高中數學/函數與三角/對數的概念與運算

維基教科書,自由的教學讀本
跳至導覽 跳至搜尋

閱讀指南[編輯]

Crystal Clear app gnome

據說物理學家伽利略·伽利萊曾說過一句不負責任的話:「給我時間、空間和對數,我可以創造一個宇宙。」很難想像如果他成為了造物主,會不會胡亂創造出很多宇宙。

對數產生於對大數乘除法結果的快速估算,可以將乘除法化為加減法進行估算。例如計算2個很大的數a和b的近似乘積,可以先通過專門的對數表查出它們各自對應的對數值,將它們直接相加後,再從表中查詢與相加結果對應的數即可。對數表一般是按對數運算特點提前製作好的對照表,後來還流行過更方便的計算尺。著名的原子物理學家恩里科·費米就是習慣使用計算尺。時至今日,不管是在考試還是在實際應用中,對數的主要用途仍然是在代數運算中化乘除運算為加減運算,或是為了方便比較將很大的數壓縮為一個很小的數。地震學中黎克特制、化學中酸鹼度、計算機學中算法複雜度,甚至是音樂理論中簡化地表達某些音程差的數量關係(例如十二平均律)時都有用到對數運算後的結果作為數值大小的衡量尺度。

Crystal Clear action info 提示:考試時能否攜帶計算尺請參考考試相關規定。當然,前提是這種古董在文具店裏還能夠買到。

對數在16世紀末至17世紀初期間由蘇格蘭數學家約翰·納皮爾男爵和瑞士工程師約斯特·比爾吉正式發明。對數最初是從幾何角度定義的,雖然能簡化大數運算,但是其代數特性不是很明顯。後來,聰明的萊昂哈德·歐拉發現對數實際上就是指數的反運算,完全可以將指數的運算與對數的運算放在一起類比地學習,因此他建議直接通過指數來定義對數。

預備知識[編輯]

本節公式特別多。本章的習題也會默認讀者已經熟悉初中/國中階段的指數運算的知識。如果之前完全沒有接觸過對數的概念,有時可能會無從下筆或記混公式。多找題練手,方能修得正果。

考試要求[編輯]

在整個高中階段,需要一口氣熟練掌握大量公式的地方只有本章節、三角恆等變換導數公式這3個章節。

後續課程聯繫[編輯]

Crystal Clear app games 玩笑:蘇聯物理學家列夫·朗道喜歡給許多事物以對數指數作為高低排名。如果讀者希望了解朗道天才指數(Landau's rank),那麼理解對數的含義自然是必不可少的。

基礎知識[編輯]

知識引入[編輯]

定義[編輯]

如果的b次冪等於N,即,那麼數字a就叫做以a為底數的N的對數the logarithm of N to base a)或正實數N關於基底a的對數the logarithm of a positive real number N with respect to base a),並記作,其中a叫做對數的底數base),N叫做原始數真數real number)。[1]

由對數的這個定義可知:

  • 符號表示有多少個a連續相乘會等於N,或者說a的多少次冪會等於N。
  • 沒有以零或以負數為真數N的對數,或者說它們不能作為合法的真數,對它們無法施加取對數值的運算。因為高中學習的是實變量的函數,由可知一定有,所以在實數範圍並不存在使得真數取零或取負數值的情形。[1]
  • [1]

Crystal Clear action info 提示:(1)符號「」是對數原名「logarithm」的縮寫,後來約翰內斯·開普勒將其簡化為「log」。「logarithm」是個拉丁文合成詞,是希臘文「lógos」(比例)和「arithmós」(算術)的合稱,意為一種與比例有關的算術。(2)符號「」是拉丁文「logarithmus naturalis」(自然對數)的首字母縮寫詞。古代歐洲的學者們普遍喜歡用拉丁文進行學術交流,將學問高尚化、精英化、提高其門檻,隔絕了許多底層群眾接觸學術知識的可能性。(3)因為在計算器和計算機發明以前,使用對數進行近似計算時需要查表對照數值,所以它的中文名就被叫做「對數」。(4)「對數」的值曾經被翻譯為「假數」,即「真數」相對應的數。

Crystal Clear action info 提示:(1)習慣上是指,而不是指。(2)習慣上是指,而不是指

Crystal Clear app error 注意:對數的底數取值範圍是,解題時不要忘記。

此外,還需要記住2個特殊的對數簡記符號[1]

