高中数学/函数与三角/对数的概念与运算

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阅读指南[编辑]

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据说物理学家伽利略·伽利莱曾说过一句不负责任的话:“给我时间、空间和对数,我可以创造一个宇宙。”很难想象如果他成为了造物主,会不会胡乱创造出很多宇宙。

对数产生于对大数乘除法结果的快速估算,可以将乘除法化为加减法进行估算。例如计算2个很大的数a和b的近似乘积,可以先通过专门的对数表查出它们各自对应的对数值,将它们直接相加后,再从表中查询与相加结果对应的数即可。对数表一般是按对数运算特点提前制作好的对照表,后来还流行过更方便的计算尺。著名的原子物理学家恩里科·费米就是习惯使用计算尺。时至今日,不管是在考试还是在实际应用中,对数的主要用途仍然是在代数运算中化乘除运算为加减运算,或是为了方便比较将很大的数压缩为一个很小的数。地震学中里氏地震规模、化学中酸碱度、计算机学中算法复杂度,甚至是音乐理论中简化地表达某些音程差的数量关系(例如十二平均律)时都有用到对数运算后的结果作为数值大小的衡量尺度。

Crystal Clear action info 提示:考试时能否携带计算尺请参考考试相关规定。当然,前提是这种古董在文具店里还能够买到。

对数在16世纪末至17世纪初期间由苏格兰数学家约翰·纳皮尔男爵和瑞士工程师约斯特·比尔吉正式发明。对数最初是从几何角度定义的,虽然能简化大数运算,但是其代数特性不是很明显。后来,聪明的莱昂哈德·欧拉发现对数实际上就是指数的反运算,完全可以将指数的运算与对数的运算放在一起类比地学习,因此他建议直接通过指数来定义对数。

预备知识[编辑]

本节公式特别多。本章的习题也会默认读者已经熟悉初中/国中阶段的指数运算的知识。如果之前完全没有接触过对数的概念,有时可能会无从下笔或记混公式。多找题练手,方能修得正果。

考试要求[编辑]

在整个高中阶段,需要一口气熟练掌握大量公式的地方只有本章节、三角恒等变换导数公式这3个章节。

后续课程联系[编辑]

Crystal Clear app games 玩笑:苏联物理学家列夫·朗道喜欢给许多事物以对数指数作为高低排名。如果读者希望了解朗道天才指数(Landau's rank),那么理解对数的含义自然是必不可少的。

基础知识[编辑]

知识引入[编辑]

定义[编辑]

如果的b次幂等于N,即,那么数字a就叫做以a为底数的N的对数the logarithm of N to base a)或正实数N关于基底a的对数the logarithm of a positive real number N with respect to base a),并记作,其中a叫做对数的底数base),N叫做原始数真数real number)。[1]

由对数的这个定义可知:

  • 符号表示有多少个a连续相乘会等于N,或者说a的多少次幂会等于N。
  • 没有以零或以负数为真数N的对数,或者说它们不能作为合法的真数,对它们无法施加取对数值的运算。因为高中学习的是实变量的函数,由可知一定有,所以在实数范围并不存在使得真数取零或取负数值的情形。[1]
  • [1]

Crystal Clear action info 提示:(1)符号“”是对数原名“logarithm”的缩写,后来约翰内斯·开普勒将其简化为“log”。“logarithm”是个拉丁文合成词,是希腊文“lógos”(比例)和“arithmós”(算术)的合称,意为一种与比例有关的算术。(2)符号“”是拉丁文“logarithmus naturalis”(自然对数)的首字母缩写词。古代欧洲的学者们普遍喜欢用拉丁文进行学术交流,将学问高尚化、精英化、提高其门槛,隔绝了许多底层群众接触学术知识的可能性。(3)因为在计算器和计算机发明以前,使用对数进行近似计算时需要查表对照数值,所以它的中文名就被叫做“对数”。(4)“对数”的值曾经被翻译为“假数”,即“真数”相对应的数。

Crystal Clear action info 提示:(1)习惯上是指,而不是指。(2)习惯上是指,而不是指

Crystal Clear app error 注意:对数的底数取值范围是,解题时不要忘记。

此外,还需要记住2个特殊的对数简记符号[1]

