讯号与系统/常用连续时间讯号

臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 当前用字模式下显示为→方向导数
臺灣：積分形式；大陆：积分形式； 当前用字模式下显示为→积分形式
臺灣：微分形式；大陆：微分形式； 当前用字模式下显示为→微分形式
臺灣：約束；大陆：约束； 当前用字模式下显示为→约束
原始语言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 当前用字模式下显示为→博雷尔
原始语言：Christoffel；臺灣：克里斯多福；大陆：克里斯托费尔； 当前用字模式下显示为→克里斯托费尔
原始语言：Clifford；臺灣：克里福；大陆：克利福德； 当前用字模式下显示为→克利福德
原始语言：Eratosthenes；大陆：埃拉托斯特尼；臺灣：埃拉托斯特尼；香港：愛拉托散尼； 当前用字模式下显示为→埃拉托斯特尼
原始语言：Fourier；臺灣：傅立葉；大陆：傅里叶； 当前用字模式下显示为→傅里叶
原始语言：Frobenius；臺灣：弗比尼斯；大陆：弗罗贝尼乌斯； 当前用字模式下显示为→弗罗贝尼乌斯
原始语言：Hausdorff；臺灣：郝斯多夫；大陆：豪斯多夫； 当前用字模式下显示为→豪斯多夫
原始语言：Levi-Civita；臺灣：勒維奇維塔；大陆：列维-奇维塔； 当前用字模式下显示为→列维-奇维塔
原始语言：L'Hôpital；臺灣：羅必達；香港：洛必達；大陆：洛必达； 当前用字模式下显示为→洛必达
原始语言：Markov；臺灣：馬可夫；大陆：马尔可夫； 当前用字模式下显示为→马尔可夫
原始语言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 当前用字模式下显示为→泊松
原始语言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 当前用字模式下显示为→勒让德
原始语言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 当前用字模式下显示为→施瓦兹
原始语言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 当前用字模式下显示为→阿列夫
原始语言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 当前用字模式下显示为→阿列夫数
原始语言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 当前用字模式下显示为→代数相关
原始语言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 当前用字模式下显示为→代数无关
原始语言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 当前用字模式下显示为→代数闭域
原始语言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 当前用字模式下显示为→自守形式
原始语言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 当前用字模式下显示为→双射
原始语言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 当前用字模式下显示为→丛
原始语言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 当前用字模式下显示为→中心极限定理
原始语言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 当前用字模式下显示为→典型群
原始语言：Closed graph theorem；臺灣：閉圖定理；大陆：闭图像定理； 当前用字模式下显示为→闭图像定理
原始语言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 当前用字模式下显示为→上同调
原始语言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 当前用字模式下显示为→复平面
原始语言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 当前用字模式下显示为→复指数
原始语言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 当前用字模式下显示为→复结构
原始语言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 当前用字模式下显示为→互素
原始语言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 当前用字模式下显示为→协方差
原始语言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 当前用字模式下显示为→分圆域
原始语言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 当前用字模式下显示为→导出代数
原始语言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 当前用字模式下显示为→导出函子
原始语言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 当前用字模式下显示为→导集
原始语言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 当前用字模式下显示为→控制收敛定理
原始语言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 当前用字模式下显示为→本征函数
原始语言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 当前用字模式下显示为→扩张域
原始语言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 当前用字模式下显示为→斐波那契数列
原始语言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 当前用字模式下显示为→域扩张
原始语言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 当前用字模式下显示为→域论
原始语言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 当前用字模式下显示为→有限域
原始语言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 当前用字模式下显示为→分形
原始语言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 当前用字模式下显示为→整体域
原始语言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 当前用字模式下显示为→线性相关
原始语言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 当前用字模式下显示为→线性无关
原始语言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 当前用字模式下显示为→局部域
原始语言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 当前用字模式下显示为→单位元
原始语言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 当前用字模式下显示为→逆元素
原始语言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 当前用字模式下显示为→最小二乘
原始语言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 当前用字模式下显示为→马尔可夫链
原始语言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 当前用字模式下显示为→中值定理
原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
原始语言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 当前用字模式下显示为→正交补
原始语言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 当前用字模式下显示为→最优化
原始语言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 当前用字模式下显示为→道路连通
原始语言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 当前用字模式下显示为→素理想
原始语言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 当前用字模式下显示为→素数
原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

