訊號與系統/常用連續時間訊號

1. 臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 當前用字模式下顯示為→方向導數
2. 臺灣：積分形式；大陆：积分形式； 當前用字模式下顯示為→積分形式
3. 臺灣：微分形式；大陆：微分形式； 當前用字模式下顯示為→微分形式
4. 臺灣：約束；大陆：约束； 當前用字模式下顯示為→約束
5. 原始語言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 當前用字模式下顯示為→鮑萊耳
6. 原始語言：Christoffel；臺灣：克里斯多福；大陆：克里斯托费尔； 當前用字模式下顯示為→克里斯多福
7. 原始語言：Clifford；臺灣：克里福；大陆：克利福德； 當前用字模式下顯示為→克里福
8. 原始語言：Eratosthenes；大陆：埃拉托斯特尼；臺灣：埃拉托斯特尼；香港：愛拉托散尼； 當前用字模式下顯示為→埃拉托斯特尼
9. 原始語言：Fourier；臺灣：傅立葉；大陆：傅里叶； 當前用字模式下顯示為→傅立葉
10. 原始語言：Frobenius；臺灣：弗比尼斯；大陆：弗罗贝尼乌斯； 當前用字模式下顯示為→弗比尼斯
11. 原始語言：Hausdorff；臺灣：郝斯多夫；大陆：豪斯多夫； 當前用字模式下顯示為→郝斯多夫
12. 原始語言：Levi-Civita；臺灣：勒維奇維塔；大陆：列维-奇维塔； 當前用字模式下顯示為→勒維奇維塔
13. 原始語言：L'Hôpital；臺灣：羅必達；香港：洛必達；大陆：洛必达； 當前用字模式下顯示為→羅必達
14. 原始語言：Markov；臺灣：馬可夫；大陆：马尔可夫； 當前用字模式下顯示為→馬可夫
15. 原始語言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 當前用字模式下顯示為→卜瓦松
16. 原始語言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 當前用字模式下顯示為→勒壤得
17. 原始語言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 當前用字模式下顯示為→施瓦次
18. 原始語言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 當前用字模式下顯示為→艾禮富
19. 原始語言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 當前用字模式下顯示為→艾禮富數
20. 原始語言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 當前用字模式下顯示為→代數相依
21. 原始語言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 當前用字模式下顯示為→代數獨立
22. 原始語言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 當前用字模式下顯示為→代數閉體
23. 原始語言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 當前用字模式下顯示為→自守式
24. 原始語言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 當前用字模式下顯示為→對射
25. 原始語言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 當前用字模式下顯示為→束
26. 原始語言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 當前用字模式下顯示為→中央極限定理
27. 原始語言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 當前用字模式下顯示為→古典群
28. 原始語言：Closed graph theorem；臺灣：閉圖定理；大陆：闭图像定理； 當前用字模式下顯示為→閉圖定理
29. 原始語言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 當前用字模式下顯示為→餘調
30. 原始語言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 當前用字模式下顯示為→複數平面
31. 原始語言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 當前用字模式下顯示為→複指數
32. 原始語言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 當前用字模式下顯示為→複結構
33. 原始語言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 當前用字模式下顯示為→互質
34. 原始語言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 當前用字模式下顯示為→共變異數
35. 原始語言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 當前用字模式下顯示為→分圓體
36. 原始語言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 當前用字模式下顯示為→導來代數
37. 原始語言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 當前用字模式下顯示為→導來函子
38. 原始語言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 當前用字模式下顯示為→導來集
39. 原始語言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 當前用字模式下顯示為→受制收斂定理
40. 原始語言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 當前用字模式下顯示為→固有函數
41. 原始語言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 當前用字模式下顯示為→擴張體
42. 原始語言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 當前用字模式下顯示為→費氏數列
43. 原始語言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 當前用字模式下顯示為→體擴張
44. 原始語言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 當前用字模式下顯示為→體論
45. 原始語言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 當前用字模式下顯示為→有限體
46. 原始語言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 當前用字模式下顯示為→碎形
47. 原始語言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 當前用字模式下顯示為→大域體
48. 原始語言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 當前用字模式下顯示為→線性相依
49. 原始語言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 當前用字模式下顯示為→線性獨立
