讯号与系统/滤波器

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原始语言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 当前用字模式下显示为→互素
原始语言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 当前用字模式下显示为→协方差
原始语言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 当前用字模式下显示为→分圆域
原始语言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 当前用字模式下显示为→导出代数
原始语言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 当前用字模式下显示为→导出函子
原始语言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 当前用字模式下显示为→导集
原始语言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 当前用字模式下显示为→控制收敛定理
原始语言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 当前用字模式下显示为→本征函数
原始语言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 当前用字模式下显示为→扩张域
原始语言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 当前用字模式下显示为→斐波那契数列
原始语言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 当前用字模式下显示为→域扩张
原始语言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 当前用字模式下显示为→域论
原始语言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 当前用字模式下显示为→有限域
原始语言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 当前用字模式下显示为→分形
原始语言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 当前用字模式下显示为→整体域
原始语言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 当前用字模式下显示为→线性相关
原始语言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 当前用字模式下显示为→线性无关
原始语言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 当前用字模式下显示为→局部域
原始语言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 当前用字模式下显示为→单位元
原始语言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 当前用字模式下显示为→逆元素
原始语言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 当前用字模式下显示为→最小二乘
原始语言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 当前用字模式下显示为→马尔可夫链
原始语言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 当前用字模式下显示为→中值定理
原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
原始语言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 当前用字模式下显示为→正交补
原始语言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 当前用字模式下显示为→最优化
原始语言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 当前用字模式下显示为→道路连通
原始语言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 当前用字模式下显示为→素理想
原始语言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 当前用字模式下显示为→素数
原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

滤波器

讯号滤波(filtering)是将输入讯号之不同频率成份的增益做选择性改变，甚且将某些频率成份压抑掉。

处理讯号滤波的系统称为滤波器(filter) 。其实滤波器可看成一种频率选择器，即让设定频率范围内之讯号通过(或滤除) 。

理想滤波器分析

一个理想滤波器可让某一频带的信号完全通过，并将其馀频率范围之讯号完全滤除(阻隔)，其中讯号完全通过的频率范围称为通带(passband)，而讯号完全滤除的频率范围称为阻带(stopband)。

所谓理想滤波器是理论上用来分析说明讯号滤波的效果，实际上并无法实现此滤波器。

滤波器依功能一般区分为

  低通濾波器(low-pass filter, LPF)
  高通濾波器(high-pass filter, HPF)
  帶通濾波器(band-pass filter, BPF)
  帶止濾波器(band-stop filter, BSF)

理想低通滤波器

理想低通滤波器的强度响应定义为

      $\mid H(f)\mid ={\begin{cases}1,&\mid f\mid <f_{cut}\\0,&\mid f\mid >f_{cut}\end{cases}}$

其中 $f_{cut}$ 是截止频率。

强度频谱 $\mid H(f)\mid$ 如下图所示。 ...........................图..........................................©余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。

理想高通滤波器

理想高通滤波器的强度响应定义为

      $\mid H(f)\mid ={\begin{cases}0,&\mid f\mid <f_{cut}\\1,&\mid f\mid >f_{cut}\end{cases}}$

强度频谱 $\mid H(f)\mid$ 如下。 .......................图....................................©余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。

理想带通滤波器

理想带通滤波器的强度响应定义为

     $\mid H(f)\mid ={\begin{cases}1,&f_{1}<\mid f\mid <f_{2}\\0,&otherwise\end{cases}}$

强度频谱 $\mid H(f)\mid$ 如下图所示。 ......................图....................................©余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。

理想带止滤波器

理想带止滤波器的强度响应定义为

     $\mid H(f)\mid ={\begin{cases}0,&f_{1}<\mid f\mid <f_{2}\\1,&otherwise\end{cases}}$

强度频谱 $\mid H(f)\mid$ 如下图所示。 .....................图...................................©余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。

范例6.5

给定滤波器的输入讯号的振幅频谱如下图所示，请以此讯号分别输入理想低通、高通、带通和带止滤波器，分别分析滤波器输出讯号的振幅频谱。

假设滤波器的相位响应 $\angle H(f)$ 为零。

.............................图.....................................©余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。

【解】滤波器的输出讯号振幅频谱 $\mid Y(f)\mid =\mid X(f)\mid \mid H(f)\mid$

(a)理想低通滤波器：输入讯号高于截止频率3000 Hz的成份被滤除，只有频率低于3000 Hz的成份通过。

..............................图.......................................©余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。

(b)理想高通滤波器：输入讯号低于频率3000 Hz的成份被滤除，只有频率高于3000 Hz的成份通过。

..............................图.......................................©余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。

(c)理想带通滤波器：输入讯号位于2000 Hz到4000 Hz之频带范围的成份通过，其馀部份被滤除。

..............................图.......................................©余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。

(d)理想带止滤波器：输入讯号位于3000Hz到4000Hz之频带范围的成分阻止无法通过，其馀部分可通过。

..............................图.......................................©余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。

范例6.6

同范例6.5之滤波器，给定滤波器的输入讯号为

      ${\boldsymbol {x}}(t)=3cos(200\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi /2)+4cos(5000\pi t+\pi /4)+cos(7000\pi t+\pi /4)+cos(9000\pi t)$

请分别分析滤波器输出讯号。

【解】利用理想滤波器的物理意义，直接考量原输入讯号的哪些频率成份可通过或滤除，便可直接地写出输出讯号。 (a)理想低通滤波器：

      ${\boldsymbol {y}}(t)=3cos(2000\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi /2)+4cos(5000\pi t+\pi /4)$

(b)理想高通滤波器：

      ${\boldsymbol {y}}(t)=4cos(5000\pi t+\pi /4)+cos(7000\pi t+\pi /4)$

(c)理想带通滤波器：

     ${\boldsymbol {y}}(t)=4cos(5000\pi t+\pi /4)+cos(7000\pi t+\pi /4)$

(d)理想带止滤波器：

      ${\boldsymbol {x}}(t)=3cos(200\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi /2)+4cos(5000\pi t+\pi /4)+cos(7000\pi t+\pi /4)+cos(9000\pi t)$

非理想滤波器分析

一个简单的RC电路可实现低通滤波器。试说明理想滤波器与非理想滤波器之差异。此RC电路系统之微分方程表示式为

      $RC{dy(t) \over dt}+y(t)=x(t)$

等号两边做傅立叶转换，可得

      $j2\pi fRCY(f)+Y(f)=X(f)$

RC电路之系统的频率响应为

      $H(f)={Y(f) \over X(f)}={1 \over 1+j2\pi fRC}={1 \over 1+jf/f_{o}}$               $f_{0}={1 \over 2\pi RC}$

RC电路之强度响应与相位响应可表示成

      $\mid H(f)\mid =\left[{\frac {1}{1+(f/f_{0})^{2}}}\right]^{1 \over 2}$ 
     $\angle H(f)=-tan^{-1}{f \over f_{0}}$

RC电路所实现之低通滤波器的频率响应

理想与非理想滤波器之差异

增益：

(1)理想滤波器在通带的增益固定为1，表示让通带的输入讯号“完全”通过，而阻带的增益固定为0，表示将阻带的输入讯号“完全”滤除。

(2)非理想滤波器的增益是频率的函数而不固定。

截止频率：

(1)理想滤波器通带与阻带之间可以瞬间切换。

(2)非理想滤波器在通带与阻带之间无法瞬间切换，其衰减程度(增益)随频率连续变化，因此有过渡带(transition band)的存在，而且阻带的增益也无法达到0。

线性相位：理想滤波器的相位响应是频率的线性函数，一般滤波器设计时若其输出讯号不要有相位失真，则此滤波器须有线性的相位响应。