弦波讯号

弦波讯号(sinusoidal signal)表示为

x(t)=A $\cos$ ( $ω$ $_{o}$ $t$ + $θ$ ) =A $\cos ($ 2 $π$ $f_{o}$ t+ $θ$ )

由上图可知，弦波讯号为一周期讯号。周期：

     $T_{0} = \frac{2 π}{ω_{o}} = \frac{1}{f_{0}}$

弦波讯号的参数

弦波讯号 x(t)=A $\cos$ ( $ω$ $_{o}$ $t$ + $θ$ ) =A $\cos ($ 2 $π$ $f_{o}$ t+ $θ$ )的三个参数：

振幅(amplitude) ：上式中的 A，为弦波讯号的最大值。

频率(frequency) ：上式中的 $f_{0}$ ，即为弦波讯号的频率，代表每秒钟会重复 $f_{0}$ 个相同波形，常用单位为赫兹(Hz,hertz)。而 $ω$ $o$ =2 $π$ $f$ $o$ 则称为角频率(radian frequency) ，常用单位为弪度/秒(rad/sec) 。

由以上定义可知，弦波讯号的周期：

 $T_{0} = \frac{2 π}{ω_{o}} = \frac{1}{f_{0}}$

相位(phase) ：上述中的 θ 为时间t=0时，弦波讯号的角度，此一相位可对应到时间上的超前(advance)或延迟(delay) 。

弦波讯号的参数(续)

给定振幅、频率及相位三个参数则可确定一个弦波讯号。

相位与延迟

弦波讯号x(t)=A $\cos ($ 2 $π$ $f_{o}$ t+ $θ$ )延迟(delay) $t_{d}$ 后可表示为：

$x_{d} (t)$ =x(t- $t_{d}$ )=Acos(2 $π$ $f_{o}$ (t- $t_{d}$ )+ $θ$ )=Acos(2 $π$ $f_{o}$ $t$ + $θ$ -2 $π$ $f_{o}$ $t_{d}$ )

显然时间延迟所造成的效应相当于相位角相差 $ϕ$ =2 $π$ $f_{o}$ $t_{d}$ ；换言之，两弦波讯号之相位差为 $ϕ$ 时，代表此正弦讯号之时间差为 $t_{d}$ = $ϕ$ / 2 $π$ $f_{o}$ 。

由三角公式知，

                   sin(2 $π$  $f_{o}$  $t$ )=cos(2 $π$  $f_{o}$  $t$ - $\frac{π}{2}$ )

故正弦函数与馀弦函数均为弦波讯号，只是存在 $\frac{π}{2}$ ( $9 0^{o}$ )相位差。

相位与延迟(续)

常用三角公式

$e^{\pm μ} = c o s u \pm j s i n u$ （欧拉公式）

$c o s u = \frac{1}{2} (e^{j u} + e^{- j u})$

$s i n u = (e^{j u} - e^{- j u}) / 2 j$

$s i n^{2} u + c o s^{2} u = 1$

$c o s^{2} u - s i n^{2} u = c o s 2 u$

$2 s i n u * c o s u = s i n 2 u$

$c o s^{2} u = \frac{1}{2} (1 + c o s 2 u)$

$s i n^{2} u = \frac{1}{2} (1 - c o s 2 u)$

$s i n (u \pm v)$ = $s i n u c o s v \pm s i n v c o s u$

$c o s (u \pm v)$ = $c o s u c o s v \mp s i n u s i n v$

$s i n u s i n v = \frac{1}{2} [c o s (u - v) - c o s (u + v)]$

$c o s u c o s v = \frac{1}{2} [c o s (u - v) + c o s (u + v)]$

$s i n u c o s v = \frac{1}{2} [s i n (u - v) + s i n (u + v)]$

复指数讯号

复指数讯号(complex exponential signal) ：

                           x(t)= $A e^{j (ω_{o} t + θ)}$ )= $A e^{j (2 π f_{o} t + θ)}$

在复数平面上，x(t)是一个长度为A的线段以固定的速度逆时针绕原点旋转，如下图：

其中，固定的绕行速度为每秒 $ω_{o}$ 弪度(radian)或每秒 $f_{o}$ 圈 (cycle) ；而时间t=o时之角度为 $θ$ ，称为初始相位(initial phase) 。

范例2.1

在复数平面上3个不同的复指数讯号

　 x1(t)= $A e^{j ω_{o} t}$

 x2(t)= $\frac{2 A}{3} e^{j (2 ω_{o} t + π / 6)}$ 

 x3(t)= $\frac{2 A}{3} e^{j (3 ω_{o} t + π / 2)}$

弦波与复指数讯号

尤拉公式(Euler formula)