50. 原始語言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 當前用字模式下顯示為→局部體
51. 原始語言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 當前用字模式下顯示為→單位元素
52. 原始語言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 當前用字模式下顯示為→反元素
53. 原始語言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 當前用字模式下顯示為→最小平方
54. 原始語言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 當前用字模式下顯示為→馬可夫鏈
55. 原始語言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 當前用字模式下顯示為→均值定理
56. 原始語言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 當前用字模式下顯示為→數體
57. 原始語言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 當前用字模式下顯示為→範數
58. 原始語言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 當前用字模式下顯示為→賦範
59. 原始語言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 當前用字模式下顯示為→有序體
60. 原始語言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 當前用字模式下顯示為→正交補餘
61. 原始語言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 當前用字模式下顯示為→最佳化
62. 原始語言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 當前用字模式下顯示為→路徑連通
63. 原始語言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 當前用字模式下顯示為→質理想
64. 原始語言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 當前用字模式下顯示為→質數
65. 原始語言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 當前用字模式下顯示為→質環
66. 原始語言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 當前用字模式下顯示為→機率
67. 原始語言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 當前用字模式下顯示為→二次體
68. 原始語言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 當前用字模式下顯示為→實數軸
69. 原始語言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 當前用字模式下顯示為→實閉體
70. 原始語言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 當前用字模式下顯示為→遞迴
71. 原始語言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 當前用字模式下顯示為→遞迴關係
72. 原始語言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 當前用字模式下顯示為→純量
73. 原始語言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 當前用字模式下顯示為→純量曲率
74. 原始語言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 當前用字模式下顯示為→和式號
75. 原始語言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 當前用字模式下顯示為→單純群
76. 原始語言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 當前用字模式下顯示為→單純李氏群
77. 原始語言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 當前用字模式下顯示為→單體
78. 原始語言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 當前用字模式下顯示為→單體複形
79. 原始語言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 當前用字模式下顯示為→奇異點
80. 原始語言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 當前用字模式下顯示為→分裂體
81. 原始語言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 當前用字模式下顯示為→子體
82. 原始語言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 當前用字模式下顯示為→切線束
83. 原始語言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 當前用字模式下顯示為→均勻有界原理
84. 原始語言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 當前用字模式下顯示為→均勻連續
85. 原始語言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 當前用字模式下顯示為→均勻收斂
86. 原始語言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 當前用字模式下顯示為→均勻範數
87. 原始語言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 當前用字模式下顯示為→均勻空間
88. 原始語言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 當前用字模式下顯示為→聯集
89. 原始語言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 當前用字模式下顯示為→么正空間
90. 原始語言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 當前用字模式下顯示為→么正群
91. 原始語言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 當前用字模式下顯示為→么正矩陣
92. 原始語言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 當前用字模式下顯示為→變異數
93. 原始語言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 當前用字模式下顯示為→貝氏定理