  • 通常将以10为底数的对数叫做常用对数。为了书写简便,N的常用对数简记作
  • 通常将以特殊无理数为底数的对数叫做常用对数。为了书写简便,N的常用对数简记作

Crystal Clear action info 提示:自然对数的底数e是微积分学中的重要常数,但是在高中阶段只是一个打酱油的存在。除了有关导数的章节,我们在整个高中课程中并不会过多提及它。如果您立志读完高中就去长期打工,那么可以不必担心还需要学习有关它的更多信息。

Crystal Clear action edit 相关例题1: 把下列各题的指数式写成对数式:(1) ;(2) ;(3) ;(4)

Crystal Clear action edit 相关例题2: 把下列各题的对数式写成指数式:(1) ;(2)

Crystal Clear action edit 相关例题3: 根据对数的定义,化简下列各式:

(1)
(2)
(3) ;(4)

Crystal Clear action edit 相关例题4: 若,求x的值。

Crystal Clear action edit 相关例题5: 若,求的值。

运算规律[编辑]

几个最常用的对数运算律(假定):

  • 和差关系:

证明:设
积化和:
商化差:
证明完毕。

  • 基变换(换底公式):

证明:设 ,所以。对两边同时取以为底数的对数,则有。即。又因为,所以。证明完毕。

  • 指系(次方公式):

证明:。证明完毕。

Crystal Project Warehause 对数基本运算规律(假定):

名称 公式
和差

基变换(换底公式)
指系(次方公式)
还原

Crystal Clear action edit 相关例题1: 计算下列各式:

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

Crystal Clear action edit 相关例题2: 用表示下列各式:

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

Crystal Clear action edit 相关例题3: 计算下列各式:

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

参考解答:
(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

答案:(1);(2);(3);(4);(5);(6)

Crystal Clear action edit 相关例题4: 求证对数互换律:

参考证明:对等式两边同时取对数可得:

最后一个式子显然成立,证明完毕。

Crystal Clear action edit 相关例题5: 求证对数倒数关系:

参考证明:

Crystal Clear action edit 相关例题6: 求证对数链式关系:

参考证明:

Crystal Clear action edit 相关例题7:已知函数,求

Crystal Clear action edit 相关例题8:设,且,求m的值。

Crystal Clear action edit 相关例题9:已知x、y、z都是大于1的数,,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题10:已知,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题11: 已知实数a和b满足,求的值。

提示:解答本题需要先求出a和b的值。可以利用对数的倒数关系先求出的值,再带入另一个已知条件中求值;也可以先利用换底公式、两边同时对数等技巧分别对2个已知式子变形,再求出a与b的关系,然后再求出二者之一。

参考解答:
首先,对的两边同时取对数可得
其次,等价于
带入上式可得:

因为,所以不可能出现正数b减去另一个正数a之后等于自己的2倍大小的情形。所以上式的唯一可能性为,解得
再将a与b的这个比例关系带入可得:

得到b的值后,可求得。故

答案:

Crystal Clear action edit 相关例题12:已知

(1) 求的值。
(2) 若,求的值。

提示:解答第2问时需要利用恒等式

参考解答:
(1)由可知,由可知

(2)
从而

答案:(1)12;(2)7。

对数的原始定义[编辑]

对数最初是使用几何方式定义的。[2]

补充习题[编辑]

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  • 已知a、b、c是三角形ABC的3条边,且关于x的二次方程有2个相等的实数根,则此三角形的形状是(    )。
A.锐角三角形;B.直角三角形;C.钝角三角形;D.等边三角形
  • 计算

参考解答:

答案:0。

  • 已知里氏地震等级R与地震波释放的能量E的关系为,求9级地震释放的能量是8级地震的释放能量的多少倍?

参考资料[编辑]

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 人民教育出版社中学数学室. 第2章“函数”第2.7节“对数”. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修). 第1册 (上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2003: 75–79. ISBN 7-107-16755-3 (中文(中国大陆)). 
  2. 人民教育出版社中学数学室. 第2章“函数”第2.7节“对数”中的“阅读材料”部分. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修). 第1册 (上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2003: 80–81. ISBN 7-107-16755-3 (中文(中国大陆)). 

外部链接[编辑]

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