$e^{j β}$ =cos $β$ +jsin $β$

$A e^{j (ω_{o} t + θ)}$ = $A c o s (ω_{o} t + θ)$ + $j A s i n (ω_{o} t + θ)$

$A e^{j (2 π f_{o} t + θ)}$ = $A c o s (2 π f_{o} t + θ)$ + $j A s i n (2 π f_{o} t + θ)$

由上可知，复指数讯号的实数部份即为弦波讯号之馀弦函数；

 虛數部分即為弦波訊號之正弦函數。

故x(t)= $A c o s (ω_{o} t + θ)$ = $R e [A e^{j (ω_{o} t + θ)}]$ = $R e [x_{p} (t)]$

或x(t)= $A c o s (2 π f_{o} t + θ)$ = $R e [A e^{j (2 π f_{o} t + θ)}]$ = $R e [x_{p} (t)]$

     $x_{p} (t)$ 稱為弦波訊號 x(t)的旋轉相量(rotating phasor)

范例2.2：相同频率之弦波讯号相加

x(t)=cos $ω_{o} t - \sqrt{3}$ sin $ω_{o} t$ =c cos( $ω_{o} t$ + $θ$ )

方法Ι：三角公式化简

方法Ⅱ：利用相量表示法(phasor representation)相加　

范例2.2：相同频率之弦波讯号相加(续)

x(t)=cos $ω_{o} t - \sqrt{3}$ sin $ω_{o} t$ =c cos( $ω_{o} t$ + $θ$ )

方法Ι：三角公式化简

$c c o s (ω_{o} t + θ)$ = $c c o s θ c o s ω_{o} t$ - $c s i n θ s i n ω_{o} t$

= $a c o s ω_{o} t$ + $b s i n ω_{o} t$

故a= $c c o s θ$ , b= $- c s i n θ$

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , $θ$ = $t a n^{- 1} [\frac{- b}{a}]$

a=1 , b= $- \sqrt{3}$

c=2 , $θ = 6 0^{o}$

$\Rightarrow$ x(t)= cos $ω_{o} t$ - $\sqrt{3} s i n ω_{o} t$ =2cos $(ω_{o} t + 6 0^{o})$

范例2.2：相同频率之弦波讯号相加(续)

$x (t) = \cos ω_{o} t - \sqrt{3} \sin ω_{o} t = c \cos (ω_{o} t + θ)$

方法Ⅱ：相量表示法

    $1 \cos ω_{o} t$  的旋轉相量為  $1 e^{j ω_{o} t}$ 
   $- \sqrt{3} \sin ω_{o} t = \sqrt{3} \cos (ω_{o} t + 9 0^{o})$  之旋轉相量為  $\sqrt{3} e^{j (ω_{o} t + 9 0^{o})}$

 由於兩者有相同的頻率，即兩者在複數平面上繞行的速度相同，故可視為固
   定不動(類似於火車上的乘客，在地面觀察為快速前進；但由火車上的其他乘
   客觀察則為靜止不動) 。

范例2.2：相同频率之弦波讯号相加(续)

定义：相量表示法

$c o s ω_{o} t$ $\to$ $1 e^{j 0^{o}}$ 表示为 $1 ∠ 0^{o}$

将此二个相量相加可得

$1 ∠ 0^{o}$ + $\sqrt{3} ∠ 9 0^{o}$ = $2 ∠ 6 0^{o}$

 $\Rightarrow$  旋轉向量 $2 e^{j ω_{o} t + 6 0^{o}}$

 $\Rightarrow$ x(t)= $2 c o s (ω_{o} t + 6 0^{o})$

指数讯号

x(t)= $e^{(σ + j ω) t}$ = $e^{σ t}$ $e^{j ω t}$ = $e^{σ t}$ $(c o s ω t + j s i n ω t)$ = $e^{σ t} c o s ω t$ + $e^{σ t} j s i n ω t$ = $x_{r} (t)$ +j $x_{i} (t)$

$x_{r} (t)$ 与j $x_{i} (t)$ 为指数递增(或递减)之弦波讯号

当 $ω = 0 \Rightarrow$ x(t)= $e^{σ t}$ (实数指数讯号)

当 $α = 0 \Rightarrow$ x(t)= $e^{j ω t}$ (复数指数讯号)

指数讯号（续）