弦波訊號

弦波訊號(sinusoidal signal)表示為

x(t)=A$\cos$($\omega$$_{o}$$t$+$\theta$) =A$\cos($2$\pi$$f_{o}$t+$\theta$)

由上圖可知，弦波訊號為一週期訊號。 週期：

    $T_{0}={2\pi  \over \omega _{o}}={1 \over f_{0}}$

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弦波訊號的參數

弦波訊號 x(t)=A$\cos$($\omega$$_{o}$$t$+$\theta$) =A$\cos($2$\pi$$f_{o}$t+$\theta$)的三個參數：

振幅(amplitude) ：上式中的 A，為弦波訊號的最大值。

頻率(frequency) ：上式中的 $f_{0}$，即為弦波訊號的頻率，代表每秒鐘會重複$f_{0}$個相同波形，常用單位為赫茲(Hz,hertz)。 而$\omega$$o$=2$\pi$$f$$o$ 則稱為角頻率(radian frequency) ，常用單位為弳度/秒(rad/sec) 。

由以上定義可知，弦波訊號的週期：

$T_{0}={2\pi  \over \omega _{o}}={1 \over f_{0}}$

相位(phase) ：上述中的 θ 為時間t=0時，弦波訊號的角度，此一相位可對應到時間上的超前(advance)或延遲(delay) 。

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弦波訊號的參數(續)

給定振幅、頻率及相位三個參數則可確定一個弦波訊號。

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相位與延遲

弦波訊號x(t)=A$\cos($2$\pi$$f_{o}$t+$\theta$)延遲(delay)$t_{d}$後可表示為：

$x_{d}(t)$=x(t-$t_{d}$)=Acos(2$\pi$$f_{o}$(t-$t_{d}$)+$\theta$)=Acos(2$\pi$$f_{o}$$t$+$\theta$-2$\pi$$f_{o}$$t_{d}$)

顯然時間延遲所造成的效應相當於相位角相差$\phi$=2$\pi$$f_{o}$$t_{d}$；換言之，兩弦波訊號之相位差為$\phi$時，代表此正弦訊號之時間差為$t_{d}$=$\phi$/ 2$\pi$$f_{o}$。

由三角公式知，

                   sin(2$\pi$$f_{o}$$t$)=cos(2$\pi$$f_{o}$$t$-$\pi  \over 2$)

故正弦函數與餘弦函數均為弦波訊號，只是存在 $\pi \over 2$($90^{o}$)相位差。

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常用三角公式

$e^{\pm \mu }=cosu\pm jsinu$ （歐拉公式）

$cosu={1 \over 2}(e^{ju}+e^{-ju})$

$sinu=(e^{ju}-e^{-ju})/2j$

$sin^{2}u+cos^{2}u=1$

$cos^{2}u-sin^{2}u=cos2u$

$2sinu*cosu=sin2u$

$cos^{2}u={1 \over 2}(1+cos2u)$

$sin^{2}u={1 \over 2}(1-cos2u)$

$sin(u\pm v)$=$sinucosv\pm sinvcosu$

$cos(u\pm v)$=$cosucosv\mp sinusinv$

$sinusinv={1 \over 2}[cos(u-v)-cos(u+v)]$

$cosucosv={1 \over 2}[cos(u-v)+cos(u+v)]$

$sinucosv={1 \over 2}[sin(u-v)+sin(u+v)]$

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複指數訊號

複指數訊號(complex exponential signal) ：

                           x(t)=$Ae^{j(\omega _{o}t+\theta )}$)=$Ae^{j(2\pi f_{o}t+\theta )}$     

在複數平面上，x(t)是一個長度為A的線段以固定的速度逆時針繞原點旋轉，如下圖：

其中，固定的繞行速度為每秒 $\omega _{o}$ 弳度(radian)或每秒 $f_{o}$ 圈 (cycle) ；而時間t=o時之角度為$\theta$，稱為初始相位(initial phase) 。

　

　

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範例2.1

在複數平面上3個不同的複指數訊號

　 x1(t)=$Ae^{j\omega _{o}t}$

 x2(t)=${2A \over 3}e^{j(2\omega _{o}t+\pi /6)}$

 x3(t)=${2A \over 3}e^{j(3\omega _{o}t+\pi /2)}$

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弦波與複指數訊號

尤拉公式(Euler formula)

$e^{j\beta }$=cos$\beta$+jsin$\beta$

$Ae^{j(\omega _{o}t+\theta )}$=$Acos(\omega _{o}t+\theta )$+$jAsin(\omega _{o}t+\theta )$

$Ae^{j(2\pi f_{o}t+\theta )}$=$Acos(2\pi f_{o}t+\theta )$+$jAsin(2\pi f_{o}t+\theta )$

