據說物理學家伽利略·伽利萊曾說過一句不負責任的話:「給我時間、空間和對數,我可以創造一個宇宙。」很難想像如果他成為了造物主,會不會胡亂創造出很多宇宙。
對數產生於對大數乘除法結果的快速估算,可以將乘除法化為加減法進行估算。例如計算2個很大的數a和b的近似乘積,可以先通過專門的對數表查出它們各自對應的對數值和,將它們直接相加後,再從表中查詢與相加結果對應的數即可。對數表一般是按對數運算特點提前製作好的對照表,後來還流行過更方便的計算尺。著名的原子物理學家恩里科·費米就是習慣使用計算尺。時至今日,不管是在考試還是在實際應用中,對數的主要用途仍然是在代數運算中化乘除運算為加減運算,或是為了方便比較將很大的數壓縮為一個很小的數。地震學中黎克特制、化學中酸鹼度、計算機學中算法複雜度,甚至是音樂理論中簡化地表達某些音程差的數量關係(例如十二平均律)時都有用到對數運算後的結果作為數值大小的衡量尺度。
提示:考試時能否攜帶計算尺請參考考試相關規定。當然,前提是這種古董在文具店裏還能夠買到。
對數在16世紀末至17世紀初期間由蘇格蘭數學家約翰·納皮爾男爵和瑞士工程師約斯特·比爾吉正式發明。對數最初是從幾何角度定義的,雖然能簡化大數運算,但是其代數特性不是很明顯。後來,聰明的萊昂哈德·歐拉發現對數實際上就是指數的反運算,完全可以將指數的運算與對數的運算放在一起類比地學習,因此他建議直接通過指數來定義對數。
本節公式特別多。本章的習題也會默認讀者已經熟悉初中/國中階段的指數運算的知識。如果之前完全沒有接觸過對數的概念,有時可能會無從下筆或記混公式。多找題練手,方能修得正果。
在整個高中階段,需要一口氣熟練掌握大量公式的地方只有本章節、三角恆等變換和導數公式這3個章節。
玩笑:蘇聯物理學家列夫·朗道喜歡給許多事物以對數指數作為高低排名。如果讀者希望了解朗道天才指數(Landau's rank),那麼理解對數的含義自然是必不可少的。
如果的b次冪等於N,即,那麼數字a就叫做以a為底數的N的對數(the logarithm of N to base a)或正實數N關於基底a的對數(the logarithm of a positive real number N with respect to base a),並記作,其中a叫做對數的底數(base),N叫做原始數或真數(real number)。[1]
由對數的這個定義可知:
- 符號表示有多少個a連續相乘會等於N,或者說a的多少次冪會等於N。
- 沒有以零或以負數為真數N的對數,或者說它們不能作為合法的真數,對它們無法施加取對數值的運算。因為高中學習的是實變量的函數,由可知一定有,所以在實數範圍並不存在使得真數取零或取負數值的情形。[1]
- [1]
提示:(1)符號「」是對數原名「logarithm」的縮寫,後來約翰內斯·開普勒將其簡化為「log」。「logarithm」是個拉丁文合成詞,是希臘文「lógos」(比例)和「arithmós」(算術)的合稱,意為一種與比例有關的算術。(2)符號「」是拉丁文「logarithmus naturalis」(自然對數)的首字母縮寫詞。古代歐洲的學者們普遍喜歡用拉丁文進行學術交流,將學問高尚化、精英化、提高其門檻,隔絕了許多底層群眾接觸學術知識的可能性。(3)因為在計算器和計算機發明以前,使用對數進行近似計算時需要查表對照數值,所以它的中文名就被叫做「對數」。(4)「對數」的值曾經被翻譯為「假數」,即「真數」相對應的數。
提示:(1)習慣上是指,而不是指。(2)習慣上是指,而不是指。
注意:對數的底數取值範圍是,解題時不要忘記。
此外,還需要記住2個特殊的對數簡記符號[1]:
- 通常將以10為底數的對數叫做常用對數。為了書寫簡便,N的常用對數簡記作。
- 通常將以特殊無理數為底數的對數叫做常用對數。為了書寫簡便,N的常用對數簡記作。
提示:自然對數的底數e是微積分學中的重要常數,但是在高中階段只是一個打醬油的存在。除了有關導數的章節,我們在整個高中課程中並不會過多提及它。如果您立志讀完高中就去長期打工,那麼可以不必擔心還需要學習有關它的更多信息。
相關例題1:
把下列各題的指數式寫成對數式:(1) ;(2) ;(3) ;(4) 。
相關例題2:
把下列各題的對數式寫成指數式:(1) ;(2) 。
相關例題3:
根據對數的定義,化簡下列各式:
- (1) ;
- (2) ;
- (3) ;(4) 。
相關例題4:
若,求x的值。
相關例題5:
若,求的值。
幾個最常用的對數運算律(假定):
- 和差關係:,
證明:設,。
積化和:
商化差:
證明完畢。
- 基變換(換底公式):
證明:設 ,所以。對兩邊同時取以為底數的對數,則有。即。又因為,所以。證明完畢。
- 指係(次方公式):
證明:。證明完畢。
對數基本運算規律(假定):
相關例題1:
計算下列各式:
- (1) ;
- (2) ;
- (3) ;
- (4) ;
- (5) ;
- (6) 。
相關例題2:
用、、、、表示下列各式:
- (1) ;
- (2) ;
- (3) ;
- (4) ;
- (5) ;
- (6) 。
相關例題3:
計算下列各式:
- (1) ;
- (2) ;
- (3) ;
- (4) ;
- (5) ;
- (6) 。
相關例題4:
求證對數互換律:。
參考證明:對等式兩邊同時取對數可得:
最後一個式子顯然成立,證明完畢。
相關例題5:
求證對數倒數關係:。
參考證明:。
相關例題6:
求證對數鏈式關係:。
參考證明:。
相關例題7:已知函數,求。
相關例題8:設,且,求m的值。
相關例題9:已知x、y、z都是大於1的數,,求的值。
相關例題10:已知,求的值。
相關例題11:
已知實數a和b滿足,求的值。
答案:。
相關例題12:已知。
- (1) 求的值。
- (2) 若,求的值。
提示:解答第2問時需要利用恆等式。
對數最初是使用幾何方式定義的。[2]
- 已知a、b、c是三角形ABC的3條邊,且關於x的二次方程有2個相等的實數根,則此三角形的形狀是( )。
- A.銳角三角形;B.直角三角形;C.鈍角三角形;D.等邊三角形
- 計算。
參考解答:
- 已知黎克特制地震等級R與地震波釋放的能量E的關係為,求9級地震釋放的能量是8級地震的釋放能量的多少倍?