混淆，会将其记作

$a\cdot b$或$ab$。

但后者只适用于字母与字母相乘或数字与字母相乘，且数字一般置于字母之前。
若有$n$个数$a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$的积我们一般记作

$\prod _{i=1}^{n}a_{i}$，

即

$\prod _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$。

除法就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。一般地，我们将$a$除以$b$（或$b$除$a$）记作

$a\div b$，

读作$a$除以$b$（或$b$除$a$）或$b$或$a$与$b$的商。其中$a$我们称作被除数，$b$我们叫除数，“$\div$”叫作除号，该式的得数我们称作它们的商。 但更常见地，我们会将除式写成分数的形式或将除号写作“$/$”，即

${\frac {a}{b}}$或$a/b$。

集合的基本运算

一般地，由集合$A$与集合$B$的所有元素构成的集合，称为$A,B$的并集，记为

$A\cup B$，

可表示为

$A\cup B=\left\{x|x\in A\vee x\in B\right\}$。

又有，由集合$A$与集合$B$的所有公共元素构成的集合，称为$A,B$的交集，记为

$A\cap B$，

可表示为

$A\cap B=\left\{x|x\in A\wedge x\in B\right\}$。

例1.2.2

若集合

$A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}$，

求$A\cap \left(A\cup B\right)$
解 由题，有

${\begin{alignedat}{3}A\cap \left(A\cup B\right)&=\left\{1,2,3\right\}\cap \left(\left\{1,2,3\right\}\cup \left\{2,3,4\right\}\right)\\&=\left\{1,2,3\right\}\cap \left\{1,2,3,4\right\}\\&=\left\{1,2,3\right\}{\mbox{。 }}\end{alignedat}}$

对于由所有属于集合$B$但不属于集合$A$的元素，我们称为集合$A$相对于$B$的相对补集，记作

$B-A$，

可表示为

$B-A=\left\{x|x\in B\wedge x\not \in A\right\}$。

特殊地，集合$A$相对于全集$U$的补集叫作绝对补集，记作

${\overline {A}}$，

可表示为

${\overline {A}}=\{x|x\not \in A\}$。

由所有属于$A\cup B$但不属于$A\cap B$的元素所构成的集合叫作集合$A,B$的对称差，记作

$A\Delta B$，

可表示为

$A\Delta B=\{x|x\in A\cup B\wedge x\not \in A\cap B\}$。

关于集合运算有以下常用结论：

(1)等幂律：

$A\cap A=A,A\cup A=A$；

(2)同一律：

$A\cap I=A,A\cup I=I,A\cap \varnothing =\varnothing ,A\cup \varnothing =A$；

(3)互补律：

$A\cap {\overline {A}}=\varnothing ,A\cup {\overline {A}}=I,{\overline {\overline {A}}}=A,{\overline {I}}=\varnothing ,{\overline {\varnothing }}=I$；

(4)交换律：

$A\cap B=B\cap A,A\cup B=B\cup A$；

(5)结合律：

$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C,A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$；

(6)分配率：

$A\cap \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\bigcup _{i}\left(A\cap A_{i}\right),A\cup \left(\bigcap _{i}A_{i}\right)=\bigcap _{i}\left(A\cap A_{i}\right)$；

(7)吸收率：

$A\cup (A\cap B)=A,A\cap (A\cup B)=A$；

(8)反演律：

${\overline {\bigcap _{i}A_{i}}}=\bigcap _{i}{\overline {A_{i}}},{\overline {\bigcup _{i}A_{i}}}=\bigcup _{i}{\overline {A_{i}}}$。

利用相关定义即可证明，略。上述运算定律在以后会有很大帮助。

容斥原理

若记有限集合$A$中的元素个数为$|A|$，则由Venn图（下图）可知：

1.$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$；

2.$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$。

• 
  A∪B
• 
  A∪B∪C

一般地，对于$n$个有限集合$A_{1},A_{2}\cdots ,A_{n}$，则有

$\left|\bigcup _{i=1}^{n}\right|=\sum _{k=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{k-1}\left(\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}\left|\bigcap _{j=1}^{k}A_{i_{j}}\right|\right)\right)$。

我们称上述公式为容斥定理。
证 该原理可以用数学归纳法证明。
当$n=2$时，结论显然成立。
假设命题对$n-1$成立，需证明命题对$n$也成立。
注意到$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\left(\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right)\cup A_{n}$，由$n=2$的情形可知：

${\begin{alignedat}{2}\left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|&=\left|\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right|+\left|A_{n}\right|-\left|\left(\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right)\cap A_{n}\right|\\&=\left|\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right|+\left|A_{n}\right|-\left|\bigcup _{i=1}^{n-1}\left(A_{i}\cap A_{n}\right)\right|{\mbox{， }}\end{alignedat}}$

由归纳假设，对于$n-1$个集合$A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}-1$，有

${\begin{alignedat}{2}\left|\bigcap _{i=1}^{n}\left(A_{i}\cap A_{n}\right)\right|&=\sum _{k=1}^{n-1}\left(\left(-1\right)^{k-1}\left(\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}\left|\bigcap _{j=1}^{k}\left(A_{i_{j}}\cap A_{n}\right)\right|\right)\right)\\&=\sum _{k=1}^{n-1}\left(\left(-1\right)^{k-1}\left(\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}\left|\left(\bigcap _{j=1}^{k}A_{i_{j}}\right)\cap A_{n}\right|\right)\right){\mbox{， }}\end{alignedat}}$

又由归纳假设，对于$n-1$个集合$A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}-1$，有

$\left|\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right|=\sum _{k=1}^{n-1}\left(\left(-1\right)^{k-1}\left(\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}\left|\bigcap _{j=1}^{k}A_{i_{j}}\right|\right)\right)$，

把上两式代入一式，即得容斥原理。$\blacksquare$

Venn图

在2.3中提到的Venn图是用于显示元素集合重叠区域的图示，也称维恩图、文氏图。在集合论中，常常用Venn图来表示集合间的关系或运算。
同样的，我们之前学过的集合的关系和运算也可以用Venn图表示如下：

• 
  U
• 
  A^C∪B^C
• 
  A∪C
• 
  A∪B^C
• 
  A Δ B
• 
  A^C∪B
• 
  B^C
• 
  A
• 
  A^C
• 
  B
• 
  A∩B^C
• 
  (A Δ B)^C
• 
  A^C∩B
• 
  A^C∩B^C
• 
  A∩B
• 
  ∅