由上可知，複指數訊號的實數部份即為弦波訊號之餘弦函數；

 虛數部分即為弦波訊號之正弦函數。 
                                             

故x(t)=$Acos(\omega _{o}t+\theta )$=$Re[Ae^{j(\omega _{o}t+\theta )}]$=$Re[x_{p}(t)]$

或x(t)=$Acos(2\pi f_{o}t+\theta )$=$Re[Ae^{j(2\pi f_{o}t+\theta )}]$=$Re[x_{p}(t)]$

    $x_{p}(t)$稱為弦波訊號 x(t)的旋轉相量(rotating phasor)

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範例2.2：相同頻率之弦波訊號相加

x(t)=cos$\omega _{o}t-{\sqrt {3}}$sin$\omega _{o}t$=c cos($\omega _{o}t$+$\theta$)

方法Ι：三角公式化簡

方法Ⅱ：利用相量表示法(phasor representation)相加 　

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範例2.2：相同頻率之弦波訊號相加(續)

x(t)=cos$\omega _{o}t-{\sqrt {3}}$sin$\omega _{o}t$=c cos($\omega _{o}t$+$\theta$)

方法Ι：三角公式化簡

$ccos(\omega _{o}t+\theta )$=$ccos\theta cos\omega _{o}t$-$csin\theta sin\omega _{o}t$

=$acos\omega _{o}t$+$bsin\omega _{o}t$

故a=$ccos\theta$ , b=$-csin\theta$

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ , $\theta$ =$tan^{-1}\left[{\frac {-b}{a}}\right]$

a=1 , b=$-{\sqrt {3}}$

c=2 , $\theta =60^{o}$

$\Rightarrow$ x(t)= cos$\omega _{o}t$-${\sqrt {3}}sin\omega _{o}t$=2cos$(\omega _{o}t+60^{o})$

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範例2.2：相同頻率之弦波訊號相加(續)

$x(t)=\cos \omega _{o}t-{\sqrt {3}}\sin \omega _{o}t=c\cos(\omega _{o}t+\theta )$

方法Ⅱ：相量表示法

   $1\cos \omega _{o}t$ 的旋轉相量為 $1e^{j\omega _{o}t}$
  $-{\sqrt {3}}\sin \omega _{o}t={\sqrt {3}}\cos(\omega _{o}t+90^{o})$ 之旋轉相量為 ${\sqrt {3}}e^{j(\omega _{o}t+90^{o})}$

 由於兩者有相同的頻率，即兩者在複數平面上繞行的速度相同，故可視為固
   定不動(類似於火車上的乘客，在地面觀察為快速前進；但由火車上的其他乘
   客觀察則為靜止不動) 。

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範例2.2：相同頻率之弦波訊號相加(續)

定義：相量表示法

$cos\omega _{o}t$ $\to$ $1e^{j0^{o}}$ 表示為$1\angle 0^{o}$

將此二個相量相加可得

$1\angle 0^{o}$+${\sqrt {3}}\angle 90^{o}$ = $2\angle 60^{o}$

$\Rightarrow$ 旋轉向量$2e^{j\omega _{o}t+60^{o}}$

$\Rightarrow$x(t)=$2cos(\omega _{o}t+60^{o})$

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指數訊號

x(t)=$e^{(\sigma +j\omega )t}$=$e^{\sigma t}$ $e^{j\omega t}$=$e^{\sigma t}$$(cos\omega t+jsin\omega t)$ =$e^{\sigma t}cos\omega t$+$e^{\sigma t}jsin\omega t$ =$x_{r}(t)$+j$x_{i}(t)$

$x_{r}(t)$與j$x_{i}(t)$為指數遞增(或遞減)之弦波訊號

當$\omega =0\Rightarrow$ x(t)=$e^{\sigma t}$(實數指數訊號)

當$\alpha =0\Rightarrow$ x(t)=$e^{j\omega t}$(複數指數訊號)

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