  • 通常將以10為底數的對數叫做常用對數。為了書寫簡便,N的常用對數簡記作
  • 通常將以特殊無理數為底數的對數叫做常用對數。為了書寫簡便,N的常用對數簡記作

Crystal Clear action info 提示:自然對數的底數e是微積分學中的重要常數,但是在高中階段只是一個打醬油的存在。除了有關導數的章節,我們在整個高中課程中並不會過多提及它。如果您立志讀完高中就去長期打工,那麼可以不必擔心還需要學習有關它的更多信息。

Crystal Clear action edit 相關例題1: 把下列各題的指數式寫成對數式:(1) ;(2) ;(3) ;(4)

Crystal Clear action edit 相關例題2: 把下列各題的對數式寫成指數式:(1) ;(2)

Crystal Clear action edit 相關例題3: 根據對數的定義,化簡下列各式:

(1)
(2)
(3) ;(4)

Crystal Clear action edit 相關例題4: 若,求x的值。

Crystal Clear action edit 相關例題5: 若,求的值。

運算規律[編輯]

幾個最常用的對數運算律(假定):

  • 和差關係:

證明:設
積化和:
商化差:
證明完畢。

  • 基變換(換底公式):

證明:設 ,所以。對兩邊同時取以為底數的對數,則有。即。又因為,所以。證明完畢。

  • 指係(次方公式):

證明:。證明完畢。

Crystal Project Warehause 對數基本運算規律(假定):

名稱 公式
和差

基變換(換底公式)
指係(次方公式)
還原

Crystal Clear action edit 相關例題1: 計算下列各式:

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

Crystal Clear action edit 相關例題2: 用表示下列各式:

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

Crystal Clear action edit 相關例題3: 計算下列各式:

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

參考解答:
(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

答案:(1);(2);(3);(4);(5);(6)

Crystal Clear action edit 相關例題4: 求證對數互換律:

參考證明:對等式兩邊同時取對數可得:

最後一個式子顯然成立,證明完畢。

Crystal Clear action edit 相關例題5: 求證對數倒數關係:

參考證明:

Crystal Clear action edit 相關例題6: 求證對數鏈式關係:

參考證明:

Crystal Clear action edit 相關例題7:已知函數,求

Crystal Clear action edit 相關例題8:設,且,求m的值。

Crystal Clear action edit 相關例題9:已知x、y、z都是大於1的數,,求的值。

Crystal Clear action edit 相關例題10:已知,求的值。

Crystal Clear action edit 相關例題11: 已知實數a和b滿足,求的值。

提示:解答本題需要先求出a和b的值。可以利用對數的倒數關係先求出的值,再帶入另一個已知條件中求值;也可以先利用換底公式、兩邊同時對數等技巧分別對2個已知式子變形,再求出a與b的關係,然後再求出二者之一。

參考解答:
首先,對的兩邊同時取對數可得
其次,等價於
帶入上式可得:

因為,所以不可能出現正數b減去另一個正數a之後等於自己的2倍大小的情形。所以上式的唯一可能性為,解得
再將a與b的這個比例關係帶入可得:

得到b的值後,可求得。故

答案:

Crystal Clear action edit 相關例題12:已知

(1) 求的值。
(2) 若,求的值。

提示:解答第2問時需要利用恆等式

參考解答:
(1)由可知,由可知

(2)
從而

答案:(1)12;(2)7。

對數的原始定義[編輯]

對數最初是使用幾何方式定義的。[2]

補充習題[編輯]

Crystal Clear app ksirtet

  • 已知a、b、c是三角形ABC的3條邊,且關於x的二次方程有2個相等的實數根,則此三角形的形狀是(    )。
A.銳角三角形;B.直角三角形;C.鈍角三角形;D.等邊三角形
  • 計算

參考解答:

答案:0。

  • 已知黎克特制地震等級R與地震波釋放的能量E的關係為,求9級地震釋放的能量是8級地震的釋放能量的多少倍?

參考資料[編輯]

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 人民教育出版社中學數學室. 第2章「函數」第2.7節「對數」. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修). 第1冊 (上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2003: 75–79. ISBN 7-107-16755-3 (中文(中國大陸)). 
  2. 人民教育出版社中學數學室. 第2章「函數」第2.7節「對數」中的「閱讀材料」部分. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修). 第1冊 (上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2003: 80–81. ISBN 7-107-16755-3 (中文(中國大陸)). 

外部連結[編輯]

Wikipedia-logo.png
維基百科中的相關條目: