高中数学/不等式与数列/柯西不等式

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阅读指南[编辑]

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希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

柯西不等式一般称为柯西-施瓦茨不等式,是线性代数学和线性泛函分析中的重要结论。在普通高中阶段一般只需要了解它的代数形式的用法和向量形式的几何含义。本节只侧重于介绍其代数形式,后续的数量积章节还会继续介绍它的向量形式及其与向量夹角余弦值的关系(其实从其几何含义更容易理解也更能体现它的数学本质)。在后续的大学课程中,还会继续学习它的积分形式,它在数学、物理学和通信工程中有关平方可积函数的性质分析中将发挥巨大作用。

预备知识[编辑]

本节大部分内容都要求读者至少了解算术-几何平均值不等式的基本用法,所以读者应该先阅读平均值不等式章节,然后再根据需要选读本节的其余内容。

考试要求[编辑]

在中国大陆高考中,柯西不等式曾是理科数学试卷的考查点之一,一般出题难度不大、占分不多,也并非每年必考内容。而对于高考取消文理分科考法的地区,基本上也不会将其纳入考试范围。不过涉及柯西不等式知识点的许多简单问题套路明显,学起来其实很容易,加之它在后续理工科课程中非常常见,我们仍将其纳入主干知识的范围。

基础知识[编辑]

柯西不等式的定义与证明[编辑]

柯西-施瓦茨不等式Cauchy–Schwarz inequality)是一个描述向量内积性质的不等式,其向量形式为:

上述不等式中的等号当且仅当朝同一方向时才严格成立。

代数形式的柯西-施瓦茨不等式为[1]

上述不等式中的等号当且仅当时或是时才严格成立。

中学数学书上常将其简称为柯西不等式。可以使用Euler连加号将其简记为

无特殊条件约束的简单应用[编辑]

Crystal Clear action edit 相关例题1: 求的最小值。

解答:
由柯西不等式可知:

上式中的等号当且仅当(即)时成立。
故当时,原式取得最大值36。

答案:36。

Crystal Clear action edit 相关例题2: 设,求的最小值。

Crystal Clear action edit 相关例题3: 设,求的最小值。

Crystal Clear action edit 相关例题4: 求的最小值。

Crystal Clear action edit 相关例题5: 设,求函数的最小值。

解答:
因为有,由柯西不等式可知:

上式中的等号当且仅当(即)时成立。
故当时,函数取得最大值

答案:25。

Crystal Clear action edit 相关例题6: 求函数的最大值。

解答:
首先,题中函数的定义域必须满足以下条件:

解得函数的定义域为[1, 5],且。 再由柯西不等式可知:

上式中的等号当且仅当时成立。
故当时,取得最大值

答案:

Crystal Clear action edit 相关例题7: 求证:

Crystal Clear action edit 相关例题8: 设,求证:

证明:
因为,所以

由柯西不等式可知上式显然成立,且等号成立的条件为(即)。
证明完毕。

比较直接的条件代换[编辑]

Crystal Clear action edit 相关例题1: 设,求证:

证明:
根据柯西不等式并代入已知条件,可得:

上式中的等号当且仅当时成立。证明完毕。

Crystal Clear action edit 相关例题2: 设,求证:

证明:
由柯西不等式可知:

上式中的等号当且仅当(即)时成立。
代入已知条件,可得:

证明完毕。

Crystal Clear action edit 相关例题3: 设,求证:

证明:
由柯西不等式可知:

上式中的等号当且仅当(即)时成立。
代入已知条件,可得:

证明完毕。

Crystal Clear action edit 相关例题4: 设,求证:

证明:
由柯西不等式可知:

上式中的等号当且仅当(即)时成立。
代入已知条件,可得:

证明完毕。

Crystal Clear action edit 相关例题5: 设,求的最大值和最小值。

解答:
由柯西不等式可知:

上式中的等号当且仅当时成立。
将已知条件代入上式,可得:

故原式的最小值为-3,最大值为7。

答案:最小值为-3,最大值为7。

Crystal Clear action edit 相关例题6: 设,求的最小值。

解答:
由柯西不等式可知:

上式中的等号当且仅当(即)时成立。
将已知条件代入上式,可得:

故当且仅当,原式取到最小值-6。

答案:-6。

Crystal Clear action edit 相关例题7: 设,求的最小值。

解答:
由柯西不等式可知:

上式中的等号当且仅当(即)时成立。
将已知条件代入上式,可得:

所以当且仅当时,原式取到最小值

答案:

Crystal Clear action edit 相关例题8: 设,求证:

证明:
由柯西不等式可知:

上式中的等号当且仅当(即)时成立。
代入已知条件,可得:

证明完毕。

Crystal Clear action edit 相关例题9: 设,求证:

证明:
因为,由柯西不等式可知:

上式中的等号当且仅当(即)时成立。
将条件代人上式,可得:

证明完毕。

Crystal Clear action edit 相关例题10: 设,求的最大值。

解答:
由柯西不等式可知:

上式中的等号当且仅当(即)时成立。
将已知条件$2a + 3b + 5c = 29$代入上式,可得:

所以当且仅当时,原式取到最大值

答案:

常用结论与常见模型[编辑]

项的拼凑与形式的转化[编辑]

需要分开应用或多次应用柯西不等式的问题[编辑]

可能需要同时结合平均值不等式的问题[编辑]

涉及三角形的问题[编辑]

数形结合问题[编辑]

补充习题[编辑]

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  • 已知,请分别使用平均值不等式和柯西不等式证明:
  • ,求的最小值。
  • ,求的最大值和最小值。
  • 已知,求的最大值和最小值。
  • ,求的最小值。
(答案:9。)
  • ,求的最小值。
(答案:18。)
  • ,求证:
(提示:。)
  • 已知函数
(1)求的最小值。
(2)若恒成立,求t的取值范围。

解答:
(1)首先由柯西不等式可知:

上式中的等号当且仅当时成立。
所以的最小值是9。
(2) 因为,所以要使恒成立,只需要使不超过的最小值即可。

所以t的取值范围是[-3, 3]。

答案:(1)9;(2)[-3, 3]。

参考资料[编辑]

  1. 俞求是; 章建跃; 田载今; 马波; 李世杰. 第3讲“柯西不等式”第1节“二维形式的柯西不等式”和第2节“一般形式的柯西不等式”. (编) 刘绍学 (主编); 钱佩玲 (副主编); 李龙才 (责任编辑). 高中数学 (A版) 选修4-5 2. 中国北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼: 人民教育出版社. 2007: 31–41. ISBN 978-7-107-18675-2 (中文(中国大陆)). 

外部链接[编辑]